诚邀jzkyllcjl老先生求解

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-8-22 16:56
春风晚霞：你对第二个的计算，由于疏忽，把∞前边符号搞错了。你可以检查你的计算，也可以从被积函数图像 ...

曹老头，我让你计算两个积分，你为什么只计算一个？按你的说法，自变量从右边逼近于0原函数的极限为负无穷(否则就没有第二个积分为-1-(-∞)=+∞-1)，这合理吗？这与被积函数图像在x轴上方是否矛盾？

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2022-8-22 09:45
曹老头，我让你计算两个积分，你为什么只计算一个？按你的说法，自变量从右边逼近于0原函数的极限为负 ...

春风晚霞：你计算第二积分时，算错的原因可能是忽略了原函数为-1/x 的负号造成的。你也可以从被积函数图像的对称于y轴，两边曲线都在x轴上方，两边的曲边图形面积相等，得到两边的积分值相等，知道你计算中有符号的错误。第二个我也也算过，但需要你自己算。这个错误，我已经给你多次同济大学《高等数学》中，不仅指出了与你相同的错误，，而且给出了正确计算与结果。我说多了，你应当自己找出错误原因。

春风晚霞

\(\color{blue}{\mathbf{【原题】}}\)已知：中学阶段的反比例函数为双曲线y=1/x ，求从a~b，那段曲线长度\(\small\int_a^b\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}dx\).
\(\color{blue}{\mathbf{【一、分析】}}\)
依题意由曲线弧长公式得L=\(\small\int_a^b\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}dx\)和y=\(1\over x\)的图像知:①原题暗含a≠0，a<b，且a，b同号。②若设被积函数的原函数为F(x)，则有:
\begin{split}
&\qquad F(x)=\small\int\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}dx=\small\int\small\dfrac{1}{x^2}\small\sqrt{x^4+1}dx&(1)\\
&\small\raise{6pt}{\underline{\underline{\small\mathbf{ \hspace{0.5cm} {分部积分}\hspace{0.5cm} }}} }
-\small\dfrac{1}{x}\small\sqrt{x^4+1}+\small\int\dfrac{2x^2}{\small\sqrt{x^4+1}}dx\qquad&(2)\\
&\small\raise{6pt}{\underline{\underline{\small\mathbf{ \hspace{0.5cm} {换元用公式*}\hspace{0.5cm} }}} }-\small\dfrac{1}{x}\sqrt{x^4+1}+xLn|{t+\sqrt{t^2+1}}|-\small\int\ln|{t+\sqrt{t^2+1}}|dx&(3)
\end{split}由于没有哪个初等函数的导数是\(\small Ln|{t+\sqrt{t^2+1}}|\)，所以我们需要把\(\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}\)展开成无穷级数。
\(\color{blue}{\mathbf{【二、预备知识】}}\)二项式幂级数展开式
\((1+u)^α\)\(=1+\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞\dfrac{α(α-1)(α-2 )(α-3)…[α-(n-1)]}{n!}u^n\)\(\quad\)u∈(-1，1]

春风晚霞

\(\color{blue}{\mathbf{【三、题解】}}\)
当x∈(-1，0)U(0，1)时，\(x^4\)∈(0，1)
\((1+u)^α\)\(=1+\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞\dfrac{α(α-1)(α-2 )(α-3)…[α-(n-1)]}{n!}u^n\)
在上式中令α=\(1\over 2\)，u=\(x^4\)，则有
则有\(\sqrt{1+x^4}\)\(=1+\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞\dfrac{\tfrac{1}{2}(\tfrac{1}{2}-1)(\tfrac{1}{2}-2 )(\tfrac{1}{2}-3)…[\tfrac{1}{2}-(n-1)]}{n!}x^{4n}\)
\(=1+\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞{(-1)^{n-1}}\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!}x^{4n}\)
\(F_{0<|x|<1}\)(x)=\(\int\dfrac{1}{x^2}\sqrt{1+x^4}\)dx\(=\int【x^{-2}+\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞{(-1)^{n-1}}\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!}x^{4n-2}\)】dx
所以：\(F_{0<|x|<1}\)(x)\(=x^{-1}+{(-1)^{n-1}}\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!(4n-1)}x^{4n-1}\)

