四边形 ABCD 中，∠ABD=50°，∠DBC=30°，∠ACD=30°，∠ACB=40°，求∠DAC 和 ∠ADB

ccmmjj

这是日本人的题目，意思是根据图上条件，计算DAC,ADB两个角的大小。

drc2000再来

20度，50度

jzkyllcjl

我提一个计算步骤如下，请你算一下。第一步，设BC=1,计算出AC与AB的长度，BD与CD的长度；第二步，根据AC与CD及∠ ACD的大小 算出AD的长度，第三步，应用正弦或余弦定理，算出∠DAC ∠ ADB的大小。
其各个计算过程 都可以近似方法。如果不用近似方法，那只有使用符号 表示了。

ataorj

a:b:c=
d:c: (e+b)=
(f+c) :d: (g+h)
上面比例关系是因为三个三角形相似之故.
第一行和第二行都有比例项c,说明d可由a,b,c表示出来,
(e+b)也是,则e也可由a,b,c表示出来
第二行和第三行都有比例项d,易知f和(g+h)也可由a,b,c表示出来,

g=n+a,
g,f夹角为30度,所以g可由(f+c)表示出来,易知g也可由a,b,c表示出来,
结合刚才的结论(g+h)可由a,b,c表示出来,则知h也可由a,b,c表示出来,
这样d至h都可由a,b,c表示出来,
这时可能能得到:
g/h=f/(e+b)
则i是f,b夹角的平分线,则半角显然=50度,则另一个要 求解的数 显然=20度

ywl

将△ACD以CD反射到△CDA'，再导角计算即可搞定。

ataorj

[感谢纠错!]
a:b:c=
d:c: (e+b)=
(f+c) :d: (g+h)
得:
d=ac/b
(e+b)=cc/b
(f+c)=dd/c
(g+h)=(e+b)d/c
g=(f+c)/3^(1/2)

对于判断g/h=f/(e+b),即我们关心:
g*f-h(e+b)是否为0
代入转换化简中有一点需要说明,公共因式不为0的都可以略去.
最后得到:
bba^2-b^4+bbcc-aacc+aacb
bb(a^2-b^2+cc)-aacc+aacb
bb*ac*√3-aacc+aacb
bb√3-ac+ab,需要关心其是否为0

a:sin80=
b:sin30=b:0.5=2b:1=
c:sin70
得:
sin80=a/2b
sin70=c/2b
令b=1,有:
sin80=a/2
sin70=c/2
sin30=0.5
√3-ac+a=0?

sin80sin70=0.25ac
=0.5(cos10+0.5√3)
√3-2(cos10+0.5√3)+a=0?
注意:这里没完成;
验证时一般作图b≠1,所以a/b才是a的正确值

ataorj

√3-2(cos10+0.5√3)+a=0?
cos10=0.5a?
因为sin80=a/2,即cos10=0.5a
这说明前文中内容:

可能能得到:
g/h=f/(e+b)
则i是f,b夹角的平分线,则半角显然=50度,则另一个要 求解的数 显然=20度

得到了确证,解毕.

ataorj

a:b:c=
d:c: (e+b)=
.....
第一行和第二行都有比例项c,说明d可由a,b,c表示出来,

这说法不恰当，比如
a:b:x=
d:c: (e+b)

d=ac/b

王守恩

给出任意角度的通用解法！

设交点为E，在三角形BCE中：CE=sin30，BE=sin40

在三角形CDE中：CE=sin80sin30/sin80，DE=sin30sin30/sin80

在三角形ABE中：BE=sin60sin40/sin60，AE=sin50sin40/sin60

在三角形ADE中：已知两边与夹角，求另两个角，

sin∠DAC/sin∠ADB=sin∠DAC/sin(70-∠DAC)=DE/AE=(sin30sin30/sin80)/(sin50sin40/sin60)

由方程：sin∠DAC/sin(70-∠DAC)=(sin30sin30/sin80)/(sin50sin40/sin60)

解得：∠DAC=20，∠ADB=50

提示：用软件解方程时，要限制解的范围在0——70。

ataorj

你这个是查表法吗？能准确吗？
另外，你的sin关系是正弦定理，
非同一三角形时不能脱离对边线段来使用，否则容易混乱有错。
要表现出明确来源比例关系才好。