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黎曼传奇

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发表于 2018-9-28 13:29 | 显示全部楼层 |阅读模式
黎曼传奇---《科学家简史》第99回 穷教授翻江倒海 傻博士英年早逝

杨义先 教授

北京邮电大学信息安全中心主任

公共大数据国家重点实验室主任

道光六年(公元1826),是很不寻常的一年:美国第二任总统亚当斯死了,紧接着第三任总统杰斐逊也死了!天啦,阎王爷这是要干啥,莫非想派大人物来人间?

果然,这年9月17日,在德国小镇布列斯伦茨的一个穷牧师家里,诞生了排行老二的“病秧子”,黎曼,全名波恩哈德.黎曼。黎老二家的日子,本来应该还过得去的;可呆板的阎王爷非要坚持“先苦其心志,劳其筋骨,饿其体肤,空乏其身”,于是,稀里哗啦,在短短几年间,又给小黎曼添了四个妹妹,然后坐等“天将如何降大任于黎曼也”。

在贫困和疾病中挣扎的小黎曼,并未放弃追求。他6岁上学,14岁入预科; 19岁时,嘿,还竟然考上了秀才,并遵父愿进入了哥廷根大学,攻读哲学和神学,以便子承父业,当一名能吃饱饭的牧师;然后,娶妻生子,从此过上平凡的幸福生活。可是,这份既定计划,却被上天否决了;因为,黎曼此生的本来使命,就是要在数学世界里“大闹天宫”,而且,早就被施了数学魔法。

比如,读中学时,校长见他穷得买不起教学参考书,便主动将自己收藏的勒让德数学名著《数论》借给黎二娃。可6天后,这部厚达859页的4部头巨著,竟被“完璧归赵”了,而且,这小子还说“此书了不起,我已看完了”。校长不信,马上出题测试,小黎果然对答如流,并且还颇有见解。于是,伯乐校长干脆一不做二不休,顺势又把大数学家欧拉的众多著作,推荐给了黎同学,让他不但提前掌握了微积分知识,而且还学到了欧拉的许多数学研究技巧。

黎大学生本该专攻哲学和神学的,可有一次,他却阴差阳错走进了数学课堂,那时,斯特恩教授正在讲授方程论、定积分和高斯的最小二乘法,于是,黎同学惊呆了;因为,他突然看见数学宇宙的黑洞大开,不容分说,就把他的身体和灵魂全都给吸进去了。从此,在征得慈父的同意后,黎老二就正式改换专业,决定在数学江湖闯荡一生,哪怕是上刀山下火海也在所不惜。21岁那年,为了师从更多的数学大师,黎曼干脆转学到柏林大学,并拜在雅可比门下,学会了高等力学和高等代数;以狄利克雷为师,掌握了数论和分析学;在斯泰纳的指导下,学到了现代几何;从文森斯坦那里,熟悉了椭圆函数论等。当年暑假期间,初生的黎牛犊,更是胆大妄为,竟然开始阅读顶级学术刊物,并在巴黎科学院《院刊》上,锁定了数学大牛柯西刚刚发表的崭新理论:单复变量解析函数。更出乎意料的是,经过几周的“闭门造车”,这小犊子还真有了新见解,为4年后撰写博士论文“单复变量函数的一般理论”奠定了坚实的基础。

黎秀才不但能对数学大牛的著作“隔空打牛”,而且还抓住任何机会,与他们当面切磋。有一次,狄利克雷来格丁根度假,黎曼就赶紧向他求教,并呈上自己未定稿的论文,征求意见;当然,两个多小时的研讨,使黎同学受益匪浅,并承认“听君一席话,胜读几天书”。25岁那年,小黎又将其博士论文呈给大数学家高斯审阅。只见高教授,一边“之乎者也”地读,一边摇头晃脑地笑,最后竟一拍沙发大叫道:“此文真乃令人信服也,小黎子的头脑已是创造性的、活跃的、真正的数学头脑也,尔之创造力真乃灿烂丰富也!”如此评语能出自不苟言笑、难得点赞的高老先生之口,绝对是“高,高,高家庄的高”;虽不算“太阳从西边出来”,也可算是“千年等一回”了!而后来的事实也证明,高老庄主确实慧眼识珠,仅凭此论文,黎博士就成了复变函数论的奠基人之一;而这篇文章,也成了“19世纪数学史上的杰作”。

