诚邀jzkyllcjl老先生求解

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-8-25 15:25
春风晚霞：第一，你说的两个定积分是《吉米多维奇数学分析题解》一书中的吗，对于那两个我没有去看，我不 ...

Jzkyllcjl:
       笫一、请先完成《请Jzkyllcjl计算\(\int_0^{\tfrac{1}{2}}\dfrac{arctanx}{x}dx\)，结果准确到0.001》两个题，再来批评我的计算。否则，不管你说得天花乱坠都难以服众(至少我不会听你的)。你那么利害，成天这个错了，那个错了，这两个题都不会做，你的估计加统计方法岂不是坐而论道吗？

春风晚霞

       第二、关于例3计算是否错误问题的辩思
       1、实例分析
\begin{split}
【例】已知曲线的参数方程\begin{cases}
x=acos^3θ&(1)\\y=asin^3θ&(2)
\end{cases}
0≤θ≤\dfrac{π}{2}，试求其曲线全长。\qquad\qquad
\end{split}
\begin{split}
【解】:由曲线参数方程\begin{cases}
x= acos^3θ&(1)\\y=asin^3θ&(2)
\end{cases}
得其导数方程\begin{cases}
x'=-3acos^2θsinθ&(3)\\y'=3asin^2θcosθ&(4)
\end{cases}
\end{split}
所以:\(\sqrt{x'^2+y'^2}\)=\(\sqrt{9a^2cos^4θsin^2θ+9a^2sin^4θcos^2θ}\)=3a\(\sqrt{cos^2θsin^2θ}\)=3asinθcosθ
\(\int_0^{\tfrac{π}{2}}\sqrt{x'^2+y'^2}dθ\)=\(3a\int_0^{\tfrac{π}{2}}sinθcosθdθ\)=\(\dfrac{3}{2}a\)

很明显当a≤1时，曲线长度\(\dfrac{3}{2}a\)小于积分区间长度\(\dfrac{π}{2}\)。

       2、曲线长度小于积分区间长度的成因
       从1知:当被积函数是f(θ)积分间是以θ的单位为长度的，而曲线的长度单位是1(不是以θ的单位rad为单位)，这就是导致曲线长度小于积分区间长度的根本原因。例3中被积函数为f(u)(u=\(1\over x^4\))，即u的单位应是长度单位的四次乘方。因此与1一样，也就形成了曲线长度小于区间长这个不争的事实。为回复先生的垂询，我反复多次计算，结果都是一样的。我坚信泰勒展式的正确性，所以我认为例3的算法是正确的。

jzkyllcjl

春风晚霞: 无穷级数逐项积分需要条件，你不满足这个条件。所以你算错了。

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-8-26 11:20
春风晚霞: 无穷级数逐项积分需要条件，你不满足这个条件。所以你算错了。

曹托尔先出:请你赐教无穷级数逐项积分的条件是计么？请针对例3具体说明例3的解法中不满哪个条件？你总说我的计算错了，那么你的“正确”结果到底是多少？你能有步骤有逻辑依据的写出你得出“正确”结果的详细过程吗？啊，那两个题的解答你看懂了吗？

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2022-8-26 04:33
曹托尔先出:请你赐教无穷级数逐项积分的条件是计么？请针对例3具体说明例3的解法中不满哪个条件？你总说 ...

无穷级数逐项积分的条件是：级数的每一项在有限区间上连续，级数和在有限区间上一致连收敛。

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-8-26 16:38
无穷级数逐项积分的条件是：级数的每一项在有限区间上连续，级数和在有限区间上一致连收敛。

把某个函数F(x)展开成无穷级数，有两种方法：(1)、直接展开，这种方法要讨论一致收敛性和逐项可积性。(2)、间接方法:就是根据已知的基本初等函数，在其收敛域内把F(x)展开。这种方法可不验证逐项可积性和一致收敛性，因为这是基本初等函数泰勒展开保证了的。例3是间接展开，基本初等函数是f(x)=\((1+x)^α\);x∈(-1，+1]左端点是否收敛，要另行证明。例3把f(x)=\(\sqrt{1+\tfrac{1}{x^4}}\)分别展开，因在[4，5]内，\(\small\tfrac{1}{x^4}\)∈(0，+1]收敛区间的。所以，对例3展开式各项求积分是符合条件的。其名家操作可参看任何一本《数学分析》教科书幂级数部分，也可独立完成指定的习题①。故此，很对不起，我不能接受你的批评。

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-8-25 11:20
春风晚霞：第一，我不是不去计算，再92楼。我已经说了：由于被积函数在4到5区间上，单调减少，被积函数在 ...

