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本帖最后由 jzkyllcjl 于 2018-9-29 12:08 编辑
最基本的无穷数列是自然数数列 0,1,2,3,…11,…… (1)
笔者称:这个数列叫做理想自然数的标准序列。
这个数列可以叫做无穷数列,但对无穷需要提出以下的辩证概念。第一,数列(1)的提出依赖于一个自然数记数法则。这个数列的通项看可以写作(n-1)或n, 依照广义极限概念,可以得到这两个通项即变数的广义极限为非正常数——无穷大+∞。因此这个数列可以叫做无穷数列,这个数列中的所有自然数作为一个整体,可以叫做理想性质的自然数集合。但需要知道他的元素个数是无有穷尽的,是永远写不到底的理想性事物。
无穷级数的定义首先需要有一个与(1)对应的无穷数列{Un}, 然后才可以提出无穷级数表达式 U1+U2+……+Un+……,根据人们无法进行无穷次加法运算的事实,需要提出这个的前n项部分和序列{Sn}的极限S为无穷级数和的定义(参看华东师大《数学分析》下册),但现行教科书中表达式U1+U2+……+Un+……=S,不恰当(因为人们无法进行无穷次加法运算)应当使用极限性表达式lim n→∞Sn=S.
泰勒级数与麦克劳林展开式都需要依赖泰勒多项式的泰勒定理, 二项式函数展开式也是如此。对于函数1/(1-x), 由于在x=0 处的 任意阶导数存在,所以依照泰勒定理,可以写出任意多项的有余项的泰勒多项式,而且对区间(-1,1)内任意x,都有余项的lim n→∞极限为0的表达式成立(参看华东师大《数学分析》下册102,103页),所以,对函数1/(1-x)的在x=0处的n次泰勒多项式的 lim n→∞的极限为1/(1-x),所以成立 极限性等式
1/(1-x)= lim n→∞(1++x+x^2+x^3+……+x^n)。现行数学教科书中并把这个极限表达式写作无穷级数表达式不恰当(因为人们无法进行无穷次加法运算) 。elim 说“数学可以进行无穷次加法运算”的话违反事实,195912 坚持无穷级数的表达式的思想是没有深入研究的思想。 |
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