A,B 轮流取桌上的 n 个球，每次取球数必须是正整数的平方，先取完者获胜，问一些问题

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

wangyangke

对于17，究竟是先手必胜还是后手必胜？
17=9     +4+4
    =16   +1
   

luyuanhong

wangyangke 发表于 2019-2-14 08:42
对于17，究竟是先手必胜还是后手必胜？
17=9     +4+4
    =16   +1

n=17 时 ，是后手必胜。

（1）n=17 时，如果先手取 1 ，成为 n=16 ，后手只要取 16 就获胜。

（2）n=17 时，如果先手取 4 ，成为 n=13 ，后手可以取 1 ，成为 n=12 。

n=12 时，先手如果取 9 ，成为 n=3 ，后手可以取 1 ，成为 n=2 ，先手只能取 1 ，后手再取 1 就能获胜。

n=12 时，先手如果取 4 ，成为 n=8 ，后手可以取 1 ，成为 n=7 ，这时如果先手取 4 ，成为 n=3 ，上面已经推出这时后手必胜。

n=7 时，如果先手取 1 ，成为 n=6 ，则后手可以取 4 ，成为 n=2 ，先手只能取 1 ，后手再取 1 就能获胜。

n=12 时，先手如果取 1 ，成为 n=11 ，后手可以取 9 ，成为 n=2 ，先手只能取 1 ，后手再取 1 就能获胜。

（3）n=17 时，如果先手取 9 ，成为 n=8 ，后手可以取 1 ，成为 n=7 ，上面已经推出这时不管先手怎样取，后手必胜。

（4）n=17 时，如果先手取 16 ，成为 n=1 ，后手再取 1 就能获胜。

wangyangke

wangyangke

按取数规则，在数的分拆不含有平方数时只能 一 一取数，确定的数目，取胜是先手或后手是确定的；
确定的正整数能分拆出的平方数的个数的最大值是固定的；
一次能取走的数目里的平方数或一个或偶数个，即取走1,2,4,8，，，个平方数，不存在一次取走大于1个的奇数个平方的数的取数情形；
对于仅有先手、后手的取走平方数，每次取走数目也就不影响取胜结果。


n=N的平方+1个数无限，即后手取胜无限；n=N的平方（N=1除外）+2个数无限，即先手取胜无限；

wangyangke

456=16的平方+8*个5的平方；
16的平方=4个8的平方=16个4的平方=64个2的平方，可以1,4,16，64次取玩，其1次取完，胜在先手；4,16，64取后未取完，机会轮到先手；不改变取胜结果；

8*个5的平方=2个10的平方；同理了，不改变取胜结果；

luyuanhong

wangyangke 发表于 2019-2-15 10:27
n=N的平方+1个数无限，即后手取胜无限；n=N的平方（N=1除外）+2个数无限，即先手取胜无限；

1^2+1=2 ，2^2+1=5 ，3^2+1=10 ，4^2+1=17 都是后手胜，但是 5^2+1=26 却是先手胜。

n=26 时，先手可以取 9 ，成为 n=17 ，轮到后手先取。

前面已经证明：n=17 时，轮到先取的人，不管怎么取，都是必败，所以后手必败。

wangyangke

感谢陆教授循循善诱！
n=N的平方（（N=1，N的平方是平方和的除外）+1个数无限，即后手取胜无限；n=N的平方（N=1，N的平方是平方和的除外）+2个数无限，即先手取胜无限；

luyuanhong

wangyangke 发表于 2019-2-15 12:44
感谢陆教授循循善诱！
n=N的平方（（N=1，N的平方是平方和的除外）+1个数无限，即后手取胜无限；n=N的平方 ...

6^2=36 不能分解为平方和 ，但 6^2+1=37 也是先手胜。

n=37 时，先手可以取 25 ，成为 n=12 ，轮到后手先取。

前面已经证明：n=12 时，轮到先取的人，不管怎么取，都是必败，所以后手必败。

wangyangke

36可以分拆为4*3的平方或者9*2的平方，，，；