春风晚霞

\(\color{blue}{\mathbf{【四、题解续】}}\)
当x∈(-∞，1]U[1，+∞)时，\(1\over x^4\)∈(0，1]
\((1+u)^α\)\(=1+\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞\dfrac{α(α-1)(α-2 )(α-3)…[α-(n-1)]}{n!}u^n\)
在上式中令α=\(1\over 2\)，u=\(1\over x^4\)=\(x^{-4}\)，则有
则有\(\sqrt{1+x^{-4}}\)\(=1+\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞\dfrac{\tfrac{1}{2}(\tfrac{1}{2}-1)(\tfrac{1}{2}-2 )(\tfrac{1}{2}-3)…[\tfrac{1}{2}-(n-1)]}{n!}x^{-4n}\)
\(=1+\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞{(-1)^{n-1}}\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!}x^{-4n}\)
\(F_{|x|≥1}\)(x)=\(\int\sqrt{1+x^{-4}}\)dx\(=\int【1+\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞{(-1)^{n-1}}\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!}x^{-4n}\)】
\(=x+\displaystyle\sum_{n=1}^∞{(-1)^{n-1}}\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!(-4n+1)}x^{-4n+1}\)
\(\color{blue}{\mathbf{【五、应用举列】}}\)
因为曲线的弧长始终是正值，所以L=\(\small\int_a^b\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}dx\)=|F(b)-F(a)|
例1：求\(\small\int_1^2\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}dx\)
【解】：\(\small\int_1^2\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}dx\)=|\(F_{|x|≥1}\)(2)-\(F_{|x|≥1}\)(1)|
\(=|1+\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞{(-1)^{n-1}}\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!(-4n+1)}[2^{-4n+1}-1]\)
例2：求\(\small\int_{0.25}^1\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}dx\)|
【 解】：\(\small\int_{0.25}^1\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}dx\)=|\(F_{|x|≥1}\)(1)\(-F_{0<|x|<1}\)(0.25)|
\(=|1-4-\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞{(-1)^{n-1}}\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!(4n-1)}\)\(0.25^{4n-1}-1\)
\(=|3-\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞{(-1)^{n-1}}\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!(4n-1)}\)\(0.25^{4n-1}-1\)|

注意：在无穷级数字运算中，若没告诉精确度结果应保留算式。
例3：求\(\small\int_4^5\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}dx\)，结果保留10位有效数字
【解】：因为本题告诉了精确度，所以需要讨论余项。为此，我们把\(F_{|x|≥1}\)(x)\(=x+\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞{(-1)^{n-1}}\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!(-4n+1)}x^{-4n+1}\)改写成
\(F_{|x|≥1}\)(x)\(=x+\small\displaystyle\sum_{n=1}^N{(-1)^{n-1}}\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!(-4n+1)}x^{-4n+1}\)+R(x)，则有：0<|R(x)<|\(\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!(-4n+1)}x^{-4n+1}\)|1+\(x^{-4}\)+\(x^{-8}\)+\(x^{-12}\)+…)<\(x^{-4n+1}\)|1+\(x^{-4}\)+\(x^{-8}\)+\(x^{-12}\)+…)
<\(x^{-4n+1}\)，所以当\(5^{-(4n-1)}\)≤\(10^{-10}\)时，\(F_{|x|≥1}\)(5)的余项和|R(5)|<\(10^{-10}\)，解这个关于n的不等式知，需且只需计算\(F_{|x|≥1}\)(5)前五项即符合要求，这时\(F_{|X|≥1}\)(5)\(\approx\)4.99866689512；同理算得符合条件的\(F_{|x|≥1}\)(4)\(\approx\)3.99739692189，所以\(\small\int_4^5\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}dx\)=|\(F_{|x|≥1}\)(5)-\(F_{|x|≥1}\)(4)|\(\approx\)1.0012699732.

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2022-8-22 15:17
\(\color{blue}{\mathbf{【题解续】}}\)
当x∈(1，+∞)时，\(1\over x^4\)∈(0，1)
\((1+u)^α\)\(=1+\s ...

