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数学悖论:证明直线的面积等于4平方米

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发表于 2019-2-11 18:09 | 显示全部楼层 |阅读模式

我们知道,点是一维的,长为0,宽为0,高为0;线是一维的,有长度,宽为0,高为0;面是二维的,有长和宽,高为0;体是三维的,长宽高皆有。
抛开与本文无关的其他维度暂不说,本文的重点是:一维的直线尽管长度是无限长的,但它的宽度为0,所以它是没有面积的,或者说直线的面积为0,这是经典数学中的一条重要结论。
但是,如果能够证明出来一条直线的面积大于0,则数学的基础存疑。
证明开始:
设一个正方形,长为2米,宽为2米,我们可以用一年级小学计算方法算出来这个正方形的面积为2米×2米=4平方米。
这个正方形有一个像孙悟空金箍棒一样的神奇本领,那就是可以随意的变粗变细,变长变短,下面设计一个程序,让正方形在两分钟的时间里做出如下的变化:
计时开始,整个计时时间为两分钟:
当时间从0走到1分钟,还剩余1分钟时,该正方形的宽度缩短为原来的一半,长度增加一倍,此时宽为1米,长为4米,面积:1米×4米=4平方米,面积不变;
当时间剩余1/2分钟时,该正方形,哦现在是长方形了,该长方形的宽度再缩短一半,长度增加一倍,此时宽为1/2米,长为8米,面积为4平方米不变;
当时间剩余1/4分钟时,该长方形的宽度再缩短一半,长度增加一倍,此时宽为1/4米,长为16米,面积为4平方米不变;
当时间剩余1/8分钟时,该长方形的宽度再缩短一半,长度增加一倍,此时宽为1/8米,长为32米,面积为4平方米不变。
……

以下是无穷多个省略号

问:当剩余的时间为0,2分钟的计时时间结束时,该长方形的宽为多少?长为多少?
答:宽度为0,长为无限。
此时的四边形最终变成了一条一维直线。
由于在变化的过程中,只有长度和宽度在不断变化,而无论怎么变化,其面积恒定不变,所以最后得出结论:直线的面积等于4平方米。如果你说直线的面积为0,请问那4平方米的面积跑到哪里去了?
请指出上述证明中的逻辑错在了哪里?

发表于 2019-2-11 23:07 | 显示全部楼层
平面面积是二维勒贝格测度,所谓测度,是指某可测集合类到非负实数集上的函数。这个对楼主太深。大意是,一个集合 S 的测度 m(S) 是唯一的,
令 A(n) = [-n,n]×[-1/n,1/n], m(A(n)) = 4,  llim A(n) = R, lim m(A(n))=4.  认为 m(R) = 4 就是认为
m(R) = m(lim A(n)) = lim(m(A)).
令 B(n) = [-2n,2n]×[-1/n,1/n], 则仍有 lim B(n) = R, 但 lim(m(B(n)) = 8. 所以 m 这个函数关于集合的极限不是连续的: S = lim S(n) 推不出 m(S) = lim(m(S(n)). 换句话说,楼主关于实数轴 R的二维勒贝格测度的计算是错误的。错在对测度函数的连续性假定上。

发表于 2019-2-11 23:40 | 显示全部楼层
主贴的缪论被楼主称为悖论是不恰当的,逻辑忽悠和悖论不是一回事。

这个主题让人想起jzkyllcjl 有关点的”大小“的扯蛋。他是这么说的,如
果这些点的”大小“都等于0,那么[0,1] 的一维测度(即长度)作为这些点
的”长度“的和也是0。老学渣的这番歇斯底里和他关于无穷项不可和的
观点是矛盾的。严格的测度理论的确有可和性,对可释义的和都成立。
但不可数无穷项的和没有意义。jzkyllcjl 从无穷项不可和一下叛变为不
可数无穷项可和,其错乱令人叹为观止。
 楼主| 发表于 2019-2-12 04:08 | 显示全部楼层
elim 发表于 2019-2-11 15:07
平面面积是二维勒贝格测度,所谓测度,是指某可测集合类到非负实数集上的函数。这个对楼主太深。大意是,一 ...

面积的计算公式是什么?是长×宽吧?在本帖中,面积的计算公式失效了?
发表于 2019-2-12 07:04 | 显示全部楼层
什么东西失效,在2楼说得很清楚了. 那里的那一句话看不懂?
 楼主| 发表于 2019-2-12 12:16 | 显示全部楼层
elim 发表于 2019-2-11 23:04
什么东西失效,在2楼说得很清楚了. 那里的那一句话看不懂?

勒贝格测度我不懂,所以你用勒贝格测度做出的解释我回答不了。
只问这个问题:当长方形变成一条直线时,长方形固有的4平方米的面积是怎么消失的?
发表于 2019-2-12 12:55 | 显示全部楼层
只要还是矩形,面积变不会消失. 直线的“面积”与那些矩形的面积没有关系。只要不偷换概念,就没有什么东西消失,


 楼主| 发表于 2019-2-12 19:32 | 显示全部楼层
elim 发表于 2019-2-12 04:55
只要还是矩形,面积变不会消失. 直线的“面积”与那些矩形的面积没有关系。只要不偷换概念,就没有什么东西 ...

当时间为2分钟时,该矩形的宽度变为0
发表于 2019-2-12 22:15 | 显示全部楼层
门外汉 发表于 2019-2-12 04:32
当时间为2分钟时,该矩形的宽度变为0

不存在宽度为0的矩形。
 楼主| 发表于 2019-2-13 20:40 | 显示全部楼层
elim 发表于 2019-2-12 14:15
不存在宽度为0的矩形。

如果矩形的宽度为0,则成为一条直线
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