数学几乎完全重塑了咱们的黎秀才,从精神上看,数学把他打造成了世界巨人,更让内心充满神奇的力量;从物质上看,数学让他成了“穷教授”,常常神情忧郁,一脸哀伤;从外表上看,数学使他成为了名符其实的“傻博士”,羞怯甚至笨拙的举止,常被同事嘲笑,而他沉默的回应,更让人觉得古怪又荒唐。

因为杰出的学术表现,黎博士毕业后,虽被格丁根大学留校,并在两年后破格提拔为讲师,但是,贫穷仍不肯与他说“拜拜”。原来,那时德国的臭老九们,自正教授以下,都是没基本工资的,收入的多少完全取决于选课学生的数量。因此,讲授科普《安全简史》的老师们,就衣食无忧;讲授专著《安全通论》的老师们,就得为五斗米发愁;而讲授“数学天书”的黎呆子嘛,唉,那就可想而知,真可谓“吃了上顿,还不知下顿有没有”。实在不忍心的格丁根大学,再次破例,于1855年开始给黎讲师发放基本工资,虽然只是少得可怜的年薪200美元,但至少能让他安心与数学难题搏斗了。哪知天有不测风云,这一年黎家又连遭人祸:父亲和一个妹妹相继去世,于是,黎讲师又得与哥哥一起,挑起照顾全家和3个妹妹的生活。好容易熬过了两载,年薪也涨到了300美元的黎副教授,刚想喘口气,还没来得及请媒婆,结果哥哥又撒手人寰;瞬间,日子就变得更难过了。甚至,这位全球数学界绝顶聪明的黎天才,不得不新增一个重大研究课题,即,精心计算:今天需要多少米,明天又找什么东西下锅!

1859年,著名数学家狄利克雷去世了;年仅33岁的黎光棍众望所归,被补缺任命为格丁根大学正教授,成为了高斯教席的第二任继承者,获得了一个科学家可能得到的最高荣誉。从此,丰厚的基本工资,才使得黎曼一家“吃馒头也敢就咸菜了”。小康后的黎教授,在朋友的撮合下,终于在36岁那年,娶到了一门满意的媳妇爱丽丝.科赫,并于次年有了自己的宝贝女儿,比萨。但是,由于长期的清贫生活,再加过度操劳和玩命的科研,黎教授的身体极度虚弱,精力迅速衰竭。蜜月刚过,就患上胸膜炎和肺结核;一年后又再添了黄疽病。终于,这位世界数学史上最具独创精神的数学家之一,病入膏肓的黎曼教授,于1866年7月20日,在意大利停止了心脏跳动,从而结束了连续四年的治病折磨。黎教授仅仅享年40岁,若不考虑“四舍五入”的数学算法,其实才39!唉,天妒英才呀,黎教授,您安息吧,再见!

那位唯恐天下不乱的看官说啦,黎教授咋还没“大闹天宫”呢?哥们儿,闹啦,而且还大闹过两次呢,生前一次,死后一次,难道你没看见?好吧,那就重放一次慢镜头吧,这回你可得盯紧点,别再开小差哟!

看,生前的“齐天大圣”来啦!

只见他一个跟斗,就翻上了南天门,然后竟揪住石狮子的耳朵把玩起来。这头石狮可不是一般神物,而是由当时的五大数学天王,柯西、雅可比、高斯、阿贝尔、维尔斯特拉斯等合作,基于复数、复函数和单值解析函数,树立的地标性建筑。可是,黎呆子哪管这些!他亮出博士论文,又“唰唰唰”在《数学杂志》上连发了四篇重要论文,从多个方面把过去的解析函数,从单值扩展到了多值。接着,又创立了复函数的本质方法,把“狮子面”换成了“黎曼面”,给多值函数赋以几何直观,将多值简化成了单值;又在黎曼面上引入了支点和横剖线等。经过一番行云流水的改造,哇,神狮竟然魔力大增,变成了数学的一个重要分支“复变函数理论”,极大地推动了拓扑学的初期发展。一百多年过去了,如今,黎曼-罗赫定理、柯西-黎曼观点、黎曼映射定理等,仍在南天门前闪闪发光呢。

