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四边形 ABCD 中,∠ABD=50°,∠DBC=30°,∠ACD=30°,∠ACB=40°,求∠DAC 和 ∠ADB

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发表于 2019-2-1 14:03 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 luyuanhong 于 2019-2-9 01:05 编辑

这是日本人的题目,意思是根据图上条件,计算DAC,ADB两个角的大小。

                               
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发表于 2019-2-9 21:43 | 显示全部楼层
求角度.jpg

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也很不错,但没有本质的不同。  发表于 2019-2-10 03:54
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 楼主| 发表于 2019-2-8 22:45 | 显示全部楼层
因为没有看到好的解答过程(陆老师都不转帖),只好自己动脑想了两天,得到一个三角方程的解。特贴出来以飨网友。
求角度.png
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关于这个方法对应的三角方程是可以解出来的,那是因为角度特殊的缘故。正是因为这组特殊的角,所以有这种特殊的方法。所以这类题目虽然是可解的题目,但却不是一般代数可解的题目。从这个角度推测,一般几何方法可能是不存在的。
注:“一般代数可解”的意思是能使用有限次加减乘除、乘方开方得到答案的题目。
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发表于 2019-2-4 12:35 | 显示全部楼层
这个题靠正弦是算不出来的。它最后会得出一个三角方程,而这个方程的解不是算出来的,是把解代入到方程结果成立,从而说明解正确

点评

对这道题来说,方程是可解的。  发表于 2019-2-8 22:46
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发表于 2019-2-2 20:46 | 显示全部楼层
本帖最后由 ataorj 于 2019-2-3 22:13 编辑

求角.GIF
a:b:c=
d:c: (e+b)=
(f+c) :d: (g+h)
上面比例关系是因为三个三角形相似之故.
第一行和第二行都有比例项c,说明d可由a,b,c表示出来,
(e+b)也是,则e也可由a,b,c表示出来
第二行和第三行都有比例项d,易知f和(g+h)也可由a,b,c表示出来,

g=n+a,
g,f夹角为30度,所以g可由(f+c)表示出来,易知g也可由a,b,c表示出来,
结合刚才的结论(g+h)可由a,b,c表示出来,则知h也可由a,b,c表示出来,
这样d至h都可由a,b,c表示出来,
这时可能能得到:
g/h=f/(e+b)
则i是f,b夹角的平分线,则半角显然=50度,则另一个要 求解的数 显然=20度

点评

去掉线段 i ,典型的梅氏定理!  发表于 2019-2-4 09:16
谢谢ataorj!画出上方 30° 的角,如果再去掉线段 i ,什么角度都有了。  发表于 2019-2-4 08:49
ataorj网友的解法很好,能够想到三个三角形都相似,然后用比例转换,得到角平线的比例。巧妙的解法,巧得狠的题目。只是 g/h=(e+b)/f 式子要改一下,是 g/h=f/(e+b) 才对。最好哪位网友整理一下过程,陆才收录。  发表于 2019-2-3 04:12
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发表于 2019-2-2 17:37 | 显示全部楼层
本帖最后由 jzkyllcjl 于 2019-2-2 09:40 编辑

我提一个计算步骤如下,请你算一下。第一步,设BC=1,计算出AC与AB的长度,BD与CD的长度;第二步,根据AC与CD及∠ ACD的大小 算出AD的长度,第三步,应用正弦或余弦定理,算出∠DAC ∠ ADB的大小。
其各个计算过程 都可以近似方法。如果不用近似方法,那只有使用符号 表示了。
发表于 2019-2-3 09:51 | 显示全部楼层
将△ACD以CD反射到△CDA',再导角计算即可搞定。
发表于 2019-2-3 13:52 | 显示全部楼层
本帖最后由 ataorj 于 2019-2-3 14:17 编辑

[感谢纠错!]
a:b:c=
d:c: (e+b)=
(f+c) :d: (g+h)
得:
d=ac/b
(e+b)=cc/b
(f+c)=dd/c
(g+h)=(e+b)d/c
g=(f+c)/3^(1/2)

对于判断g/h=f/(e+b),即我们关心:
g*f-h(e+b)是否为0
代入转换化简中有一点需要说明,公共因式不为0的都可以略去.
最后得到:
bba^2-b^4+bbcc-aacc+aacb
bb(a^2-b^2+cc)-aacc+aacb
bb*ac*√3-aacc+aacb
bb√3-ac+ab,需要关心其是否为0

a:sin80=
b:sin30=b:0.5=2b:1=
c:sin70
得:
sin80=a/2b
sin70=c/2b
令b=1,有:
sin80=a/2
sin70=c/2
sin30=0.5
√3-ac+a=0?

sin80sin70=0.25ac
=0.5(cos10+0.5√3)
√3-2(cos10+0.5√3)+a=0?
注意:这里没完成;
验证时一般作图b≠1,所以a/b才是a的正确值
发表于 2019-2-3 14:15 | 显示全部楼层
√3-2(cos10+0.5√3)+a=0?
cos10=0.5a?
因为sin80=a/2,即cos10=0.5a
这说明前文中内容:

可能能得到:
g/h=f/(e+b)
则i是f,b夹角的平分线,则半角显然=50度,则另一个要 求解的数 显然=20度

得到了确证,解毕.
发表于 2019-2-3 21:40 | 显示全部楼层
本帖最后由 ataorj 于 2019-2-3 21:42 编辑

a:b:c=
d:c: (e+b)=
.....
第一行和第二行都有比例项c,说明d可由a,b,c表示出来,

这说法不恰当,比如
a:b:x=
d:c: (e+b)

d=ac/b
发表于 2019-2-4 08:35 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2019-2-9 11:08 编辑

给出任意角度的通用解法!

设交点为E,在三角形BCE中:CE=sin30,BE=sin40

在三角形CDE中:CE=sin80sin30/sin80,DE=sin30sin30/sin80

在三角形ABE中:BE=sin60sin40/sin60,AE=sin50sin40/sin60

在三角形ADE中:已知两边与夹角,求另两个角,

sin∠DAC/sin∠ADB=sin∠DAC/sin(70-∠DAC)=DE/AE=(sin30sin30/sin80)/(sin50sin40/sin60)

由方程:sin∠DAC/sin(70-∠DAC)=(sin30sin30/sin80)/(sin50sin40/sin60)

解得:∠DAC=20,∠ADB=50

提示:用软件解方程时,要限制解的范围在0——70。
发表于 2019-2-4 11:52 | 显示全部楼层
你这个是查表法吗?能准确吗?
另外,你的sin关系是正弦定理,
非同一三角形时不能脱离对边线段来使用,否则容易混乱有错。
要表现出明确来源比例关系才好。
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