诚邀jzkyllcjl老先生求解

春风晚霞

\(\color{blue}{\mathbf{【关于\small\int_a^b\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}dx计算举例】}}\)
因为曲线的弧长始终是正值，所以L=\(\small\int_a^b\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}dx\)=|F(b)-F(a)|
例1：求\(\small\int_1^2\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}dx\)
【解】：\(\small\int_1^2\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}dx\)=|\(F_{|x|≥1}\)(2)-\(F_{|x|≥1}\)(1)|
\(=|1+\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞{(-1)^{n-1}}\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!(-4n+1)}[2^{-4n+1}-1]\)
例2：求\(\small\int_{0.25}^1\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}dx\)|
【 解】：\(\small\int_{0.25}^1\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}dx\)=|\(F_{|x|≥1}\)(1)\(-F_{0<|x|<1}\)(0.25)|
\(=|1-4-\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞{(-1)^{n-1}}\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!(4n-1)}\)\(0.25^{4n-1}-1\)
\(=|3-\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞{(-1)^{n-1}}\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!(4n-1)}\)\(0.25^{4n-1}-1\)|

注意：在无穷级数字运算中，若没告诉精确度结果应保留算式。
例3：求\(\small\int_4^5\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}dx\)，结果保留10位有效数字
【解】：因为本题告诉了精确度，所以需要讨论余项。为此，我们把\(F_{|x|≥1}\)(x)\(=x+\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞{(-1)^{n-1}}\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!(-4n+1)}x^{-4n+1}\)改写成
\(F_{|x|≥1}\)(x)\(=x+\small\displaystyle\sum_{n=1}^N{(-1)^{n-1}}\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!(-4n+1)}x^{-4n+1}\)+R(x)，则有：0<|R(x)<|\(\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!(-4n+1)}x^{-4n+1}\)|1+\(x^{-4}\)+\(x^{-8}\)+\(x^{-12}\)+…)<\(x^{-4n+1}\)|1+\(x^{-4}\)+\(x^{-8}\)+\(x^{-12}\)+…)
<\(x^{-4n+1}\)，所以当\(5^{-(4n-1)}\)≤\(10^{-10}\)时，\(F_{|x|≥1}\)(5)的余项和|R(5)|<\(10^{-10}\)，解这个关于n的不等式知，需且只需计算\(F_{|x|≥1}\)(5)前五项即符合要求，这时\(F_{|X|≥1}\)(5)\(\approx\)4.99866689512；同理算得符合条件的\(F_{|x|≥1}\)(4)\(\approx\)3.99739692189，所以\(\small\int_4^5\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}dx\)=|\(F_{|x|≥1}\)(5)-\(F_{|x|≥1}\)(4)|\(\approx\)1.0012699732.

jzkyllcjl

春风晚霞：由于被积函数在4到5区间上，单调减少，被积函数在x=4 取得最大值1.00195，在x=5 取得最小值1.000799，积分区间长为1，所以这个区间上被积函数的定积分取值，在1.000799与1.00195之间，因此你的例三的计算结果是错误的。 错误原因，请你自己找。

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-8-24 16:20
春风晚霞：由于被积函数在4到5区间上，单调减少，被积函数在x=4 取得最大值1.00195，在x=5 取得最小值1.000 ...

曹先生，你我计算的依据、方法完全不同。两者之间存在差异，为什么就是我的计算是错误的？你凭什么就那么自信，你毫无根据的估算就是正确的？

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2022-8-24 08:39
曹先生，你我计算的依据、方法完全不同。两者之间存在差异，为什么就是我的计算是错误的？你凭什么就那 ...

春风晚霞：说话需要有根据。第一，我说你错了，原因是：你说过被积函数表示y=1/x 双曲线的弧长微分，因此4倒5的定积分表示这个区间上的弧长，这个长度必然大于1，我的计算也是大于1的，所以你的计算错了。第二，根据你的说法，这个被积函数的原函数值应当与曲线长度有关，你得到的F（1）等于√2 表示的是双曲线的哪段长度？，

elim

jzkyllcjl 加减乘除缺乘除二法，在这里胡扯积分，太浮夸。

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-8-25 08:10
春风晚霞：说话需要有根据。第一，我说你错了，原因是：你说过被积函数表示y=1/x 双曲线的弧长微分，因此 ...

曹老头：你根据只是你的臆测，不能作为数为论证的论据。
第一春风晚霞：说话需要有根据。
第一、在你的认识中，除了你曹氏数学是正确的，其余都是错误的。康托尔错了，泰勒错了，现行教科书都错了，又何况我乎？就其这段弧长，你应该有一个具体地计算过程和结果，你的结过程和结果究竟什么？你说这段弧长度必然大于1？能不能把你的计算拿出来与我们分享？
第二、我在主题《请Jzkyllcjl计算\(\int_0^{\tfrac{1}{2}}\dfrac{arctanx}{x}dx\)，结果准确到0.001》主题给出了两个定积分计算问题。这两个题分别选自《吉米多维奇数学分析题解》一书，你用你的统计加估计地方法算出来给我们看看！如果你有依据有步骤的得出与该书一致的结果，方能说明你的定积分方法适用，否则错误的则是你算法地革新！

jzkyllcjl

春风晚霞：说话需要有根据。第一，我说你错了，原因是：你说过被积函数表示y=1/x 双曲线的弧长微分，因此4倒5的定积分表示这个区间上的弧长，这个长度必然大于它在x轴上的投影长度1，，所以你的计算错了。第二，《吉米多维奇数学分析题解》一书中题目，我不去进行计算，你有兴趣，你自己去研究吧。

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-8-25 10:44
春风晚霞：说话需要有根据。第一，我说你错了，原因是：你说过被积函数表示y=1/x 双曲线的弧长微分，因此4 ...

是不去计算，还是不会计算？你如果去做一下，你就会发现你用“狗要吃屎”的认知论证“人不吃屎”的“错误”是根本行不通的。、

jzkyllcjl

春风晚霞：第一，我不是不去计算，再92楼。我已经说了：由于被积函数在4到5区间上，单调减少，被积函数在x=4 取得最大值1.00195，在x=5 取得最小值1.000799，积分区间长为1，将区间长乘上最大值、最小值，就得到：这个区间上被积函数的定积分取值，在1.000799与1.00195之间，即曲线段的长度大于1.000799.
第二，从图形上看，在横坐标取值4到5之间的双曲线长度，一定大于它5-4=1.

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-8-25 11:20
春风晚霞：第一，我不是不去计算，再92楼。我已经说了：由于被积函数在4到5区间上，单调减少，被积函数在 ...

你不是不去算，那也就说你会计算这两个定积分了。既然会计算，那为什么不算？现在我可以告诉你，那两个定积分中的①，积分的结果也小于区间长0.5;同时被积函数在x=0点无定义，但其原函数在x=0又有定义(即该积分为瑕积分)，②是正常积分。我期待你计算出这两个积分结果！