杀到凌霄宝殿后,“黎悟空”发现露天广场有好大一块空地,于是,他全然不请示玉皇大帝,就开始私搭乱建,动土开工了;因为,他要修建一个名叫“黎曼几何”的全新宝殿。但见他,先将古今中外的所有几何学,包括当时刚刚诞生的非欧几何、双曲几何等连成一串长龙;然后,祭出为竞争巴黎科学院奖金的,有关热传导的“巴黎之作”;接着摆脱了高斯等前辈“把几何对象局限在三维欧氏空间的曲线和曲面”的束缚,从维度出发,瞬间就建立了一套更抽象的几何空间。待到天庭城管的临时工想干涉时,哈哈,已经晚啦,金碧辉煌的全新几何体系,已笑傲江湖了。站在黎曼几何的塔顶,再往下看时,啊,那真是“一览众山小”啦!原来,只有三种不同的几何学,其差别仅在“通过给定一点,能画几条平行的定直线”而已:若只能画一条平行线,即为熟知的欧几里得几何学;若一条都不能画出,则为椭圆几何学;若存在一组平行线,就得到第三种几何学,即,罗巴切夫斯基几何学。于是,这位手无缚鸡之力的黎秀才,仅在弹指间,就结束了过去一千多年来,关于“欧几里得平行公理”的争论。黎曼几何不但导致了另一种非欧几何,椭圆几何学的诞生;而且,更出乎意料的是,它竟然在半个多世纪后,引导一位小小的专利员,爱因斯坦同志,成功地创立了广义相对论。如今,黎曼几何已成为理论物理学必备的数学基础了。

在数学天庭中,微积分无异于太上老君的炼丹炉,可是,在“黎悟空”眼里,总觉得哪里有点不对劲儿!于是,当他发现波尔查诺、柯西、阿贝尔、狄利克莱和维尔斯特拉斯等数学大牛,都在全力以赴,试图将“炼丹炉”严格化时;作为后起之秀的黎教授,也挤过来凑热闹。1854年,他“啪”地一声,就扔出了语惊四座的论文“关于利用三角级数表示一个函数的可能性”,吓得太上老君赶紧去请太白金星出面调停。当柯西前辈唱出“连续函数必定是可积”时;黎曼后生马上和诗一首,指出“可积函数不一定是连续的”。当全世界数学家都以为“连续函数一定可微”时,黎师兄却拨出猴毛一吹,妈呀,竟然给出了一个“连续而不可微”的著名反例!到此,人类终于搞清了连续与可微的关系。如今,微积分教科书的“炼丹炉”上,还清晰地刻着黎曼积分、黎曼条件等知识产权标签呢。

在王母娘娘的瑶池仙境里,处处都是小桥、流水、神家;于是,便引出了所谓“哥尼斯堡七桥问题”等看似简单却又长期难解决的问题,这便促使欧拉等数学大神们,对组合拓扑学进行研究;可却始终只获得了“闭凸多面体的顶点、棱和面的个数关系”等零散结果。黎教授本想亲自操刀宰了这个数学难题,可那时他已病魔缠身,无力上阵了;于是,只好“白帝城托孤”,叫来比萨大学的贝蒂教授,“叽里咕噜”传授了一番锦囊妙计。结果,这位洋“诸葛”,还真把黎曼面的拓扑分类,推广到了高维图形的连通性,并在拓扑学的多个领域取得了辉煌业绩;终于使黎曼成为了当之无愧的“组合拓扑学开拓者”。

