[原创数学]：升级版微积分：函值极限论

门外汉

      此数学为笔者原创，最初发表于百度贴吧上，在几个学术贴吧里同步更新，最初的标题为《重建数学大厦：微积分3.0版》，在写作的过程中，难免会有漏洞及错误之处，发现之后便及时改正。从第一天更新到现在已经更新了十一小节，下面将原文一字不变的帖在这里，以后也将在这里同步更新。
      本原创数学的宗旨是将现代微积分学从潜无穷理论过渡到实无穷理论，由于属原创，写作过程中错误之处在所难免，欢迎各位老师及时指正
     现在进入正题，更新开始：
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注解:微积分1.0版本是由牛顿，莱布尼兹所创建的微积分原始版本，称为古典微积分。十七世纪牛顿，莱布尼兹同期创建的微积分理论由于解决了大量的工程实际问题而得到广冷的应用，但由于逻辑基础不牢固，引出了无穷小悖论，由此导致了第二次数学危机。
二次危机之后，无数伟大的数学家们对微积分进行了升级改造，并以柯西，魏尔斯特拉斯为代表对极限定义进行了严谨的表述，最终集于大成，我将经升级改造过的微积分称为微积分2.0版本，这也就是沿用至今的现代微积分体系。
然尔，现代微积分2.0版本仍然存在着诸多的逻辑混乱之处，其典型的表现就在于:作为微积分核心理论的无穷小，它定义为是以0为极限的变量，向0无限地趋近，但是，它究竟能不能等于0呢?现代微积分2.0版本没有很好的处理这个问题，使得在实际应用中，无穷小有时当做恒大于0来处理，有时候当做等于0来处理(后文中将陆续有这种实例讲解)，导致逻辑上的混乱，而混乱的根源，在于对极限概念定义不明朗，解释不清楚，由此会产生许多的误解与误读，矛盾在所难免。
基于以上的原因，迫切需要对微积分2.0版本再次进行升级改造，升级后的3.0版本，将会对无穷小是0与非0之间划上一条十分清晰明了的界线，给出无穷小是0与非0的判定法则，从而在实际应用中不致于混淆误用而导致逻辑矛盾。
从古典微积分1.0版本到现代微积分2.0版本，都是以潜无穷思想为指导原则的，尽管在现代微积分2.0版本中，已经出现了实无穷思想的萌芽，但因为其核心的极限定义是纯粹潜无穷指导原则的，所以在实无穷的探索之路上裹步不前。而升级改造的微积分3.0版本将会打破这一常规，给出基于实无穷思想的极限定义，从而完成微积分由潜无穷思想向实无穷思想的过渡。
当然，前进的道路上总是坚艰曲折的，不仅有高山险阻，也有虎豹窥测，前方的道路注定坎坷不平，而我只能一步一个脚印，摸着石头过河。
这是一项无比浩大的工程，不可能在短时间内一蹴而就，所以我会持续更新，并随时检验，修正错误，敬请大家期待

