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定义1:虽然我们无法说清自然数的十进记数法是谁造的,但应当说它很有价值。根据这个方法,按照从小到大的顺序,可以得到下边的自然数的标准无穷序列。
0,1,2,3,…11,…… (1)
根据“无穷”二字是无有穷尽、无有终了的意思,这个数列的元素具有根据通项写出法则可以无限延续下去的无穷数列,又具有在任何有限时间内永远写不到底的性质;(1)式中的省略号不是通常语文中的省略号,它表示了永远写不到底的意义。所以笔者称这个数列为想象性质的理想性质的数学元素,能够被写出的只能是有限多个自然数组成的有限自然数数列。数列(1)中的任何元素叫做都叫做有限自然数,它们都是具有“在有限时间内可以被写出的现实存在性质的数学元素”。理想性质的自然数无穷数列纯粹是 现实性质的有限自然数组成的,恩格斯讲到:“杜林先生永远做不到没有矛盾地思考现实的无限性,无限性是一个矛盾,而且充满种种矛盾,无限纯粹是有限组成的,这已经是矛盾,可事情就是这样”[2]。可以无限延续又不能延续到底是一对矛盾,但这个矛盾不是违反形式逻辑法则中矛盾律的坏矛盾,前者是对无限时间讲的,后者是对有限时间讲的,因此是可以相互依存的好矛盾。这个理想数学元素与这些现实数学元素之间存在着相互依存的对立统一关系;没有有限自然数就没有这个自然数无穷数列;反过来有限自然数存在于这个无穷数列之中,两者之间存在着相互依存的对立统一关系。现行教科书,没有使用唯物辩证法的对立统一法则,因此没有讲清这个 理想与现实、无穷与有穷之间的相互依存的对立统一关系。任何其它无穷数列 ,都可以而且应当有一个制造法则 (式中n依次是标准无穷数列(1)中的自然数);数列(1)与任何其它无穷数列也都是理想性数学元素。对所有无穷数列都需要使用理想与现实对立统一法则阐述其关系。
进一步讲:包含(1)中所有自然数的集合可以记作 :N={ 0,1,2,3,…11,…… }。但关于这个集合,需要提出依赖于有穷集合的趋向性质的想象性质的构造法则。
法则1:根据(1)式,可以提出以集合为元素的无穷序列
{0},{0,1},{0,1,2},…,{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}…… (2)
同时称这个集合序列为:全能近似自然数集合序列;其中的每一个集合都叫做近似自然数集合。上述全能近似自然数集合序列无穷序列(2)的永远达不到性质的想象性质的趋向(或称广义极限)性质的、无法构造完毕的事物叫做理想自然数集合。这个理想自然数集合的元素个数,定义为其全能近似自然数集合序列中集合元素个数序列{n}的广义极限 ;由于 可是非正常实数,所以,理想自然数集合N也叫做非正常集合,它是一个依赖于可构成的现实集合序列的想象性质的理想性数学元素;并提出如下定义。
定义2:元素个数为有限自然数,且集合本身不能作为集合元素的集合,叫做正常集合,否则,叫非正常集合。
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