黎曼这位“齐天大圣”在数学天庭中,真可谓翻江倒海,他“捣碎的黄鹤楼”比比皆是,“倒却的鹦鹉洲”数不胜数。限于篇幅,肯定不可能在此详述他的众多业绩,但是,你若在数学天庭中放眼望去,他那金箍棒留下的“伤痕”,至今仍然累累可见。像什么黎曼ζ函数、黎曼积分、黎曼引理、黎曼流形、黎曼空间、黎曼映射定理、黎曼-希尔伯特问题、柯西-黎曼方程、黎曼矩阵等等,简直令人眼花缭乱。反正,菩提老祖的这位神秘弟子,几乎都快把数学殿堂改造成“黎曼之家”了,幸好如来佛祖及时派来了救苦救难的观音菩萨。

其实,生前的“齐天大圣”还比较理智,他主要折腾的对象,只是各种数学“建筑物”,而对各路数学大仙们还是彬彬有礼的。但是,生后的“黎悟空”就更不得了啦,他直接把神仙们,折腾得惨不忍睹,甚至死去活来,而且持续时间长达150多年之久!

剧情大约是这样的,1859年的第一场雪,来得比以往更晚一些。刚刚当选“柏林科学院通信院士”的小黎子,用短短8页簿纸,向全球数学家提交了一篇“小论文”,名叫“论小于给定数值的素数个数”。也许是嫌“洛阳纸贵”吧,穷酸的黎博士,在文中多处用“证明从略”,来阐述了几个重要定理,并给出了一个承认自己也无法证明的猜想,即,黎曼猜想。正是这篇弱不禁风的“小论文”,吹响了折腾各路数学大仙的冲锋号。

首先是那几处“证明从略”,就让后世数学家们像无头苍蝇一样,碰得头破血流。40年后,芬兰数学家梅林,才总算碰到了第一条“死老鼠”,不过这已足够让梅教授名垂青史了;46年后,被黎曼一笔带过的一个“小命题”,才由德国数学家蒙戈尔特,最终给出了完整的证明。

至于那个“黎曼猜想”嘛,更让数学大仙们灰头土脸,无地自容!甚至连数学界的东海龙王,希尔伯特教授,都不得不于1900年,在法国巴黎颁布菲尔兹奖的“国际数学家大会”上,向全球数学家们发出“圣旨”,布置了必须完成的“家庭作业”:花100年时间,在本世纪内解决黎曼猜想。但是,可怜的数学家们哟,最终却只交了白卷。不服输的美国克雷数学研究所,又于2000年,仍在巴黎发起了一个数学会议,决定延长考试时间,继续把黎曼猜想作为“最为重要的7个数学难题之一”,并且还咬牙切齿地发誓说:解决黎曼猜想者,将获巨奖。

伙计,我敢保证,与费尔马猜想和哥德巴赫猜想并称为“世界数学三大猜想”的黎曼猜想至今悬而未决,肯定不是数学家们没努力;实际上,黔驴技穷的大仙们,早就被“黎悟空”快给玩死了,甚至,恨不能与该猜想同归于尽呢。比如,

咬住黎曼猜想不放的美国数学家纳什,真的精神分裂了;幸好后来在贤妻的照顾下终于康复,还获得了诺贝尔奖,并成为经典电影《美丽心灵》的男一号。

98岁的数学家哈达玛和96岁的数学家普森,为了想解决黎曼猜想,甚至都幽默地表示“不敢死”。

前面提到的那位东海龙王,希尔伯特教授,也担心自己会因黎曼猜想而“死得不安宁”;因为,有人曾问他,若500年后能重回人间,你将最希望了解什么事情?希尔伯特毫不迟疑地回答:我想知道,黎曼猜想到底解决了没有。

据说,华罗庚的导师、英国数学家哈代教授,在一次有惊无险的航行事故中,留下的遗言竟然是“我已证明了黎曼猜想”。因为,他的如意算盘是:如果自己真的死了,那数学界就会又多一个悬案,误以为他已为数学家们出了一口恶气,征服了“黎悟空”;如果没死,那就是多了一个数学玩笑而已。

美国数学家蒙哥马利,甚至断言:若魔鬼答应数学家们,可以用自己的灵魂去换取一个数学证明,那么,绝大部分数学家,将会拿“黎曼猜想的证明”去成交。

至于“证明黎曼猜想”过程中的各种“诈糊”,那就更多了。无论是业余选手,还是数学拳王,都不知道曾经多少次,在各种场合下,宣布过自己终于“证明了黎曼猜想”。当然,事后都无一例外地发现,原来那只是“黎悟空”,在水帘洞撒了一泡尿而已!

