数学——符号推演的艺术

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数学——符号推演的艺术

数学离不开各式各样的符号. 数字如2, 0, 1, 8, 运算符如+, -, ×, ÷, 等号=, 不等号≠都是最常见的数学符号. 其他语义复杂一些的数学符号有π, √, sin, ∈, ∃, ⊥, ∂ 等等. 这些有趣的符号可以用来表示各种具体或者抽象的数学概念, 包括数学对象以及数学对象之间的相互关系, 而数学活动的主要内容正是研究、处理数学对象和数学对象之间的数量和逻辑关联. 例如, 2+0÷1-8, eπi+1=0, x2+y2>r2, m||l 等, 它们都是典型的数学符号表达式. 数学从计数开始, 通过引进五花八门的符号系统, 建立内涵丰厚的分支体系, 逐渐发展成为描述、论证自然科学规律和现象的基础语言.

数学分支和学科的形成遵循基本的发展规律: 首先选取一些原始的数学概念, 包括对象和度量以及它们之间的数量和逻辑关系. 这些原始概念大多是现实世界中各种事物的数学抽象, 它们没有严密的数学定义. 譬如, 数论中的1、几何学中的“点”和代数学中的“变元”都可以视为原始的数学概念, 对其我们很难给出严密的定义. 有了原始的数学概念, 我们再假定它们之间满足某些不证自明的数量和逻辑关系, 也就是假定某些公理成立. 基于假定的公理, 我们可以利用形式演算和 逻辑推理规则严格地证明、导出新的数量和逻辑关系, 即性质和定理. 有了原始和导出关系, 我们又可以引进导出概念, 再严格证明、导出更新的数量和逻辑关系, 如此类推. 在这个知识递归积累的过程中, 人们需要引进各种符号, 用来表示原始的和导出的数学概念. 数学研究的中心内容就是处理数学符号和符号关系式, 解决有关它们的演算、证明和推理问题.

数学研究离不开符号演算、离不开形式推理. 数学符号和符号之间的关系形式多样、语义复杂, 有关它们的推理演算离不开工具: 过去和现在离不开稿纸、离不开黑板, 将来必然会离不开计算设备. 符号计算随着计算机的出现应运而生并快速发展, 成为深度融合数学与计算机科学的交叉学科, 重点研究、探索数学也即符号数学演算和推理的算法化、机械化、自动化, 设计并实施适合在计算设备上运行的高效算法、软件平台和应用模块. 符号数学推演既是基本的又是高级的智力劳动. 实现这种劳动的算法化和机械化是一项非常艰巨的工作, 需要数代科学家和研究人员为之长期努力, 也需要社会各界的大力支持. 计算机科学与技术的发展已为数学的机械化提供了必要的理论基础和应用设施, 但数学机械化的基本实现依然任重道远, 创新求索的过程必然会艰难复杂. 如何有效推进符号数学推演的算法研究和软件开发, 实现高级智力劳动的机械化、自动化, 让数学作为自然科学的基础语言和工具为科技文化教育的信息化建设与发展发挥更大作用, 这是时代赋予我们前所未有的挑战和机遇, 我们必须积极应对.

现代符号计算的发展始于上世纪60年代初期, 当时美国的几个科研小组几乎同时开启了符号计算软件的研发. 麻省理工学院的J. R. Slagle设计实施了符号自动积分软件SAINT, IBM公司的J. E. Sammet研发了处理初等函数表达式的软件系统FORMAC, 在斯坦福直线加速器中心访问的M. J. G. Veltman研发了用于粒子物理计算的程序包SCHOONSCHIP, 贝尔实验室的W. S. Brown研发了符号代数系统ALPAK和编程语言ALTRAN. 稍后, 斯坦福大学的A. C. Hearn研发了主要用于物理计算的流行软件系统REDUCE, 威斯康星大学的G. E. Collins将先前在IBM公司开发的多项式处理程序包PM升级为SAC-1 (后续版本: SAC-2, SAC/ALDES, SACLIB), 英国剑桥大学的J. Fitch等人研发了用于天体力学和相对论计算的剑桥代数系统CAMAL等. 这些早期系统的实现大多基于程序设计语言LISP. 到了70年代, 符号计算软件的研发更是持续不断: IBM公司成功研发了带有嵌入知识的强类型代数计算系统SCRATCHPAD (后续版本: SCRATCHPAD II, AXIOM), 麻省理工学院研发了著名的符号与代数计算系统MACSYMA (MAXIMA), 而REDUCE系统的研发则从斯坦福大学转移至犹他大学. 符号计算软件研发的前20年基本上可以看作是之后开发成熟软件系统的预研期. 这个时期的实践表明, 符号计算软件系统的有效实施不仅需要面对数据结构、表达式膨胀、垃圾清理和存储管理等众多计算机科学方面的问题, 而且还要求用于符号与代数计算的算法高效实用, 因而极大地推动了符号计算的算法研究, 包括算法的设计与优化、算法的理论复杂度分析和算法的实际计算效率分析. 许多有关多项式运算、代数化简、符号积分的基础性算法都是在那段时间发展成熟的. 与此同时, 新一代符号计算软件系统的研发拉开了序幕, 支撑符号计算未来发展和应用的核心算法被深入研究并普遍受到重视, 基于符号推演的计算交换代数、计算微分代数、计算代数几何和计算实几何等新兴学科开始形成. 它们为符号计算这门交叉学科朝着纵深的方向发展注入了强劲的动力.

