数学大厦将倾之：圆面积推导公式的逻辑谬误

门外汉

我们上小学数学课时便已熟知圆的面积公式：设一圆的半径为r，则该圆的面积S＝πr^2，那么这个公式是怎么推导出来的呢？在经典的数学教学中，有一个非常简单易懂的推导方法，下面以图示的方法来进行说明：



如上图所示，将一个半径为r的圆平均分为16等分，将上半部分和下半部分分别展开并交替嵌合在一起，则拼成为一个类似于平行四边形的图形，如果分的份数越多，每一份就会越小，那么拼成的图形就会越来越接近于一个长方形，将圆分成无穷多份并上下交错拼合出来，则最后组成的图形便是一个严格的长方形，由图中可以看出来，该长方形的宽便是圆的半径r，而长便是圆周长的一半即πr，所以该长方形即圆的面积便为πr^2.
这个推导的过程非常的浅显易懂，连小学生都会轻易的弄懂其原理，这里称这种方法为“化圆为方”法。
那么，这个推导方法确实是天衣无缝，没有任何错误的吗？我们常会说的一句话是：“真理再往前走一步就是谬误”，如果我们再深入一步的探究其内在原理，便会惊异的发现，其实这个推导方法居然是大错特错的，下面进行说明：
如图中所示，当将圆均分为16等分时，每一部分实际上是一个扇形，将其展开所组成的上下两条边长其实并不是一条平直的线段，而是由8条圆弧所组成的波浪形状的起伏弧线，所以拼成的图形只不过是近似于长方形的图案而不是长方形。
如果分的份数越多，那么上下两条边长就会无限的接近于平直的线段，但这也只是说明它会无限的接近于线段而不是真正的线段。
举例来说：如果将圆均分为36份，则每一个扇形的弧心角为10度；如果均分为360份，则每一个扇形的弧心角为1度；均分为3600份，则每一个扇形的弧心角为0.1度……
也就是说：将圆均分为n等分，只要n是一个有限大的自然数，那么其扇形的弧心角一定大于0，那么拼成的图形的上下两条边只是由n/2条圆弧所组成的波浪线而不是严格意义上的线段。
那么什么时候拼出来的图形的上下两条边才能成为真正严格意义上的线段呢？也只能是：将圆均分为无穷多份，此时每一个“扇形”的弧心角为0度，既然“扇形”的弧心角为0度，则每一份便不再是扇形了，而是一条长度为r的线段，也就是说：当将圆均分为无穷多份后，则该圆最终被分割成为无穷多条长度为r的线段，再将这无穷多份长度为r的线段拼接出来，则所拼出的图形的上下两条边的边长才是真正严格意义上的线段而不再是近似于线段的波浪线。
但由此引发出来的逻辑问题是：这无穷多条线段中，每一条线段的长度为r，但宽度为0（线段只有长度没有宽度），也就是每一条线段的面积都为0，则由这无穷多条面积为0的线段所拼出来的长方形的面积便是0+0+0+0+……＝0，或者是0乘以无穷大等于0。
结论：一个半径为r的圆经无穷分割再组合之后，其面积居然为0，由此悖论产生。

jzkyllcjl

第一，你说过希尔伯特旅馆问题，无穷多旅馆是造不成的不存在的。
第二，无穷次操作是达不到的， 只能研究n趋向于无穷是 面积的极限，36份分、2600份式的 面积如何？n趋向于无穷是 面积的极限如何？

elim

楼主的东西和宇宙邪灵的东西是一回事对吧？

试问圆面积公式与圆面积的差是多少？ 门外汉的数学，楼主落后人类数学连千年都不止啊。

门外汉

elim 发表于 2019-2-9 13:17
楼主的东西和宇宙邪灵的东西是一回事对吧？

试问圆面积公式与圆面积的差是多少？ 门外汉的数学，楼主落 ...

宇宙邪灵的帖子在哪里?能否给个链接?我先去看看。

elim

http://www.mathchina.com/bbs/for ... &extra=page%3D1

门外汉

elim 发表于 2019-2-9 13:59
http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=346553&extra=page%3D1

原来宇宙邪灵就是谢芝灵，这篇帖子读完了，和我的思路大方向一致，小有差异，奇怪的是，这篇帖子光看见两位副教授赞赏，却不见e老师反驳，难道是e老师反驳不了?
不过这帖子有一个论点还真是没人反驳得了:扇形永远变不成三角形。
所以想问一下e老师:既然扇形永远变不成三角形，那么能不能变成无穷条长度为r的线段呢?

elim

门外汉 发表于 2019-2-9 07:36
原来宇宙邪灵就是谢芝灵，这篇帖子读完了，和我的思路大方向一致，小有差异，奇怪的是，这篇帖子光看见两 ...

有必要反驳邪灵吗？
为了关爱，问一下圆面积公式与圆面积的差是多少？ 假定原的半径为 1。

门外汉

elim 发表于 2019-2-9 15:01
有必要反驳邪灵吗？
为了关爱，问一下圆面积公式与圆面积的差是多少？ 假定原的半径为 1。

圆面积公式与圆面积的差为0，计算结果上是正确无误的，但在逻辑原理上，出错了。
数学计算难道可以不讲逻辑吗?

elim

门外汉 发表于 2019-2-9 08:05
圆面积公式与圆面积的差为0，计算结果上是正确无误的，但在逻辑原理上，出错了。
数学计算难道可以不讲 ...

这个公式的推导不依赖扇形等于三角型，或者非直线等同与直线之类的逻辑忽悠，所以没有什么逻辑错误。

这个推导无非是说小三角形的面积和的极限等于圆面积，而这个极限是  Pi * r^2。

谁的逻辑出了问题，现在是一目了然了。

人越无知就越高傲，数千年来在这么初等的问题无人及得上门外汉？

门外汉

elim 发表于 2019-2-9 15:41
这个公式的推导不依赖扇形等于三角型，或者非直线等同与直线之类的逻辑忽悠，所以没有什么逻辑错误。

...

请问老师一个问题:将圆无限均分，每一个扇形的弧心角是多少度?