门外汉

微积分3.0版本(一):无穷小简史
17世纪牛顿和莱布尼兹各自独立创建微积分理论体系，然尔微积分自创建之初便伴随着逻辑矛盾，无穷小的阴影挥之不去，成为同时期数学家们的恶梦，由此造成的困挠长达百年之久。
提到微积分就不能不提无穷小，什么是无穷小呢?以求物体运动的瞬时速度为例，例如设一运动物体的位移函数为y=x^2，其中y为位移，x为时间，求当时间在x=3分钟时物体的瞬时速度，这个怎么求呢?牛顿设想，当时间为3分钟时，再过去那么一瞬间，记这一瞬间为Δx，则物体会产生一个微小的位移Δy，二者的比值即为时间在3分钟时的瞬时速度。
那么，这个一瞬间Δx究竟是多少呢?首先，它不能是0，如果是0，那么时间为0，位移也是0，这样是求不出瞬时速度的。其次，Δx一定要小，越小就越精确，越接近真实的瞬时速度值。
那么Δx究竟能小到什么程度呢?当时的牛顿及同时期的数学家们对此没有一个明确的概念，只是模糊的概念，即，极小极小，小得不能再小，当然，这并不是一个严谨精确的数学语言。
今天，我们可以通过严格的实数理论分析出牛顿等数学大师们头脑中的无穷小究竟是什么?我们给出一个实数区间［0，1］，这个无穷小一定就锁定在这个区间之中，而且，它不能等于0，则无穷小便在半开区间(0，1］之中，其次，无穷小要小于这个区间中任何一个指定的正数，假设无穷小是g，只要在(0，1］中有比g更小的实数，那么g就不是无穷小。
综上所述，实际上的这个无穷小就是指(0，1］之中大于0的最小正实数。
那么，这个“大于0的最小正实数”它存在吗?可以证明，这样的数是包含矛盾的，是不存在的，可以用反证法来证明:假设这个数存在，设它为g，则g/2同样是一个正实数，而且比g更小，因此g不是大于0的最小正实数。因此牛顿及同时代的数学大师们头脑中的无穷小根本就是一个子虚乌有，不存在的一个东西，用这样的一个虚假概念来论证数学，矛盾必不可免。
但牛顿显然没有意识到这个问题的严重性，依然用无穷小概念推导出许多重要的数学成果，甚至可以说，如果没有无穷小，许多极为重要的数学结论根本就推导不出来，离开了无穷小，数学寸步难行。
但矛盾积累到一定程度，终有爆发的时侯，英国大主教，哲学家贝克莱提出了贝克莱悖论，将这一矛盾彻底曝光于大庭广众之下。
贝克莱悖论是如何推导的呢?仍然是以求物体运动的瞬时速度为例:设物体的位移函数y=x^2，其中y为位移，x为时间，求物体在时间x=3时的瞬时速度，这个问题实际上就是求出x＝3时的导数，牛顿时代的古典微积分是这样求的:f'(3)=Δy/Δx，Δy=(3＋Δx)^2－3^2，Δy除以ΔⅩ，通过约分，计算结果为6＋Δx。
到现在为止，所有的逻辑推演及计算过程并没有出现仼何的错误，但接下来让人意外的事情出现了:牛顿将Δx直接当做0给舍弃了，最后的结果为6。
为什么将Δx当成0给舍弃呢，牛顿的解释是，因为Δx极小极小，无穷之小，几乎可以忽略不计，所以舍弃它并不影响计算结果。
但这就出现了逻辑上的矛盾，如果等号右边的Δx是0，那么等号左边的Δx也是0，0怎么可以做除数呢?
如果等号左边的Δx不是0，那么等号右边的Δx也不能是0，那么就不能将它当成0舍弃。
这个矛盾在当时的数学界引起极大的震动，撼动了数学的根基，被称为是第二次数学危机。
之后的一百多年的时间里，数学家们为解决这个矛盾投入了巨大的时间和工作，直到柯西，魏尔斯特拉斯等人用ε－N语言及ε－δ语言严格定义了数列及函数极限，第二次数学危机才宣告彻底解决。
在严格定义的极限理论之下，无穷小被定义为是以0为极限的数列或函数，无穷小本身并不是一个实数，而是一个以0以极限的变量，在这个定义下，并不存在那种类似于“大于0的最小正实数”那样的实无穷小。
由此，牛顿时代所虚构出来的“实数无穷小”宣告彻底终结

门外汉

微积分3.0版本(二):极限定义
升级改造的微积分3.0版本是以现代微积分2.0版本为基础而建的，原有的微积分理论体系已经非常完善了，哪怕是对这个体系中的纤亳之未稍做改动，也会对数学大厦产生巨大震动，所以本着如无必要，勿增实体的原则，除非是本人对原有体系中的定义，定理做出了全新的解释和改变，否则对于微积分中的所有重要概念仍然沿用原有的版本，不做任何改变。
微积分中的核心之重就是极限定义，大多数的定理及推论都是围绕极限定义做出的，因此，升级微积分的首要任务就是对极限概念做出清晰的定义。
但是，仍然本着“如无必要，勿增实体”的原则，由于原有的极限定义是经由无数伟大的数学家们长年累月，呕心沥血总结出来的数学瑰宝，其定义本身已经非常严谨，可靠，本人也无意对原有的极限定义做出大刀阔斧的改动，因此，升级改造之后的微积分3.0版本仍然沿用原有的极限定义，不做一字改动(后文中另会附有全新的极限定义)。
首先给出原有版本的函数极限定义:

以上是原有版本的(x→x0)形式的函数极限定义，在升级后的微积分3.0版本中依然沿用，由于数列极限是定义于整数的一种特殊的函数形式，所以此处略过不表。
虽然原有的函数极限定义在逻辑上已经极其严谨，但由此定义推论出来的许多推论，若仔细推敲，便会发现诸多令人费解之处，在此举例说明:
由函数极限定义，设0≤x≤1，则所有的x构成一个闭区间［0，1］，当x→1时的极限为1。
设0≤x＜1，则所有的x构成一个半开区间［0，1)，当x→1时函数极限定义它的极限也为1。这两个区间是不同的区间，而有相同的极限。
设质点A在闭区间［0，1］的0端，质点B在半开区间［0，1)的0端，两质点以相同的速度同步向1端移动，移动过程中，两质点会一一遍历区间中的所有点，当质点A移动到端点1时，那么，质点B在哪里?
由于两质点移动速度相同，保持同步，所以当质点A到达端点1时，质点B也会移动到1。
但问题是，开区间［0，1)中，1不存在啊，质点B怎么会到达1?如果B已经离开了［0，1)区间，那么，B与［0，1)区间的距离是多少?没错，距离为0，说明质点B仍然在［0，1)上，但它在［0，1)区间的哪一个点上?答:不在［0，1)区间的仼何一个点上。
这是一个悖论，用现代微积分2.0版本中的极限定义是完全解释不通的。
另外，原有极限定义是基于潜无穷思想而设立的，极限意指无限趋近而永远不能到达的意思，如果将此定义应用于芝诺的英雄追龟问题，则有英雄无限趋近于龟而永远无法追上龟的悖论，因此潜无穷思想与理论对于解决芝诺问题无能为力。
正因如此，有必要设立一个全新的极限定义来弥补原有极限定义中的不足。

门外汉

微积分3.0版本(三):函值极限定义
由上一节中的介绍可知，由于受限于原有微积分2.0版本的极限定义，导致许多的逻辑矛盾无法得到合理解释，因此有必要设立一个全新的极限定义来弥补原有极限定义的不足，基于此，现给出一个全新概念函值极限的定义，该定义与原有的极限定义属平行，独立而又兼容互补的关系，也就是说与原有的极限定义没有冲突，二者彼此相容。
在给出函值极限定义之前，首先给出两个重要的概念，那就是函数定义域的最小值与最大值的定义。
设δ是一个正数，则开区间(a－δ，a＋δ)为点a的δ邻域，我们将a－δ记为b，a＋δ记为c，则开区间(b，c)为以a点为中心的a点邻域，(b，a)为a的左半邻域，(a，c)为a的右半邻域。
设f(x)为定义于(b，c)的函数，则分别考虑f(x)在a的左半邻域和右半邻域的定义域范围。
首先考虑函数f(x)在a的左半邻域(b，a)的定义范围，则有如下几种情况:
①:如果f(x)在b点有定义并且在a点也有定义，则f(x)在a的左半邻域的定义域为［b，a］，称b为该定义域的最小值，a为该定义域的最大值。
②:如果f(x)在b点无定义而在a点有定义，则f(x)在a的左半邻域的定义域为(b，a］，则f(x)在该定义域无最小值，a为该定义域的最大值。
③:如果f(x)在b点有定义而在a点无定义，则f(x)在a的左半邻域的定义域为［b，a)，则f(x)在该定义域里有最小值b，无最大值。
④:如果f(x)在b点无定义并且在a点也无定义，则f(x)在a的左半邻域的定义域为(b，a)，f(x)在该定义域里既无最大值，也无最小值。
以上列举了函数f(x)在a的左半邻域(b，a)的定义域内有无最大最小值的全部可能，f(x)在a的右半邻域(a，c)定义域内有无最大最小值的列举方法与此完全相同，在此略过不表。
在升级版的微积分3.0中，函数定义域的最大最小值是一个非常重要的概念，在分析一个函数时，首先要分析该函数定义域有无最大最小值，例如:
函数f(x)＝x/2，函数的定义域为［0，4］，求当x→0时的极限，由于函数在0和4皆有定义，则f(x)的定义域有最小值0，有最大值4。
又例如:函数f(x)＝4/x，定义域为［0，4］，求当x→0时的极限，由于函数在4处有定义而在0处无定义，所以f(x)的定义域有最大值4而无最小值。
给出了函数定义域最大最小值的定义后，接下来给出函数值域中最大值与最小值的定义，依然分四种情况来讨论:
①:如果f(x)的定义域为［b，a］，则f(b)为函数值域的最小值，f(a)为函数值域的最大值。
②:如果f(x)的定义域为(b，a］，则f(x)在值域中无最小值，有最大值f(a)。
③:如果f(x)的定义域为［b，a)，则f(x)在值域中有最小值f(b)，无最大值。
④:如果f(x)的定义域为(b，a)，则f(x)在值域中既无最大值也无最小值。
以上是列举了函数f(x)在a的左半邻域值域中有无最大最小值的全部可能。函数f(x)在a的右半邻域值域中有无最大最小值的列举方法与此完全相同，在此略过不表。
重点的，由于函数f(x)是着重于分析当x→a时的极限情况，因此f(x)在b点和c点有无最大最小值是无关紧要的，可以不予考察，关键是考察f(x)在x→a点时有无最大最小值。如果f(x)在x→a时有最大值f(a)(左邻域)或最小值f(a)(右邻域)存在，将f(a)记为Ao，则称Ao为函数f(x)的函数值极限，简称函值极限。
为了与原版本极限定义中的极限与本3.0版本中的函值极限相区别不致于混淆，称原版本中的极限为函数极限，记为J，而将新版本中的函值极限记为Jo。
原版本中的函数极限J与新版本中的函值极限Jo是两个彼此平行，独立，而又兼容互补的极限概念。函值极限是微积分3.0版本中的核心概念，将会贯穿始终。
在接下来的内容中，将会举例分别计算同一个函数的函数极限J与函值极限Jo分别是多少，并比较二者之区别，使两个不同的极限概念融合互补。