其实,刚开始时,数学家们还是信心满满的。他们决定分兵两路,一路试图否定该猜想;另一路则在假定该猜想成立的前提下,在科学界开疆扩土。结果,第二路大军势如破竹,凯歌高奏,很快就完成了一千多条重要定理,并打造出了看似无比辉煌的数论大厦。这下就更麻烦了,如果第一路大军证明了该猜想,那将皆大欢喜;但是,若黎曼猜想被证伪,那数论中将发生“十级大地震”,许多仙境将遭受灭顶之灾,许多顶级数学家几辈子的成就,将化为乌有。

那么,所谓的黎曼猜想,到底是什么呢?若用严格的数学定义去说,那就是“素数分布等于黎曼ζ函数的某种非平凡零点分布”。哥们儿,您懂了吗?就算您懂了,估计绝大部分“吃瓜群众”不但难懂其内容,甚至连题目中的字母“ζ”都不认识。不过,幸好这并不影响大家看热闹,也许还有助于您看门道呢。其实,简单说来,黎曼猜想就是:素数将蕴含在某个特殊的带状区域之中,更准确地说,素数将分布在该区域中间的一条名叫“临界线”的直线上。

那么,黎曼猜想到底有什么用呢?这样说吧,傻瓜为什么会缘木求鱼呢,因为,他不知道“鱼儿只能分布在水中”;外行捕鱼为啥不如渔夫呢?因为,后者更知道鱼儿在河里的分布区域等。换句话说,如果知道了行踪不定的素数分布规律,那么,数学家们便能有的放矢地“捕捞”素数了;而在理论和应用领域内,如今人类对素数的需求越来越大,当然就更希望搞清楚它们的分布特点了。

第一路大军的战略,其实还是很清楚的;只是因为“敌人太狡猾”,所以才拿它没办法。比如,刚开始时,大仙们想“关门打狗”,即,证明那个分布区域的边界上没有素数,然后,再把这个“边界包围圈”逐步缩小,直到瓮中捉鳖。而且,非常幸运的是,法国数学家哈达玛和比利时数学家普森,竟然真的旗开得胜,几乎同时独立攻下了这首个堡垒。一时间大家洋洋得意,彼此弹冠相庆,取出数学界的诺贝尔奖,菲尔兹奖,就想毫不客气地就往头上戴;因为,这确实是一个重大成果,它导致了另一个悬疑百年的数学猜想(素数猜想)被证明。但是,大仙们高兴得太早了,因为,从此以后,无论唐僧念什么紧箍咒,那个“包围圈”就再也未被缩小过了。

大仙们的另一种战术是“放长线钓大鱼”,即,证明“在那个区域的中间线及其附近,确实有很多非平凡的零点”,换句话说,鱼儿们确实都分布在那条“中间线”周围。与“关门打狗”的情形类似,刚开始时,也是捷报频传。比如,55年后的1914年,丹麦数学家玻尔和德国数学家兰道发现:确实有众多鱼儿,紧密团结在以临界线为核心的“线中央”周围;但却无法断定是否还有少数“不讲政治规矩”的其它鱼儿。同年,英国数学家哈代教授更发现:就在那根中间线上,真的串联着无数条鱼儿!哇,一时间数学界又不得了啦,甚至都以为可以筹备庆功宴了!结果,数学家之愁“才下眉头,又上心头”;因为1921年,仍然是哈代教授等悲伤地发现:他们7年前发现的那“无数条鱼儿”,真的只是“无数”,因为它们在整条中间线上的占比,仅仅是百分之零而已!又过了21年的 1942 年,挪威数学家赛尔伯格,费了九牛二虎之力,才总算突破了哈代的这个百分之零;该成果获得的评价之高,肯定会出乎你意料,因为,甚至连数学大牛玻尔都说:“它是二战期间整个欧洲的唯一数学新闻…”。“黎悟空”戏弄大家115年后,1974年,美国数学家列文森,终于在临死前,将那个“非零百分比”提升为34%;1980年,中国数学家楼世拓与姚琦,再将它提升为35%;1989年,即被“黎悟空”调戏了130年后,美国数学家康瑞,才又将它改进为40%;从此以后,就好像进入了“休渔期”,再也没进展了。反正,在过去159年中,“长线”倒是放出去了,可始终未能“钓到大鱼”,只捕获了一些“虾米”而已。

