[原创数学]：升级版微积分：函值极限论

jzkyllcjl

无穷数列或函数极限值表示的是变量的趋向性事物，这个极限值常常不是数列或函数能达到数字。

门外汉

jzkyllcjl 发表于 2019-3-18 00:47
无穷数列或函数极限值表示的是变量的趋向性事物，这个极限值常常不是数列或函数能达到数字。

曹教授，我来替你解释一下如何:首先区分一下函数值与极限值，很多情况下，函数值永远都会小于(大于)极限值，永远都不会等于极限值，我们称这样的函数为非连续性函数。
例如，设f(x)＝x是定义于［0，1)区间的函数，求x→1时的极限，其极限为1。
我们会发现，f(x)无限地趋近于1，但永远都不等于1(因为1在区间中不存在)，我们称函数在1这个点上不连续。

门外汉

函值极限论(二十一):实极限与虚极限的四则运算法则
函数极限的四则运算法则在原系统中已经介绍得很完善了，由于在本系统中对函数的极限类型做了严格的划分，分为了实极限型函数(连续函数)与虚极限型函数(非连续函数)，所以这里给出实极限与虚极限的四则运算法则:
①:加法则:
(1):实极限加实极限等于实极限。
(2):虚极限加虚极限等于虚极限。
(3):实极限加虚极限等于虚极限。
②:减法则:
(1):实极限减实极限等于实极限，若二者相等，结果等于实无穷小，等于0。
(2):虚极限减虚极限等于虚极限，若二者相等，结果为虚无穷小，大于0。
(3):虚极限减实极限等于虚极限，若二者的极限值相等，其绝对值为虚无穷小，大于0。
(4):实极限减虚极限等于虚极限，若二者的极限值相等，其绝对值为虚无穷小，大于0。
③:乘法则:
(1):实极限乘以实极限等于实极限。
(2):虚极限乘以虚极限等于虚极限。
(3):实极限乘以虚极限等于虚极限。
(4):实极限乘以有界数列为实极限，虚极限乘以有界数列为虚极限。
④:商法则:
(1):实无穷小不能做除数，虚无穷小可以做除数。
(2):实极限除以实极限等于实极限。
(2):虚极限除以虚极限等于虚极限。
(3):实极限除以虚极限，或者虚极限除以实极限，等于虚极限。

jzkyllcjl

即使 f(x)＝x是定义于［0，1】区间的函数，求x→1时的极限，其极限为1。
也应当是，f(x)无限地趋近于1，但永远都不等于1(虽然因为1在区间的端点 )，
判断函数连续时，还需要 研究 在1的定义，如果 1这个点上的函数值不等于极限值，这个函数都不连续。
不需要提出实无限与虚极限 两个术语

门外汉

jzkyllcjl 发表于 2019-3-18 08:20
即使 f(x)＝x是定义于［0，1】区间的函数，求x→1时的极限，其极限为1。
也应当是，f(x)无限地趋近于1，但 ...

你认为f(1)不存在吗?如果f(1)不存在，则函数在1点不连续，可这个函数分明就是连续函数

门外汉

函值极限论(二十二):初探无穷大∞

首先总结一下前二十一节的总脉络:参照原极限定义给出了函值极限的定义(函值极限与函数连续性等价)，根据函值极限定义给出了实极限和虚极限的定义，将所有函数划分为实极限型函数(等价于连续函数)和虚极限型函数(等价于非连续函数)，并根据实极限和虚极限的定义给出了实无穷小和虚无穷小的定义，划出了无穷小是0与非0之间的明确界线，并给出了实无穷小与虚无穷小的四则运算法则及实极限与虚极限的四则运算法则。

前二十一节主要是围绕着实极限虚极限和无穷小来进行逻辑推演的，从本节开始，将会讨论微积分中另一个极为重要的概念:无穷大∞。

首先给出原系统中无穷大的定义:
设函数f(x)在xо的某个去心邻域有定义(或|x|在大于某个正数时有定义)，如果对于任意给定的正数M(无论它有多大)，总存在正数δ(或正数X)，只要x适合不等式0＜x－xо＜δ(或|x|＞X)，对应的函数值f(x)总满足不等式f(x)＞M，则称函数f(x)当x→xо(或x→∞)时的无穷大。

无穷大分为两种情况，一种是x→xо时的无穷大，例如，函数f(x)＝1/x，当x→0时，x越小，f(x)越大，f(x)大于任意给定的正数M，则f(x)趋向于无穷大。
另一种是x→∞的情况，例如，f(x)＝2x，x＝1，2，3……n……，x无限增大，f(x)无限增大，f(x)大于任意给定的正数M，则f(x)趋向于无穷大。

虽然原系统中对无穷大定义精确，逻辑严谨，可是我们会发现，对于某些特定的题目，原有定义中的无穷大解决不了。在此给出两个典型的题目进行说明:

第(1)题:将一个面积为1的圆以圆心均分为无穷多份，每一份的面积是多少?
如果用函数直接来解此题，则为:lim(n→∞)1/n＝0。也就是说，将圆均分为无穷多份，每一份的面积为0。
但是此题有极大的争议，因为按直观理解，如果将圆分割为无穷多个0，则无穷多个0相加仍然为0，则原本面积为1的圆变为了面积为0，构成矛盾。

另外，f(n)＝1/n，函数的定义域为全体正整数，可是，无论n取哪一个正整数，哪怕是n一一遍取了所有的正整数，必有f(n)＞0(否则请给出反例)，也就是说f(n)＝0的情况根本就不存在。
这个问题用原系统中的无穷大定义解释不通。