门外汉

微积分3.0版本(四):函值极限例题讲解
在上一节中，针对现代微积分2.0版中极限定义无法解决一些逻辑矛盾的不足，设立了全新的概念函值极限的定义，那么，原版本中的函数极限J与新版本中的函值极限Jo究竟有何本质上的区别呢?
原版本中的函数极限J是一种存在性的证明，即给定一个函数，只要存在一个实数A，它满足极限的定义(ε－δ语言)，则A就是该函数的极限J。
而函值极限不同，它是在函数的值域范围内论证极限Jo是否存在，Jo必须符合函数定义，满足函数表达式，它是一种计算性的证明，而非存在性证明。
下面举几个简单的例题进行讲解。
例一:设f(x)＝x是定义于实数区间［0，1］的函数表达式，求x→1时，f(x)的函数极限J与函值极限Jo分别是多少?
例题比较简单，可以直接给出f(x)的函数极限J为:lim(x→1)x＝1。
计算其函值极限Jo:由于f(x)在定义域［0，1］的1点处有定义，所以f(x)存在最大值，为1，即Jo＝f(a)＝1。
在这里，f(x)的函数极限J与函值极限Jo相等，都为1。
例2:设f(x)＝x是定义于实数区间［0，1)的函数表达式，求x→1时，f(x)的函数极限J与函值极限Jo分别是多少?
解:f(x)的函数极限J为:lim(x→1)x＝1。在这里，［0，1)中并不存在1，但因为函数极限J是一种存在性的证明，尽管1在［0，1)中不存在，但1符合函数极限的定义，所以它仍为f(x)的极限。
计算其函值极限Jo，由于f(x)在定义域［0，1)中的1处无定义，所以f(x)在值域中无最大值，也就是f(x)的函值极限Jo不存在。
例3:设f(x)＝x/2是定义于实数区间［0，2］的函数表达式，求x→0时f(x)的函数极限J与函值极限Jo分别是多少?
解:f(x)的函数极限J为:lim(x→0)x/2＝0。
计算f(x)的函值极限:由于f(x)在定义域［0，1］的0处有定义，所以f(x)在值域中有最小值，即Jo＝f(0)＝0。
在这里，f(x)的函数极限J与函值极限Jo相等。
例4:设f(x)＝6/(3－x)为定义于实数区间［0，1)的函数表达式，求x→1时的函数极限J与函值极限Jo分别是多少?
解:f(x)的函数极限J为:lim(x→1)6/(3－x)＝3。
计算f(x)的函值极限:由于f(x)在定义域［0，1)的1处无定义，所以f(x)在值域中不存在最大值，即Jo不存在。
以上的几个例子都是比较简单，一看即懂的，可以照例推广的复杂的函数上验证某一函数的函数极限J与函值极限Jo是否存在。
在接下来的内容里，将会给出微积分3.0版本中，极为重要的函值极限Jo与函数极限J相互融合渗透的极限判定法则，此法则极为重要。