上世纪80年代初期, B. Buchberger的Gröbner基方法和吴文俊的特征列方法在符号计算领域受到高度关注, 进而广为人知. 学者们从不同的层面对这两种方法展开了深入研究. 紧随其后, 由G. E. Collins提出的基于柱形代数分解的量词消去方法也得到了很大改进. 这三种方法可以用来有效处理多项式系统、多项式理想、半代数系统及其定义的各种代数与几何对象, 系统研究其性质与表示以及它们之间的相互关系, 因此有着非常广泛的理论和实际应用. 围绕这三种方法, 符号计算领域的研究呈现出勃勃生机, 很多基本而棘手的数学问题，如代数方程求解和几何定理求证，都可以通过这些方法来机械地、自动地或者交互式地获得解答. 由此衍生的各种基础和应用研究也丰富了符号计算的内涵, 推动了符号计算这门学科的全面发展, 加速了符号计算软件的研发进程.

从80年代中期开始, 以MAPLE和MATHEMATICA为代表的新一代科学计算通用软件在全球发布, 并实行商业化运营; 数十种其他通用或专用软件系统如DERIVE, MuPAD, MAGMA, MACAULAY 2, SINGULAR, CoCoA, Risa/Asir, SageMath等也相继推出. 这些系统具有强大的符号计算、数值计算和图形计算功能. 近30年来, 符号计算软件的研发团队始终关注算法研究的最新进展, 他们紧跟信息科学与技术的发展, 将科学研究的成果及时快捷地植入软件产品, 行之有效地推动了产学研的良性互动与深度融合.

我国学者为符号计算的发展做出了杰出贡献. 以著名数学家吴文俊先生为代表的中国学派长期致力于数学算法化、机械化的研究和发展, 成就斐然, 在国际学术界有很高的地位和广泛的影响. 吴先生提出的证明几何定理和计算多项式组与微分多项式组的特征列与零点分解的方法是自动推理和符号计算领域的核心方法, 也是数学机械化方法的典范. 吴方法和吴先生的数学机械化思想激发了国内外学者的大量后续工作, 其中由国内学者引领发展的理论和方法涉及多项式系统、微分多项式系统和差分多项式系统的算法化消元与三角化分解, 数学定理的机器证明与发现, 半代数系统的实解隔离与实解分类, Gröbner基的计算与基于Gröbner基的特征分解, 曲线曲面的隐式化与拼接, 代数、几何与组合计算, 符号与数值混合计算, 多项式、微分多项式与差分多项式的基本运算等. 我国学者在与之有关的国际学术活动中也表现出色: 数十人次先后担任国际学术期刊《符号计算杂志》(JSC) 的编委、《计算机科学中的数学》(MCS) 的创刊主编和编委, 符号与代数计算国际研讨会(ISSAC)、 自动推理国际会议(CADE)、 人工智能与符号计算国际会议(AISC)、 数学软件国际会议(ICMS)等系列学术会议的大会或者程序委员会主席, ACM 符号与代数计算专业委员会(SIGSAM) 主任以及ISSAC 指导委员会主任等职; 多次在这些学术会议上作特邀报告, 并且是ASCM, ADG, MACIS等多个国际学术会议系列的创办人. 我国符号计算领域的学者在国际学术界的可见度和影响力还在继续上升.

为了促进符号计算的研究与发展、培养更多优秀的青年学者, 笔者与同事一起从2003年开始组织举办符号计算暑期讲习班. 首期讲习班在安徽黄山举行, 由中国科学技术大学承办, 之后的四期讲习班先后在北京大学、成都电子科技大学、北京航空航天大学和广西民族大学举行, 其日程安排主要包括短课程和专题学术报告. 2015年由北航承办的第四期讲习班增设了青年学者研讨班, 为包括研究生在内的青年学者开展学术交流提供平台. 本书收集了部分青年学者在研讨班上报告的论文. 这些论文在一定程度上反映了我国青年学者目前的学术水平及其从事研究工作的符号计算领域的前沿发展现状. 2003年至今的15年正是现在活跃在科研第一线的中青年学者成长起来的15年. 笔者希望延续至今的符号计算暑期讲习班对这些学者的成长有所裨益, 同时也希望已经成长起来的学者能够积极担负起未来讲习班的组织和课程讲授工作, 将符号计算暑期讲习班继续办下去, 并且越办越好, 为符号计算的持续发展培养更多更优秀的青年人才.

没有符号, 就没有数学! 没有符号计算, 就没有数学机械化!

(本文是王东明教授为文集《符号计算选讲》 (孙瑶、李婷、王定康编, 科学出版社, 2018) 所写的序言)

来源：阿狗数学AlgoMath

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