第(2)题:设一质点D以每分钟1米的匀速速度从0运动到1米处，则，1/2分钟时质点运动到1/2米，3/4分钟时质点运动到3/4米，7/8分钟时质点运动到7/8米……问:1分钟时，质点运动到哪里。
这道题并不难解，因为人们几乎不加思索便会立即知道答案:时间为1分钟时质点运动到1米处。但此题背后的逻辑问题却绝非如此简单。

看一下时间序列:｛1/2，3/4，7/8，15/16……(2^n－1)/2^n……｝，该时间序列的通项为(2^n－1)/2^n，问:n取何值时，f(n)＝1即时间到达1分钟?
该时间序列中n的定义域为全体正整数，可是，无论n取何值，哪怕是n一一遍取所有正整数，必有f(n)＜1，这也就是说，时间永远都到不了1分钟，这显然是一个悖论(芝诺二分法悖论)。

实际上，1为该时间序列的极限，1没有任何正整数与之对应，1对应的是无穷大∞，但按照原系统中的极限定义，函数f(n)在∞处没有定义，所以f(∞)不存在，所以1在函数中不存在，而只能做为函数的极限。
既然函数f(n)在时间1处无定义，则问当时间为1分钟时，质点D在哪里?则此问题无的放矢，成了一个无意义的问题。

我们可以对比一下著名的汤姆森灯悖论:一电灯在1/2分钟时亮，在3/4分钟时灭，在7/8分钟时亮，在15/16分钟时灭……问，当时间为1分钟时，电灯是亮是灭?
对于此问题，数学界中有一派(几乎是主流观点)认为，时间序列的定义域为［0，1)，函数在1处无定义，所以此问题无意义。
这只能说明，原微积分系统中对于此类涉及到无穷大的问题束手无策，只能以“无意义”为由进行搪塞，避而不谈，从而回避问题而又拒不承认系统中存在矛盾。

jzkyllcjl

门外汉 发表于 2019-3-19 02:14
函值极限论(二十二):初探无穷大∞

首先总结一下前二十一节的总脉络:参照原极限定义给出了函值极限的定义 ...

无穷数列 1/2，3/4,7/8,15/16.……的提出有一个法则，这个法则是(2^n-1)/2^n，这个数列的极限是1，但这个数列永远达不到1.，所以你的时间序列的在［0，1)内，在1处无定义，所以你问，当时间为1分钟时，电灯是亮是灭? 无法根据你的亮、灭定义回答。如果定义了在时间1亮灭之后，就可以依照你的定义回答你的问题。

门外汉

jzkyllcjl 发表于 2019-3-19 03:42
无穷数列 1/2，3/4,7/8,15/16.……的提出有一个法则，这个法则是(2^n-1)/2^n，这个数列的极限是1，但这个 ...

我提出的是一个实无穷的问题，用潜无穷观点当然解释不了

jzkyllcjl

门外汉 发表于 2019-3-19 08:37
我提出的是一个实无穷的问题，用潜无穷观点当然解释不了

现行教科书中提出了自然数集合的表达式N={x|x为自然数} 与N={ 0，1，2，3，…11,…… }，并称这样的自然数集合为正常集合，提出了自然数集合与可列集的基数是阿立夫0 的表达符号。造成了一百多年来无法解决的连续统假设的大难题。 认真分析起来，这个集合涉及到：王宪钧在他的《数理逻辑引论》301-304 页中讲到：康托儿认为：“数学必须肯定实无穷”；“实无穷论者认为：无穷（在数学中表现为无穷集）是一个现实的、完成的、存在着的整体”的概念，这个概念是违反实践事实的概念。事实上，自然数集合就是永远写不到底的、不能被人们构造完毕的想象性质的理想数学元素。
应当提出以集合为元素无穷集合序列:
{0}，{0，1}，{0，1，2}，…，{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11}…… （1）
同时称这个集合序列为：全能近似自然数集合序列；其中的每一个集合都叫做现实存在的近似自然数集合；自然数集合应当是集合序列（1）的趋向（或称广义极限）性质的、无法都构造完毕的、永远达不到性质的想象性质的集合N,这样的集合N应当被叫做理想自然数集合。这个理想自然数集合N的元素个数，定义为其全能近似自然数集合序列中的各个集合元素个数序列{n+1}的广义极限∞ ；由于∞ 被叫做非正常实数，所以，笔者称：理想自然数集合N为非正常集合。并提出如下定义：集合元素个数为有限自然数，且集合本身不能作为集合元素的集合，叫做正常集合，否则，叫非正常集合。根据这个定义，可知：上述集合序列（1）中的集合都是现实存在的正常集合，而且正常集合有无穷多，所以就可以得到：所有正常集合组成的想象性质的理想性质的自然数集合为非正常集合。这样就消除了罗素悖伦；我们不需要为这个悖论去建立符号语言的ZFC形式公理体系。
同理, 有理数集合是与n对应的，由等于、小于n的自然数为分子分母构成正常有理数集合S（n）的序列的广义极限性理想集合；实数集合是与n对应的，由n位整数、n位小数构成的十进小数集合S(n)的序列的广义极限性理想集合；所有无穷集合的元素个数都是非正常实数 ，都不是定数，而且不能使用一一对应法则提出无穷基数。这样一来，希尔伯特1900年在巴黎在第二次国际数学年会提出的23个问题中的第一个问题连续统假设问题就不存在了，就解决了。

门外汉

jzkyllcjl 发表于 2019-3-20 02:17
现行教科书中提出了自然数集合的表达式N={x|x为自然数} 与N={ 0，1，2，3，…11,…… }，并称这样的自然 ...

如果彻底否定实无穷，则无理数全都不存在了