门外汉

微积分3.0版本(五):补正第(三)节中函值极限定义
在第(三)节中，给出了函值极限的定义，并且给出了定义域最大最小值与值域最大最小值的定义。但由于过度疏忽，犯了一个技术上的错误。
在第(三)节中的定义，只适用于单调增(减)函数，也就是定义域的最小值对应于值域的最小值，定义域的最大值对应于值域的最大值。此定义不能通用于所有的函数，因为对于反向型函数来说，定义域的最小值会对应于值域的最大值，而定义域的最大值会对应于值域的最小值。又例如对于常值函数而言，定义域有最大值和最小值，而值域中无最大最小值。
因此，在此后对于函值极限的分析，将不再刻意强调对定义域中最大最小值与值域中最大最小值的对应关系，而只是重点考察f(x)在邻域的中心a点处是否有定义。
在原版本的ε－δ语言的极限定义中，考察的是对去心邻域是否有定义，对于邻域的中心点(已去除)是否有定义不予考察。而新版本的函值极限定义与此恰恰相反，不仅要考察函数在a点邻域是否有定义，而且还要重点考察在邻域的中心点a点是否有定义，在这里，邻域的中心点a点被称为是极限点。
因此修正后的函值极限定义为:设f(x)是定义于以a点为中心的邻域(a－δ，a＋δ)的函数，当x→a时，考察f(x)在a点是否有定义，如果有定义，则f(a)存在，则称f(a)为函数f(x)的函值极限。

门外汉

微积分3.0版本(六):函值极限存在性的判定法则
在3.0版本第(四)节中，给出了几个简单的例题，分别计算同一函数的函数极限J与函值极限Jo分别是多少。可以发现，对于同一个函数f(x)，当x→a时，会有三种情况存在:
①:f(x)当x→a时，它的函数极限J存在，并且函值极限Jo也存在，且有Jo＝J。
②:f(x)当x→a时，它的函数极限J存在，但它的函值极限Jo不存在。
③:f(x)当x→a时，它的函数极限J不存在，则它的函值极限Jo也不存在(没给出此类例题，可以自己去寻找此类例题验证)。
因此会有如下定理:函数f(x)当x→a时①:如果它的函值极限Jo存在，则它的函数极限J必然存在，且有Jo＝J。②如果它的函值极限Jo不存在，则它的函数极限J必然不存在。③:如果它的函数极限J存在，则它的函值极限Jo有可能存在，有可能不存在。④:如果它的函数极限J不存在，则它的函值极限Jo必然不存在。
以上定理的证明略。
那么，如何判定一个函数f(x)当x→a时，它的函值极限Jo究竟存不存在呢?
第一个判定方法很简单，那就是考察f(x)当x→a时，f(x)在a点是否有定义，有定义则函值极限Jo存在，无定义则函值极限Jo不存在。
但是，上面的只是一个很表象的判定方法，没有深入到函值极限存在性的内核，其内在的逻辑原理决非如此简单。
因此要弄清函值极限存在性的内在逻辑原理，就要深入剖析一下“→”这个符号究竟代表什么数学含义?
→符号读做“趋向于”，代表向某一个固定的数值无限靠近。在原版本ε－δ语言的极限定义中，由于考察的是去心邻域，对于邻域的中心点(已去除)是否有定义不予考察，因此在此定义下，→代表的是无限趋近但永远不能到达的意思。
例如:f(x)＝1/x，(x→0)，x向0无限靠近，但不能等于0，如果x＝0，则函数在此点无意义，因此x→0在这里代表无限靠近0而永远不能等于0。
但是另外的一个例子:f(x)＝8/x，(x→2)，x向2无限趋近，但f(x)在2处有定义，所以x可以等于2，当x＝2时，f(x)的极限等于4。因此在这个例子里，x→2代表的是x无限趋近于2并最终等于2。
因此对于同一个符号→，其实是有两个不同的数学含义，一种是无限趋于并且永远不能等于(→∧≠)，另一种是无限趋于并且等于(→∧＝)。
因此在这里给出函值极限Jo存在性的判定法则:对于函数f(x)当x→a时，如果→代表的是(→∧≠)的含义，则f(x)当x→a时的函值极限Jo不存在，如果→代表的是(→∧＝)的含义，则f(x)当x→a时的函值极限Jo存在。
以上是判定函值极限是否存在的重要判定法则，在下一节中，将会给出两个重要的全新概念:实极限与虚极限的概念和定义。

