椭圆相关公式

zagjali

[这个贴子最后由zagjali在 2006/05/16 01:24am 第 9 次编辑]

以下是椭圆相关公式，欢迎各位专家检验、指导。
一、椭圆周长近似公式：
①  L＝（a+b）*180°*(（a-b）/a)＾2/arctg((a-b)/a)＾2
   (a＞0,b≥0,b→a)
当b→a时，椭圆→圆，公式：
L＝2aπ   或L＝2rπ.
当b=0时，椭圆＝直线，公式：
L＝4a.
在椭圆公式中，半长轴a和半短轴b可以互换，精度一般。
下面是该公式的图片：

abb型：
   S＝4π(bsin(π/4)(a-b)+b＾2)
   S＝πb/(100a)(17a+3b)＾2
当b＝0时，S＝0
当b＝a时，S＝4πa＾2
精度一般。
aab型：
   S＝2π(a＾2+bsin(π/6)(a-b)+b＾2)
   S＝2π(a＾2+b/(16a)(3a+b)＾2)
当b＝0时，S＝2πa＾2
当b＝a时，S＝4πa＾2
精度稍差，有待改进。
上述正弦角只选取了最常用的π/4、π/6等角弧度，
面积值随正弦值的大小而波动。

麦克鱼

[这个贴子最后由麦克鱼在 2005/11/16 00:14am 第 1 次编辑]

椭圆周长是一个定积分（如上），不能表示为a，b的初等函数。
你的公式不算离谱，构造近似公式不难。
给一个近似计算
a=10 b=1 时
精确值（50位）
40.639741801008957425577931011816563791313052134504
你的公式计算值（50位）
42.441493351756732945033354477449738532912824393307
我也构造一个椭圆周长近似公式：
L(a,b)=2(a+b)(2+(π-4)ab/(a^2+b^2))
L(a,a)=2πa (a=b)
L(a,0)=4a  (b=0)

麦克鱼

[这个贴子最后由麦克鱼在 2005/11/16 08:38am 第 1 次编辑]

下面引用由zagjali在 2005/11/16 06:25am 发表的内容：
请问楼上的高手，你是编程计算还是使用64位精度的计算器，得出那么多位数值，真让我佩服。
目前所有带“圆”字的公式都属于近似公式，关键是误差多少而已，不管是初等函数还是高等函数，正因为是近似公式，我也　...

Mathematica软件，网上搜索一下。
理论上有无穷精度，实际计算要根据实际情况，精度过高占用计算机时间太多！
例如我计算过π的10万位。

hlc-2005

执迷于求出无穷多位的数学人是植物人
只要能有限次计算出圆周率就有突破了
正如王礼昌的公式都是三角恒等式
凡是三角恒等式都是可有限次求出其中一个元素
而所求出的这个元素何须苦苦追求无限数
当今中国的数学教育
悲呼哀哉！

zagjali

[这个贴子最后由zagjali在 2006/04/20 11:34pm 第 2 次编辑]

下面是一个由
天下为公推导、
zagjali改进
的精度很高的近似公式：
L=π[(5+mn)Q/4-(1+mn)ab/Q]
(Q＝a+b、 m＝16/π-5、 n＝((a-b)/a)＾6或5、7)
当a＝10000、b＝6500时
     L＝52419.47706  
与标准数 52421.0360 只有1.55894的误差，
可见其精度较高，与标准数非常接近。
这是它与标准公式的数据对比：
a～b----------标准----------对照
100~000---400.00000000---400.0000000
100~001---400.10983297---400.1857665
100~010---406.39741801---406.2661530
100~025---428.92108875---428.6267320
100~050---484.42241100---484.3478802
100~075---552.58730400---552.5837715
100~090---597.31604325---597.3159717
100~099---625.18088479---625.1808848
100~100---628.31853070---628.3185307

再将天下先生的公式  
   LD2＝πQ(1+3h/(10+√(4-3h))
改进为：
   LD2＝πQ(1+3h/(10+√(4-3h))(1+mn)
(Q＝a+b、m＝22/7π-1、n＝((a-b)/a)＾33.7 、h＝((a-b)/(a+b))＾2.)
当a＝10000、b＝6500时
     L＝52421.0360
与标准数 52421.0360 完全一致，

可见其精度之高，近似之冠，暂时非它莫属。
这是目前精度非常高的近似公式：
下面是数据对比
a---b-------椭圆真值-------改进后--------改进前
100~000---400.00000000---400.0000000---399.8390650
100~001---400.10983297---400.1289644---400.0142159
100~010---406.39741801---406.3974165---406.3927210
100~025---428.92108875---428.9209922---428.9209816
100~050---484.42241100---484.4224108---484.4224108
100~075---552.58730400---552.5873040---552.5873040
100~090---597.31604325---597.3160432---597.3160432
100~099---625.18088479---625.1808848---625.1808848
100~100---628.31853070---628.3185307---628.3185307
这样的精度计算一般的周长已经足够.

zagjali

[这个贴子最后由zagjali在 2006/04/20 11:27pm 第 1 次编辑]

公布一个非常简单的椭圆周长近似公式：
原公式：L＝π√(2a＾2+2b＾2)
改进式：L＝π√(2a＾2+2b＾2)(1+mn)
m＝2√2/π-1，
n＝((a-b)/a)＾2.1

当a＝10000、b＝6500时
    L＝52407.06153
与标准数 52421.0360 相比小13.97，精度基本满意，
下面是数据对比
a---b-------椭圆真值-------改进后--------改进前
100~000---400.00000000---400.0000000---444.2882938
100~001---400.10983297---400.9449863---444.3105077
100~010---406.39741801---410.8296262---446.5042093
100~025---428.92108875---433.0112290---457.9618909
100~050---484.42241100---485.1794404---496.7294133
100~075---552.58730400---552.3482423---555.3603673
100~090---597.31604325---597.2554764---597.7287674
100~099---625.18088479---625.1808993---625.1848315
100~100---628.31853070---628.3185307---628.3185307
这是一个运用平衡法进行完善的典型例子，上几贴同样如此，
不太完美的周长公式，加上平衡公式后，基本满足了常规的
简单近似计算。

zagjali

下面是几个比较常用的且很有特点的近似公式：

zagjali

[这个贴子最后由zagjali在 2006/04/20 11:49pm 第 1 次编辑]

将一个最简单的近似公式改进后，看看精度如何？
原公式：Lb1＝π(a+b)
改进式：Lb2＝π(a+b)(1+mn)
( m＝4/π-1 、n＝((a-b)/a)＾3.3 )

下面是数据对比
a---b-------椭圆真值-------改进后--------改进前
100~000---400.00000000---400.0000000---314.1592654
100~001---400.10983297---401.1716882---317.3008580
100~010---406.39741801---412.2691346---345.5751919
100~025---428.92108875---434.2236961---392.6990817
100~050---484.42241100---484.3122122---471.2388980
100~075---552.58730400---551.3272938---549.7787144
100~090---597.31604325---596.9843465---596.9026042
100~099---625.18088479---625.1769810---625.1769381
100~100---628.31853070---628.3185307---628.3185307
经过改造后的数据与原数据相比有了很大的进步，基本可以
满足椭圆周长简单的近似计算。

zagjali

椭圆周长近似公式为普通数学爱好者提供了方便，但精度毕竟有限，如果要计算较高精度的椭圆周长时，近似公式就显得力不从心了，下面是一个常用的椭圆周长标准公式：

希望数学爱好者及高手们不妨试试，只要不怕麻烦，精度一定能够满足任何要求。

zhangjiali

好多图片都不在了，可惜了，