证明2^n-2模2^K-1只有k种余数

白新岭

对于素数11来说，又不符合上述规律，仅没有出现余数9（即已经证明的结论，任何奇素数都没有余数-2）

白新岭

对于素数41来说，还是有10#的规律1,4,5,9,10,11,12,13,15,17,20,22,24,25,26,27,28,32,33,36,39
不知道是否除了素数11，素数5以外，其它6n-1的素数都有此规律否。
对于主楼提到的问题谁能证明，这新出现的问题又有谁证明呢？

白新岭

对素数43来说，仅出现了14种余数，有29种余数没有出现，这又是问什么呢？前边出现了2^K-1中k类余数的，有出现了仅有一半的（不到一半）余数，这里又出现了仅1/3的余数，到底数列2^n-2对素数模P来说，有多少种情况呢？不得而知。我的电脑对模函数的取值范围仅到1亿的范围，太小了，只好用取整函数代替，那也只能到14位，15时后边的数字就四舍五入了，不精确了。没有别的办法，不知道在vfp的软件中函数的取值范围是多大。

白新岭

现在找到了证明方法:数列2^n-2展开为2+2^2+2^3+2^4+......+2^(n-1),而2^K-1可以写成1+2+2^2+2^3+2^4+......+2^(K-1)形式，这样就有mod（n，k）个余式，多项式除法，即每过k项就形成新的循环，意思从国定的n值最高位开始提取公因子2^m，再提取2^(m-k），一直提下去，最后剩下小于2^（k-1）的项，它前边有k-1种余式，如果正好提取完，此时余数为0，所以只有k种余数。这就是2^k-1形式的素数只有k种余数的原因。

白新岭

对于形如2^K-1的数可以展开，求多项式余数；
对于形如2^K+1的数就这样，把2^n-2展开，求多项式余数；
而其他形式待研究。
2019年2月9日：
数列2^n-2对模2^k-1的数只有k种余数。
数列2^n-2对模2^k+1的数只有2k种余数。
看来一加一减决然不同。
数列2^n-2对模2k-1的数都没有余数-2，k≥2.
数列2^n-2对模(2^k-1)^2的数只有k(2^k-1)种余数。
数列2^n-2对模(2^k+1)^2的数只有2k(2^k+1)种余数。
特别的对于素数5来说，它是2^2+1的数，所以有2*2=4种余数
而数列对于2k-1的数都没有-2这个余数，所以不出现的余数
为3，而在25中，有2*2*5=20种余数，没有的余数是余数3加
5的整倍数，即3,8,13,18,23等5个余数，这是通过多个渠道
推出来的。
3与9的关系很微妙，一个是2^2-1的形式，一个是2^3+1的
形式，有命题可知3有2种余数，9有6种余数，另外还有一个
新命题，即对于一切奇素数的m次幂的数来说，它有余数为
（2a-1）^(m-1）*（2a-1）的余数个数。
所有合数等于各自对应的余数个数的乘积，有多个同因子的
除一个采取它的余数个数外，其余的同因子不变，仍作为
因子。
到这里已经定义完了所有奇合数的余数个数问题。
而对于素数而言，现在只找到了两种形式2^k-1与2^k+1，
还有对于每一个2k-1的奇数没有-2的余数这三个结论。
而对于大部分不是上述两种形式的素数有什么规律呢？
对于素数而言，如果他减1后写成2^m和的形式，指数和为
素数或素数的次幂，则该素数的余数种数为素数-1，即
只有-2不能取到，而其他为合数的情况，还是比较复杂。
上边的结论是错误的，写成2的指数形式，指数和，是素数
或素数的次幂不是判断它余数种类的依据，因为对于前14个
素数做了研究发现，除具有2^k±1形的素数外，还有9个，
而这9个，如果写成2的次幂形式，则指数和都是素数或素数
的次幂，但是有5个素数都是少一个余数-2，其余余数都有；
而有三个素数有(P-1)/2个余数，有一个素数有(P-1)/3
不知后边的素数是否出现(P-1)/c的情况，c为素数呢？
还是整数呢？再就是，有上述余数个数的素数有什么特征呢？
写成指数形式的素数，其指数和一定是素数或次幂的形式吗？
素数3具有2^k±1的两种形式，它是唯一一个，用那个命题
都正确。
在547以前共有7个素数具有2^k±1的形式（我共选了100个样本）
每个素数都可以拆分成2^m不同次数和的形式，指数m的和
是正整数，素数合数素数的次幂各种情况都有。