门外汉

微积分3.0版本(七):实极限与虚极限的定义
通过前面几节对函数极限J与函值极限Jo的描述说明，以及涵值极限存在性的判定法则，对于同一个函数f(x)当x→a时，如果f(x)的函数极限J(符合ε－δ定义的)存在，则会有两种不同的情况:
①:f(x)的函数极限J与函值极限Jo同时存在且相等。
②:f(x)的函数极限J存在，但函值极限Jo不存在。
针对以上两种情况，现给出两个全新的极限概念与定义，也就是实极限与虚极限的概念:
定义①:对于同一个函数f(x)当x→a时，如果f(x)的函数极限J与函值极限Jo同时存在，且有Jo＝J，则称J为函数f(x)的实在极限，简称实极限。
定义②:对于同一个函数f(x)当x→a时，如果f(x)的函数极限J存在而函值极限Jo不存在，则称J为函数f(x)的潜在极限，简称潜极限或虚极限。在本系统中简称为虚极限。
实极限与虚极限是针对函数极限J(ε－δ语言定义的)而言的，而不是针对函值极限Jo而言的。
那么设立这两个新概念的目的和意义是什么?二者之间又有何区别呢?下面举例进行说明:
(1):设f(x1)＝x是定义于实数区间［0，1］的函数表达式，求f(x1)当x→1时的函数极限J是多少?可知它的函数极限J为1。
(2):设f(x2)＝x是定义于实数区间［0，1)的函数表达式，求f(x2)当x→1时的函数极限J是多少?可知它的函数极限J也为1。
这是两个不同的函数，而有相同的函数极限，但二者的数学含义却是不相同的，f(x1)表示的是:f(x1)无限地趋近于1，并且f(1)＝1，因此称1为f(x1)的实极限。
f(x2)表示的是:f(x2)无限地趋近于1，但恒有f(x2)＜1而不等于1(因为1不存在)，因此称1为f(x2)的虚极限。
二者的另一个本质区别是:极限1存在于f(x1)的值域之中(Jo＝J)，而极限1不存在于f(x2)的值域之中(Jo不存在)。
从这里可以看出来:f(x1)是基于实无穷思想的函数形式，意指无限趋近并最终到达(此思想对于解决芝诺问题至关重要)，而f(x2)是基于潜无穷思想的函数形式，意指无限趋近但永远也不能到达(此思想对于解决芝诺问题无能为力)。
因此，基于实无穷思想的函数极限称为实极限，基于潜无穷思想的函数极限称为虚极限。
实际上，在微积分300余年的发展历史中，向来都是潜无穷形式的函数极限与实无穷形式的函数极限并行发展的，但由于古典微积分与现代微积分纯粹是以潜无穷思想为指导原则的，因此并没有将这两种不同形式的函数严格区分开来，由此可能造成的后果就是:潜无穷思想与实无穷思想混合运用，左右摇摆，首鼠两端，易引起逻辑混乱。
基于此原因，这便是在新版本微积分中，引入实极限与虚极限的必要原因，以便于严格区分这两种不同形式函数极限在计算过程中的细微差异之处。

