证明2^n-2模2^K-1只有k种余数

白新岭

等比数列2^n，n为正整数，它的前n项和为2^(n+1)-2,它模2^K-1只有k种余数，与2^K-1是否为素数无关，在这里规定k≥2（实际上k=1，是1，余数为0，也是符合命题的），本命题主要是说在数列中，对于一个素数来说，具有形式2^K-1的余数类数最少。
而其他素数可以有最多n类余数（n<P）,而P<n时，最多有P-1个余数，即无论n取多大，都不能取遍P的所有余数，这是一个比此命题更难证的命题。这里的n值是指在一定的范围内而言，不再是无穷数列。
数列2^(n+1)-2模2^K-3没有余数2^K-5，这里k≥3，这也是一个命题。

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当n=k+1时，因为2^(K+1)-2=2*(2^K-1),所以此项能整除2^K-1，余数为0；当n=2k+1时，因为2^(2K+1)-2=2*(2^2K-1)=2*（2^K+1）（2^K-1）,所以此项能整除2^K-1，余数为0。这形成周期，每个周期内有k项2^n-2。

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对于给定的n值，数列2^n-2^(n-m),1≤m≤(n-1),一样有上述性质。即模2^K-1只有k种余数，当n大于k时，模
2^K-3没有余数2^K-5，对于任意的n值来说，模素数p最少有一个余数不能得到。

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我们可以把2^n-2写成2^（mk+i）-2的形式，i取0至k-1的值，看一看每个i值对应的余数是否一致，如果一致，则命题成立。对于i=1的情况，可以证明模2^K-1余数为0。

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对于此主贴中的第二与第三个问题，因为mod（2^n，P）≠0，所以mod（2^n-2，P）≠-2，这里P为奇素数（为素数，但是不等于2）。这个结论很重要，它关系到是否存在任意长度的素数差等比数列。

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对于此主贴中的第二与第三个问题，因为mod（2^n，P）≠0，所以mod（2^n-2，P）≠-2，这里P为奇素数（为素数，但是不等于2）。这个结论很重要，它关系到是否存在任意长度的素数差等比数列。

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举出反例。就能证明它是一个伪命题。

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对素数23来说，数列2^n-2没有余数3,5,8,9,12,13,15,17,18,19,20,21这12种余数，其余11种余数都有，这是自然数的幂模素数的一般情况吗？n大于1，当然素数本身肯定只有整除的一种情况，含因子的一样，对于互质的呢？

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对于素数19来说，仅没有余数17

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对于素数17来说没有余数1,3,4,5,8,9,10,12,15这9种，它与23有同样的性质，看来除了对素数2^K-1的素数只有k种余数，有素数P-K种余数不出现外；对于6n-1的素数也有规律，那就是有3n个余数不出现。