证明无穷乘积 ∏(n=2,∞)(n^3-1)/(n^3+1)=2/3

wilsony

谁能证明？

wangyangke

结果应该是1

王守恩

wangyangke 发表于 2019-3-9 11:48
结果应该是1

答案是2/3。别问我 “为什么”  。
a(1)=1(1-1)/(1(1-1)+1)=0/1
a(2)=2(2-1)/(2(2-1)+1)=2/3
a(3)=3(3-1)/(3(3-1)+1)=6/7
a(4)=4(4-1)/(4(4-1)+1)=12/13
a(5)=5(5-1)/(5(5-1)+1)=20/21
a(6)=6(6-1)/(6(6-1)+1)=30/31
a(7)=7(7-1)/(7(7-1)+1)=42/43
a(8)=8(8-1)/(8(8-1)+1)=56/57
a(9)=9(9-1)/(9(9-1)+1)=72/73
..........
a(n)=n(n-1)/(n(n-1)+1)

谢谢 wilsony！谢谢 fungarwai！

fungarwai

luyuanhong

楼上 wilsony 的帖子和 fungarwai 的解答都很好！

我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

王守恩

fungarwai 发表于 2019-3-9 13:43

谢谢 wilsony！谢谢 fungarwai！

往前走还可以简单！谢谢 fungarwai！

王守恩

fungarwai 发表于 2019-3-9 13:43

谢谢 wilsony！谢谢 fungarwai！这样就可以往前走了！
关键在（一）！别问我（一）是 “怎么” 来的？
我还正在想问您呢！您可有好的点子？
论坛靠大家来扶持！先谢谢了！

王守恩

fungarwai 发表于 2019-3-9 13:43

谢谢 fungarwai ! 绝妙的方法！
下面的题目用的就是这 “绝妙的方法”。
十个数码：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9可以有无穷变化！
当然，交换分子分母位置，得到的就是分母是 “1” 的数了。
亲爱的朋友！看着这漂亮的数字，您不冲动，赶紧拿笔也凑个热闹？！
谢谢 wilsony！谢谢 fungarwai！

王守恩

fungarwai 发表于 2019-3-9 13:43

谢谢 wilsony！谢谢 fungarwai！

照葫芦画瓢！我还是想再往前推一推，可以这样写吗？谢谢 fungarwai！

王守恩

fungarwai 发表于 2019-3-9 13:43

如何来证明：无穷乘积会是这么漂亮的数字。