门外汉

微积分3.0版本(八):再次修正函值极限定义。
在本版本中第(三)节的介绍中，初步给出了函值极限的定义，后经验证发现定义中存在较大漏洞，随即在第(五)节中进行了修正，但修正过后的函值极限定义经众位老师的指点，发现仍然不完善，仍然存在较大漏洞，因此在本节中对函值极限定义重新进行修正，修正后的函值极限定义如下:
函值极限定义:设函数f(x)在点xο的某个邻域中有定义，考察f(x)在xо处是否有定义，如果有定义，则存在f(xο)＝Ao，使得如果Ao满足:对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，对于满足0＜|x－xο|＜δ的一切x，都有|f(x)－Ao|＜ε，则称Ao为函数f(x)当x→xο时的极限，由于Ao存在于f(x)的值域之中，因此称Ao为f(x)当x→xο时的函数值极限，简称函值极限。
新版的函值极限定义与原版本中的极限定义极其相近，所不同的区别在于，原版的极限定义考察的是函数在点xο的去心邻域是否有定义，对于邻域的中心点xο(已去除)是否有定义不予考虑。而新版本的函值极限定义不仅要考察函数在点xο的邻域中是否有定义，更要着重考虑函数在邻域的中心点xο处是否有定义，如果有定义，则f(xο)存在，并且如果f(xο)满足ε－δ语言定义，则函值极限f(xο)存在，如果f(xο)不满足ε－δ语言定义，则函极极限不存在。
由于函值极限定义及新建立起来的一些定义非常重要，所以在后续写作过程中，会随时验证，发现漏洞及错误随时修正，感谢各位老师的及时指正，在此表示致谢。

门外汉

微积分3.0版本(九):实极限与虚极限的判定法则
在第(八)节中，修正了函值极限的定义，在此处重贴一下:
函值极限定义:设函数f(x)在点xο的某个邻域中有定义，考察f(x)在xо处是否有定义，如果有定义，则存在f(xο)＝Ao，使得如果Ao满足:对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，对于满足0＜|x－xο|＜δ的一切x，都有|f(x)－Ao|＜ε，则称Ao为函数f(x)当x→xο时的极限，由于Ao存在于f(x)的值域之中，因此称Ao为f(x)当x→xο时的函数值极限，简称函值极限。
在第(七)节中，给出了实极限与虚极限的定义，在此重贴一下:
定义①:对于同一个函数f(x)当x→a时，如果f(x)的函数极限J与函值极限Jo同时存在，且有Jo＝J，则称J为函数f(x)的实在极限，简称实极限。
定义②:对于同一个函数f(x)当x→a时，如果f(x)的函数极限J存在而函值极限Jo不存在，则称J为函数f(x)的潜在极限，简称潜极限或虚极限。在本系统中简称为虚极限。
对于实极限与虚极限，也给出了两个简单的例子:1为［0，1］区间中x→1的实极限。1为［0，1)区间中x→1的虚极限。
实极限意指函数值无限趋近于极限值并且二者相等，而虚极限意指函数值无限趋近于极限值而永远不能等于极限值。
这是潜无穷与实无穷之间界线分明的分水岭。
那么，对于某一个函数f(x)，如何判定它的函数极限J究竟是实极限还是虚极限呢?下面给出几条判定法则:
①:对于函数f(x)，当x→a时，如果它的函数极限J与函值极限Jo同时存在且相等，则J为f(x)的实极限。如果J存在而Jo不存在，则J为f(x)的虚极限。
(实际上，上述所述为实极限与虚极限的定义，但为了体现对两种不同极限形式的重视，仍将它做为判定法则)
②:对于函数f(x)，当x→a时，如果它的函数极限J存在，判断J是在f(x)的值域之中还是在值域之外，如果在值域之中，则J是f(x)的实极限，如果在值域之外，则J是f(x)的虚极限。
③:对于函数f(x)，当x→a时，考察f(x)在a点是否有定义，如果无定义且J存在，则J为f(x)的虚极限。如果f(x)在a点有定义，并且J存在，则判断→符号的数学含义，如果→代表(→∧≠)的含义，则J为f(x)的虚极限。如果→代表(→∧＝)的含义，则J为f(x)的实极限。
以上三条判定则非常重要，以后在习题中做极限的四则混合运算时会经常运用得到。