[求助]论证一个公式

slliy

昨天想到一个设想，不知道对不对，但是验证了几个，没找出问题来，感觉可以用椭圆解决，但是不会，请高手帮忙证明一下，谢谢！
有两个正整数m，n，1<=n<=m的平方根。
论证：一定存在x×n+y×（n+1）＝m
x和y为大于等于0的整数。
扩展：
有两个整数m，n，0<=abs（n）<=abs（m）的平方根。
论证：一定存在x×n+y×（n+1）＝m
x和y为整数。
Abs为取绝对值。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/04/29 11:16pm 第 1 次编辑]

第一个命题证明如下：
第二个命题容易从第一个命题推出，不详细证明了。

slliy

谢谢楼上的回答，但是解答里面我有一点不明白：m-nx除以n+1后得到的余数，只能是0，1，2…，如果n+1个余数互不相等，则其中必有一个余数是0。
请问，最后一句推出必有一个余数是0是如何推导的，谢谢！ :em02:

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/09/13 10:59am 第 2 次编辑]

m-nx 除以 n+1 后得到的余数，共有 n+1 个（因为 x 可以取0，1，2，…，n）。
这 n+1 个余数，必须大于等于 0，小于等于 n，只能在 0，1，2，…，n 这 n+1 个数中取得。
如果这 n+1 个余数中有重复的数字，例如是 1，1，2，3，…，n，那么，其中可以不包括 0 。
但是，我们已经证明了，这 n+1 个余数中不会有重复的数字，因此，这 n+1 个余数一定是 0，1，2，3，…，n
（不一定按照这样的次序，但总是这 n+1 个数），所以，我们可以肯定地说，其中一定有一个余数是 0 。

slliy

[这个贴子最后由slliy在 2007/04/19 08:32am 第 1 次编辑]

楼上的，我反推一下，假设m固定，如果余数为0，则n为特定数，但是因为1<=n<=m的平方根，所以n的前一个和下一个的余数就不会是0了，那段话只说明一定存在一个n，但是我想证明的是n在1～m的平方根之间的任意整数都符合，谢谢。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2007/04/19 09:35am 第 1 次编辑]

下面举个具体的数字例子，也许你就明白了。设 m=37, n 可以是 1,2,3,4,5,6 。
(1) n=1 ：
让 x=0,1，这时 m-nx=37,36，除以 n+1=2，余数是 1,0 。其中有一个0 。
(2) n=2 ：
让 x=0,1,2，这时 m-nx=37,35,33，除以 n+1=3，余数是 1,2,0 。其中有一个0 。
(3) n=3 ：
让 x=0,1,2,3，这时 m-nx=37,34,31,28，除以 n+1=4，余数是 1,2,3,0 。其中有一个0 。
(4) n=4 ：
让 x=0,1,2,3,4，这时 m-nx=37,33,29,25,21，除以 n+1=5，余数是 2,3,4,0,1 。其中有一个0 。
(5) n=5 ：
让 x=0,1,2,3,4,5，这时 m-nx=37,32,27,22,17,12，除以 n+1=6，余数是 1,2,3,4,5,0 。其中有一个0 。
(6) n=6 ：
让 x=0,1,2,3,4,5,6，这时 m-nx=37,31,25,19,13,7,1，除以 n+1=7，余数是 2,3,4,5,6,0,1 。其中有一个0 。

slliy

谢谢 luyuanhong 的回答，能不能帮我证明一下这句话呢，谢谢！

正理

其中的一组解

slliy

回楼上，我怎么推导m-nr-r>0而并不是还能等于0，请看附件

正理

你是对的