“黎悟空”折腾数学家的最惨情节,其实出现在“抓舌头”战术之中,即,大仙们试图抓到某位“叛徒”,然后,以此揭穿敌人的“真理”;用数学的行话来说,就是找反例来否定黎曼猜想。可是,“抓舌头”谈何容易,首先得抓到嫌疑犯,然后再搞清嫌犯是不是敌兵,最后再想办法逼“舌头”招供。于是,长征便开始了:抓呀抓,数学家们左抓落空,右抓失望;时间一天天过去了,手上却仍然啥也没有!终于,在“黎悟空”发难的第44个年头,1903年,丹麦数学家格兰姆抓到了15 个嫌疑犯,即,非平凡零点;结果一审查,唉,他们统统都是“良民的干活”。数学家们不死心,继续大面积撒网,直到1925 年,才抓到区区138个嫌犯,而且仍然全都是“良民”;并且,自那以后就网网扑空了。又过了7年,德国数学家,西格尔,从黎曼的手稿“缝穴”中,挖掘出了一种新算法,从此才把“抓舌头”的工作,推上了快车道,并在计算机之父图灵的合围下,很快逮到了上千位嫌犯;特别是二战后,借助强大的计算机能力,从1956年到1969年的十几年间,被逮住的嫌犯人数从2.5万,猛增到350万。于是,数学家们的自信心又要爆棚了,并迅速展开了更大规模的“搜捕”活动;果然到1979年,“俘虏”人数就达到了8100万,接着就是2亿,然后是3亿。直到2001年,计算机专家终于出手了,只见德国工程师魏德涅夫斯基,请来互联网上的数千台电脑,连续几顿“满汉全席”搞定“肉机”后,一按电钮,只听“咔嚓”一声,瞬间就将“俘虏”数推高到了10亿;2004年,也是这个魏工程师,又逮住了1万亿个“俘虏”!可是,令人无比沮丧的是,长达150多年的“抓舌头”工程,竟然连一个“舌头”也没抓到,反而是差点冤枉了1万亿个“好人”。唉,在一声叹息之中,数学家们几乎准备向“黎悟空”投降了!

终于时间到了2018年9月24日,但见海德堡获奖者论坛上,英国著名数学家,菲尔兹奖和阿贝尔奖双料得主,迈克尔.阿蒂亚爵士,口中念念有词,“阿弥托福”,说是迟那是快,迈爵士的五指山手掌,向下猛的一扣,只听“轰隆”一声,天崩地裂,…。

欲知后事如何,且听今后数学家们分解!

注:本文原为待出版书籍《科学家简史》的一章,但是,为呼应2018年9月24日的“黎曼猜想数学大事件”,特此提前发布。希望大家喜欢!更欢迎牛出版社合作。
发表于 2018-11-21 05:25 | 显示全部楼层
本帖最后由 coolboy 于 2018-11-21 05:27 编辑

说到黎曼猜想一般都是把它作为有趣及重要的个例来介绍的。那么一般学数学的同学会在哪一门课程中自然而然地遇到黎曼猜想这一课题呢?那是在《复变函数》这一门课程中。在讲解析函数的时候也会介绍一些重要的特殊函数,如gamma函数,黎曼zeta函数等。在说到黎曼zeta函数时就会介绍到黎曼猜想,同时也会介绍欧拉定理来说明黎曼猜想同数论中素数分布的联系。
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