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旁心三角形的三心关系

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发表于 2018-9-25 18:19 | 显示全部楼层 |阅读模式
继续唠嗑旁心三角形。
如图;三角形ABC的内心是I,旁心三角形是DEF,点O’是旁心三角形的外心。
求证:IO’的中点O是三角形ABC的外心。
无标题.png
发表于 2018-9-25 23:16 | 显示全部楼层
O’——>O——>I ,外外得内,对应算术的负负得正。呵呵,跟您那道作图题有牵连吧。
结论没问题,关键从哪下手呢?

点评

O’——>O——>I ,外外得内. 风兄真有想法。  发表于 2018-9-25 23:24
发表于 2018-9-26 01:44 | 显示全部楼层
本帖最后由 风花飘飘 于 2018-9-26 01:50 编辑

果然没有脱离直觉,几何问题有时老来直觉是为什么?
以绿圆半径为直径的红圆玩儿飘移,,,
(证法还没找到啊。。)

CCMMJJHA.png

U、V、W是 I 到绿圆线段的中点。
发表于 2018-9-26 13:00 | 显示全部楼层
本帖最后由 luyuanhong 于 2018-9-26 15:38 编辑

下面证明把DEF三点重命名为IaIbIc,假设DEF分别是三边对应切点,内切圆心与原点重合,并且是单位圆
旁心三角形的三心关系.GIF
发表于 2018-9-26 22:53 | 显示全部楼层
ccmmj的旁心问题1gsp.gif
内心换成旁心结论同样成立,其实内心与旁心没有本质区别。
发表于 2018-9-27 01:21 | 显示全部楼层
denglongshan 发表于 2018-9-26 13:00
下面证明把DEF三点重命名为IaIbIc,假设DEF分别是三边对应切点,内切圆心与原点重合,并且是单位圆

计算机证明?

点评

对  发表于 2018-9-27 20:52
对  发表于 2018-9-27 20:22
发表于 2018-9-27 07:42 | 显示全部楼层
本帖最后由 风花飘飘 于 2018-9-28 08:11 编辑



感谢CCMMJJ老弟给我提供了再次领略几何演绎之美的机缘!
这道题实在是漂亮!

【真相已经搞清楚】:
1、三角形ABC的外接圆就是其旁心三角形DEF的九点圆(欧拉圆)
2、O’——O——I 就是旁心三角形DEF的四心欧拉线
3、【定义】三角形ABC的旁心为D、E、F,则旁心三角形DEF的外接圆
      称为三角形ABC的旁心圆。
      旁心圆的半径R是三角形ABC的外接圆半径r的2倍,即 R=2r。
    (百度上找不到旁心圆的定义,故【定义】之。)

赏心悦目.png

点评

谢谢,又学了一点知识。  发表于 2018-9-27 20:27
 楼主| 发表于 2018-9-27 12:07 | 显示全部楼层
大部分讲欧拉线的文章都只谈到重心分垂心和外心的比,我这个帖子将谈到九点圆心分它们的比。而且根据R=2r的结论,可以推知两圆是以I点为位似中心比为2的位似变换。
有个问题想问风花兄,你图上画出不少平行四边形,不知怎么来的?

点评

除了四边形IO"KH可以扯到【界心K】,其它3个没啥意思。。。因为界心可以扯到一道不错的【几何作图题】,呵呵  发表于 2018-9-28 05:10
发表于 2018-9-27 23:05 | 显示全部楼层
旁心三角形的垂心也是三角形ABC的内心。

点评

是的。  发表于 2018-9-28 03:06
发表于 2018-9-28 05:48 | 显示全部楼层
ccmmjj 发表于 2018-9-27 12:07
大部分讲欧拉线的文章都只谈到重心分垂心和外心的比,我这个帖子将谈到九点圆心分它们的比。而且根据R=2r的 ...

99998.png
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