春风晚霞：第一，82楼我要求你检查你的计算错误，但你没有回答。
第二，你又在求永远哪个积分的原函数，你的ln∣t+√t^2+1∣ 的级数展开式是不是忽略了符号ln 后得出的？
第三，我对永远输了定积分的近似算法。 现在重复如下。 ln2的十进小数表达式是什么呢？的问题，虽然有无穷级数表达式，但其前n 项序列无法算到底，使用它只能得到ln2的近似值。这个近似值也可以使用如下的定积分取值区间的近似数列方法计算：首先根据ln 2 是 1/x 的 1到2的定积分表达式：  ，可知被积函数设在积分区间上的最大值是1，最小值是1/2, 可以算出这个定积分的取值在区间 [1/2,，1]内，如果取近似值，0.75，则误差界是0.25。。为得到更精确的近似值，可将积分区间[1，2] 等分为十个小区间，则在每个小区间的左、右端点处被积函数分别取得这个小区间的最大值与最小值，如果都取左端点处的函数值乘小区间长度 作为原函数增量，则得ln 2 的针对误差界 的过剩近似值：0.72，如果都取右端点处的函数值乘小区间长度 作为原函数增量，则得ln 2 的针对误差界 的不足近似值0.66。如果取近似值-。69，则误差界为：0..03；将积分区间等分为百分之一,千分之一,……可以得到后一个取值区间落在前一个内部的取值区间序列趋向于0 的近似值序列，这个序列的极限是理想实数ln2。我认为：这个算法比无穷级数算法好。我要求永远使用这个算法计算他提出的定积分。。

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-8-23 07:25
春风晚霞：第一，82楼我要求你检查你的计算错误，但你没有回答。
第二，你又在求永远哪个积分的原函数， ...

jzkyllcjl 发表于 2022-8-23 07:28
春风晚霞：第一，47楼我要求你检查你的计算错误，但你没有回答。
第二，你又在求永远哪个积分的原函数，你 ...

曹老头：
第一、同济大学《高等数学讲义》1954年版P323页收有这个问题的解答。但从y=-\(1\over x\)的图像看你的计算是正确的，确实有x从右方逼近原点时，y=-\(1\over x\)逼近负无穷。不过对这个问题用被积函数f(x)>0，以及被积函数的面积等解答是不令人信服的。因为我们是在对原函数求极限，所以只有利用原函数的图像作直观解释才是合理的。
第二、ln∣t+√t^2+1∣ 的级数展开式是引用ln∣t+√t^2+1∣ 泰勒公式得的！这个公式是可以证明的，但本贴不予以证明。
第三、你对永远先生提出的问题，虽然讲得很多，但最多只能算是定性分析，不信你根据你的理论写岀\(\small\int_1^5\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}dx\)的“曹托尔”基本数的前五项给我们看看!

jzkyllcjl

春风晚霞：第一，对1/x^2的积分，你改好了就不在说了。对永远的题目，你得到了无穷级数表示的原函数，那么请你计算一下x=1或x=2时的原函数值是什么？

jzkyllcjl

春风晚霞：看了你的应用举例，你的f(1)=√2, ,那么你是如何从你的原函数级数表达式算出的？你的1到2的定积分 在在精确到百分之一的要求下是报多少？，

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-8-24 09:10
春风晚霞：看了你的应用举例，你的f(1)=√2, ,那么你是如何从你的原函数级数表达式算出的？你的1到2的定积 ...

曹先生:\(F_{|x|≥1}\)(1)≠\(\sqrt 2\)
第一、因为\(\sqrt 2\)的泰勒展开式为\(\sqrt 2\)\(=1+\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞{(-1)^{n-1}}\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!}\)，由于\(F_{|x|≥1}\)(1)\(=1+\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞{(-1)^{n-1}}\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!(-4n+1)}\)，所以\(F_{|x|≥1}\)(1)≠\(\sqrt 2\)
第二、关于计算\(\small\int_1^2\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}dx\)，精确到百分之一的问题，请参照例3自行解决。