n 是正整数，求用 n 个 1 作加减乘除四则运算能得到的最大值 Mn

elim

楼主：试试能否看懂楼上的帖子。

llz2008

   求总和为 A 的正整数的乘积的最大值f(A)max
   解：设A=a1+a2 +…+ai +…+an 则
        a1a2 … ai … an ≤［（a1+a2 +…+ai +…+an）/n］^n=(A/n)^n=f(A)
   令  y=linf(A)=n(lnA－lnn)  y对n求导，即
       y’=lnA－(lnn+1)=0时
          n=e^(lnA－1)=A/e
   所以，小于等于号取等号时，
          a1 =a2 =…=ai =…=an =e
   因为ai为正整数，所以ai=3
       A≡0mod3    f(A)max=3^(A/3)
       A≡1mod3    f(A)max=4×3^(［A/3］－1)
       A≡2mod3     f(A)max=2×3^(［A/3］)
  例如：A=2006
        2006≡2mod3
    ∴  f(2006)max=2×3^(［A/3］)=2×3^668

elim

裴进兵 发表于 2016-4-4 10:27
至于第一部分，极值j的计算方法并不难，有一些对数和导数的知识即可以知道，能分3就分3，不能分3就分剩两个 ...

这一部分在30楼已被证明。

裴进兵

e作为数学符号最先是欧拉使用的， 1727年欧拉在一篇论文中引进了符号e，
现在是用无穷收敛级数来定义的，后来，欧拉又用e作为对数的底，
他还在1737年证明了e和e^2 是无理数。
1844年，法国数学家刘维尔最先猜测e是超越数，
1873年，法国数学家爱米特首先证明e是超越数。
从定义e的无穷级数中，可以计算出它的前八位数是         
e≈2. 7182818。  
现在用电子计算机已算出e的几万位数字的近似值。
e也会出现在人们意想不到的地方。
例如：“将一个数分成若干等份，使各等份的乘积最大，怎么分？”
解决这个问题竟要用到e！具体分法是：使等分的各份尽量接近e。
如：把10分成10÷e=3.7份，3. 7份不好分，分成4份，
每份为10÷4=2.5，这时，2.54≈39最大，比分成的其他结果的乘积都要大！

裴进兵

e作为数学符号最先是欧拉使用的， 1727年欧拉在一篇论文中引进了符号e，
现在是用无穷收敛级数来定义的，后来，欧拉又用e作为对数的底，
他还在1737年证明了e和e^2 是无理数。
1844年，法国数学家刘维尔最先猜测e是超越数，
1873年，法国数学家爱米特首先证明e是超越数。
从定义e的无穷级数中，可以计算出它的前八位数是         
e≈2. 7182818。  
现在用电子计算机已算出e的几万位数字的近似值。
e也会出现在人们意想不到的地方。
例如：“将一个数分成若干等份，使各等份的乘积最大，怎么分？”
解决这个问题竟要用到e！具体分法是：使等分的各份尽量接近e。
如：把10分成10÷e=3.7份，3. 7份不好分，分成4份，
每份为10÷4=2.5，这时，2.5^4≈39最大，比分成的其他结果的乘积都要大！

luyuanhong

楼上 elim 的解答很好！我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

elim

裴进兵

elim 发表于 2016-4-19 05:19

我把10以内的，都验证过了，没有反例。按照以往的经验看，当n比较小的时候很难存在反例，但当n达到15左右的时候，即使所有数字都一样，验证起来也需要相当长的时间。（时间复杂度至少是阶乘级的）

n稍微大一点，程序验证就要非常长的时间。

裴进兵

我呢，现在已经坚信这个猜想是完全正确的，我正在努力的去证明这一点，也许毕生精力都不可能会完成，但我依然愿意去做

王守恩

裴进兵 发表于 2016-9-3 00:08
我呢，现在已经坚信这个猜想是完全正确的，我正在努力的去证明这一点，也许毕生精力都不可能会完成，但我依 ...

完成了吗。我来推你一把。