白新岭

到现在也不知道数列2^n-2模素数P余数只有(P-1)/2个余数类的素数有什么特征；数列2^n-2模素数P余数只有(P-1)/3个余数类的素数有什么特征。还有没有其它类型的余数个数都不得而知。因为计算机的精度问题及excel软件带的函数取值范围问题都受到制约。

白新岭

14#楼的证明思路是从最高指数位的数开始，每k个数一组，向低位靠近，直到剩余项不够k项为止，这样最多剩k-1项，剩余的项数对应着一种余数，共计k-1个余数，当项数正好是k的倍数时，此时整除2^k-1,余数为0，所以数列模此类数的余数个数为k。

白新岭

现在知道73，89都是有（p-1）/8的余数类，还有一个占比更小的151仅占（151-1）/10，素数47占（47-1）/3，占1/2的素数多了就不在列出，总起来说，除了2^k-1的素数的余数类比较少以外，第二的应该是 2^k+1形的素数，除此以外再没有办法排序了，因为对于其他素数，到底最少占几分之一就很难判断了，素数才到151就有了1/10的比例，那以后缩小的比例可能会很小，比起素数的增速要快的多。

白新岭

2019年2月9日：下午
因为每个奇素数都可以写成合数±1的情形，所以也无法看出
那些拥有少量余数类的素数有什么特征。
2019年2月10日：上午
找到了素数73问什么只有9种余数的原因了，因为它的2^m的形式
2^0+2^3+2^6正好形成等比数列（指数形成等差数列），它可以
改写成(8^3-1)/(8-1)的形式，即(2^9-1)/(2^3-1)，
假设数列2^n-2模数p有集合A的元素构成，则这些元素乘以素数
q，新元素模p还是集合A的元素吗？经实际验证是，余数种类改变
但余数的数量不会变，这个很容易解释，总共就那么多个元素，
相乘后值改变了，但是个数不会因乘数改变，这可以称为余数类
数量不变原理吧。所以数列除(2^9-1)/(2^3-1)余数类的多少，
取决于数列模(2^9-1)余数类数量，与(2^3-1)无关，它是素数，
有前边的命题可知它有9种余数，所以(2^9-1)/(2^3-1)它有9种
余数，这里的论述有点牵强。我们可以回到原来的思路，
2^0+2^3+2^6是等比数列，有3项，公比是8，最高指数为6，
现在我们用数列的指数来表示数列：1,2,3,4,5，……n，
我们把它表示成9n+i的形式，则i可以为0至8的取值，共9种取值，
当i取0时，说明正好9n个数，（1,4,7），(2,5,8),(3,6,9),
（10,13,16），（11,14,17），……,三个一组，三个一组，
正好写完（对于数列n正好是9的倍数时）；当i=1时，留出第一项
从第二项起，每三个一组，每组都是以3为公差的等差数列，
每组3项，而且不交叉，也正好把其余项都组成3个为一组的等差
数列，这样余数就是第一项；这里忘了最重要的一个思路没有
说清，那就是问什么，非3个一组呢？因为它们正好整除素数P，
提出一个公共因子2^b，则每组3项的和正好是素数p，这是至关重
要的；对于i的其它取值，可以类似推出，都会剩余前i项的和，
每一个i对应着一种余数，所以有i种余数。这是直接的证明过程。
现在明白了，什么情况时会出现余数较少的情况，那就是拆分成
的2的次幂形式的素数，如果拆分项构成等比数列（指数构成等差
数列），则余数种类比较少。这只是把等差数列分析出来了，其它
情况呢？
89与73一样有(P-1)/8种余数，而且余数类数为11，是素数，它的
2的幂次形式为(2^0+2^3+2^4+2^6),以后为了简略表示，只用指数
的点元素表示，素数89的点素数（0,3,4,6），它不是等差数列，
安组成它的整倍数的思路，也把数列表示成11n+i的形式，看一看
i=0的情况，用4个数一组行不通。
现在找到了241的规律，问什么它的点素（0,4,5,6,7）并没规律，
它不是等差数列，但是4,5,6,7连续（这也不一定是判断余数种类