        自春风晚霞与众网友分享|\(\int_4^5\)\(\sqrt{1+x^{-4}}dx\)|\(\approx\)1.0012699732(精确到小数点后第十位)后，曹先生在多个主题下连发数帖批评春风晚霞的计算是错误的。其“理由”如下：
        笫一、【由于被积函数在4到5区间上，单调减少，被积函数在x=4 取得最大值1.00195，在x=5 取得最小值1.000799，积分区间长为1，将区间长乘上最大值、最小值，就得到：这个区间上被积函数的定积分取值，在1.000799与1.00195之间，即曲线段的长度大于1.000799.
第二、【从图形上看，在横坐标取值4到5之间的双曲线长度，一定大于它5-4=1.】
       春风晚霞认为曹先生的这两点批评都是错误的。
       ①、在y=\(\int_4^5\sqrt{1+x^{-4}}dx\)中，区间[4，5]是自变量x的取值范围是定义域，而y(本题是弧长)的取值区间是值域[F(4)，F(5)]。按曹先生的“理论”[F(4)，F(5)]应为[1.000799，1.00195]其区间长度为0.001151，其值远小于0.9961935158。即使把区间[1.000799，1.00195]的左右端点分别乘以4和5后得【4.0078，5.003995】，其区间长为0.996195但仍小于自变量取值区间长度1。这说明曹先生的“创新算法”是根本错误的。
       ②从f(x)=\(1\over x\)的图像看我们也只能得出|f(5)-f(4)|=0.05，也得不出【一定大于它5-4=1】的结论。综合①②看，曹先生的错误，主要在于分不清函数的定义域和值域。
       下面春风晚霞先给出习题①的详解，详略请参照题解比较：
①、\(\int_0^{\tfrac{1}{2}}\dfrac{arctanx}{x}dx\)，结果要求准确到0.001；
解:\(\int_0^{\tfrac{1}{2}}\dfrac{arctanx}{x}dx\)=\(\int_0^{\tfrac{1}{2}}\dfrac{1}{x}[x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}-\dfrac{x^7}{7}+…]dx\)
=\(\int_0^{\tfrac{1}{2}}[1-\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{x^4}{5}-\dfrac{x^6}{7}+…]dx\)=\([x-\dfrac{x^3}{3^2}+\dfrac{x^5}{5^2}-\dfrac{x^7}{7^2}+…]|_0^\tfrac{1}{2}\)
=\(\small\displaystyle\sum_{k=1}^∞\dfrac{x^{2n-1}}{(2n-1)^2}\);因本题纷出了精度，所以必须讨论余项。我们令F(x)=\(\int_0^{\tfrac{1}{2}}\dfrac{arctanx}{x}dx\),则F(x)=\(\small(-1)^{n-1}\displaystyle\sum_{k=1}^N(-1)^{n-1}\dfrac{x^{2n-1}}{(2n-1)^2}\)+R(x)；当x=\(\small\dfrac{1}{2}\)时，0<|R(x)|<|\(\dfrac{1}{{(2n-1)^2}2^{2n-1}}\)||\(1-2^{-2}+2^{-4}-2^{-6}+…\)|≤|\(\dfrac{1}{{(2n-1)^2}2^{2n-1}}\)|，若题目中所给精度为α，则0<|R(x)|<|\(\dfrac{1}{{(2n-1)^2}2^{2n-1}}\)|<α;解这个关于n的不等式，即可求出符合条件的n值(本题n=4)，也就是说本题取前三项计算即符合要求。
这时F(\(1\over 2\))-F(0)\(\approx\)\(\dfrac{1}{2}\)-\(\dfrac{1}{{3^2}2^3}\)+\(\dfrac{1}{{5^2}2^5}\)\(\approx\)0.487.
       ②题仍留曹先生思考，若再等几天还无头绪，春风晚霞再贴出解答。

jzkyllcjl

春风晚霞：从你这个计算的 具体过程来看，你使用二项式是√ 1+x ，展开过程中，你把被积函数中分式1/x^4 看做二项式中的x, 这说明：你的的展开过程使用了定积分计算中的的换元法，但实际上你既没有改写积分上下限，也没有改写dx，所以你的计算过程有问题；最重要的是：从计算结果0.9961935158来看，违背了双曲线在两点（4.1/4）(5.1/5) 之间的曲度大于这两点之间的直线长度，大于x轴上投影的积分区间长度5-4=1的事实。所以你的计算是错误的。还有，你没有算出双曲线在积分区间区间[0，1]，区间[1，+∞）上的长度。你对这个定积分的计算差的多多。

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-9-4 16:41
春风晚霞：从你这个计算的 具体过程来看，你使用二项式是√ 1+x ，展开过程中，你把被积函数中分式1/x^4 看 ...

       久违了，Jzkyllcjl先生，关于永远先生所给弧长计算问题：
       笫一、在y=\(\int_4^5\sqrt{1+x^{-4}}dx\)中，区间[4，5]是自变量x的取值范围，是定义域。y(本题是弧长)的取值区间[F(4)，F(5)]是值域。按曹先生的“理论”[F(4)，F(5)]应为[1.000799，1.00195]其区间长度为0.001151，其值远小于0.9961935158。即使把区间[1.000799，1.00195]的左右端点分别乘以4和5后得【4.0078，5.003995】，其区间长为0.996195但仍小于自变量取值区间长度1。这说明曹先生的“创新算法”是根本错误的。
       第二、根据二项式\((1+u)^α\)，α=\(1\over 2\)，\(u=x^{-4}\)的无穷级数展开式，把y=\(\sqrt{1+x^{-4}}\)展开成关于x的无穷级数f(x)。对这个一致收敛的无穷级数f(x)逐项(各项都是x的函数)积分时无需改变积分的上下限和dx。类似的积分范例请参看任何一本《数学分析》教科书幂级数展开计算部分。现在请Jzkyllcjl 先生仔细思考，弧长计算公式L=\(\int_a^b\)\(\sqrt{1+f'^2(x)}dx\)中，L表示什么？x表示计么？

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2022-9-4 12:20
久违了，Jzkyllcjl先生，关于永远先生所给弧长计算问题：
       笫一、在y=\(\int_4^5\sqrt{1 ...

春风晚霞：第一，你说的【y(本题是弧长)的取值区间[F(4)，F(5)]是值域。】是错的，y是曲线y=1/x的纵坐标，我没有说[[F(4)，F(5)]应为[1.000799，1.00195]其区间长度为0.001151，我说了。你的计算结果违背了双曲线在两点（4.1/4）(5.1/5) 之间的曲度大于这两点之间的直线长度，大于这段双曲线在x轴上正投影的积分区间长度5-4=1的事实。所以笔者指出他的计算是错误的。此外你没有算出，这个双曲线在积分区间[0，1]、[1，+∞）上的长度。第二，L表示双曲线在积分区间【a,b】上的长度，这个长度大于b-a.