的依据），那它可以为等比数列，2^4*(2^4-1)/(2-1)=2^8-2^4
与2^0也组成等比数列，公比-16，首项为1，共计三项，有求和公式
1*(（-16）^3-1)/(-16-1)=(2^12+1)/(2^4+1)的形式，数列除它的
余数与除以(2^12+1)余数的类目数相同，所得余数在乘(2^4+1)，
余数值会发生改变，但是其类目数不变，当然(2^12+1)它为合数，
而乘数(2^4+1)为素数，如果按以前对合数下的结论，这就矛盾了，
但是那是有关乘法的余数类目数的定理，这里是除法关系，合数
(2^12+1)的余数类目数为2*12=24，安理说，素数241的余数类目数
为24/8=3而这里即不是8种，也不是3种，而是维持原判，就是24种，
所以余数的类目数问题真是奥妙无穷。
73本身的点素是等比数列，用了数组法，可是它可以用等比数列
写成等比数列求和公式的形式（2^k-1）/(2^m-1），到这里数列
对它模的余数类目数仍然是k，与命题一致(2^9-1)/(2^3-1)，它
为9，除数是素数7，(2^9-1)是合数，为73*7.
所以又有一个新的结论对于素数能写成（2^K-1)/(2^m-1）的形式，
或者可以写成（2^K+1)/(2^m+1）的形式者，除数(2^m±1）是素数，
则它的余数类目数也是k与2k种（+号的是2k，-号的是k）。
对于整个素数而言，这几种形式的素数很少，所以大部分素数的
余数类目数仍然是一个谜，虽然最多的为P-1个。
素数337的点素（0,4,6,8）后三项形成等比数列，2^4(4^3-1)/(4-1),
（2^10-2^4）/3,与2^0不能构成新的等比数列，(2^10-2^4+2+1)/3
(2^10-2^4+2^2-1)/3→（2^10+（-1）*((-4)^3-1)/(-4-1))/3,
（2^10-(2^6+1)/(2^2+1))/3→（2^12+2^10-2^6-1)/(2^4-1)
没有推出有价值的形式。只是带来一个副产品13与65的余数类目数。
分析337时的副产品素数13能写成(2^6+1)/(2^2+1)的形式，所以
它的余数类目数为2*6=12这再一次印证了（2^K+1)/(2^m+1）的结论
当知道余数个数时会得到解决办法，有了结果在找原因，这是一种
倒推法，经数列除337得到了21种余数，所以我们可以把n写成21n+i
的形式，从后往前，21个组成一组，则前边最多余下20项，否则
就是正好为21的倍数，即i=0时，我们任意提取一组数据，提出最大
公共因子2^(21n+1),则剩余指数为：(0,1,2,……19,20),我们倒着
分组（20,18,16,12),(19,17,15,11)留下13,14，在从(10,8,6,2),
(9,7,5,1)留下了3,4,0，对于分好的组，可以提取最大公因子，剩下
数字正好与点素一致，即能整除素数，那么我们看一看，余下的是否
能整除素数337呢？2^0+2^3+2^4+2^13+2^14=24601,除337为73(是素数)
这样好了，从数列的最后一项开始，每过21项分成一组，每组数在
分成4组，而后都留下5项（组成一组），这5组分别都能整除337，
而数列安21项分组，最多留下前20项，所以它有21种余数。
到此，我们可以这样判断一个素数的余数种类，用前m项试除，如果
出现余数0，说明到此就形成了循环，最多试除到P-1项就可以停止了，
因为每个奇素数最多有P-1种余数，总有一个余数不会出现。

白新岭

在19#主要是发现了能写成（2^K±1）/(2^m±1）形式的素数，在式子中分子分母加减同号不交叉，它们的余数是k种（减号时），2k种（加号时）。

它们是分成的指数形式为等差数列（项之间是等比数列，说等差指的是幂次，说等比指的项），当然这类数也比较少，而其他的素数也有较少的余数类目，这又是问什么呢？