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论 均 匀 集 中 法   

宋一瑛   
2006.9.1
摘  要：由相同元素组成的系统，存在一种群体效应：在一定条件下，组成系统的诸元素越均匀，系统的效能越趋近极值。
关键词：系统；群体效应；均匀；集中；效能

§1 引 言
    由相同元素组成的系统，会产生一种群体效应，使得看似孤立的各元素之间存在一种必然的数量关系，具体来说，即整个系统的效能状态跟各个元素的分布状况有一定关系；每个元素的个别行为虽然是孤立的，但对系统整体效能的影响却不是孤立的；系统中各元素的分布状况决定了整个系统的效能大小，其中存在着必然的联系。
    为了衡量系统中各元素的分布状况，引入函数σ（x1,x2,…,xn）； 该函数反映了系统中各元素的差异程度，或者说均匀程度；定义如下：
     σ（x1,x2,…,xn）=(∑i≠jn(xi-xj)2)1/2/n         (1)
    或者写成：
    σ（x1,x2,…,xn）=(∑i=1n(xi-(x¯))2)/n)1/2=(∑i=1n(xi2)-n(x¯)2)/n)1/2          (2)
    （在此先假设组成系统的各元素只有一个自变量 xi ）σ（x1,x2,…,xn）值越小，表示系统中各元素的分布状况越均匀，系统均匀程度越高。
    （2）式中x¯ 为系统中各元素的平均值：
     x¯=(∑i=1n(xi))/n         (3)
    设该系统各元素的效能函数为：Z=f(xi) ——后面简称为系统函数，如果系统的总体效能函数F（x1,x2,…,xn）可表示为：
    F（x1,x2,…,xn）=f(x1)+f(x2)+…+f(xn)=∑i=1nf(xi)         (4)
则存在以下关系：
§2 均匀程度对系统总体效能的影响
    2.1 分析可能极值点：
    在x¯、n为定值的条件下，F（x1,x2,…,xn）的极值分布情况：
根据拉格朗日（Lagrange）乘数法，该问题可归结为函数F（x1,x2,,…,xn）在条件Φ（x1,x2,…,xn）=0时的可能极值点问题（此时 x1,x2,…,xn已非完全独立变量）：
    先构成函数：
    Z（x1,x2,…,xn）=F（x1,x2,…,xn）+λΦ（x1,x2,…,xn）        (5)
    条件：
    λΦ（x1,x2,…,xn）=nx¯-∑i=1n(xi)=0        (6)
    上式中λ为某一待定常数，将(4)\（6）式代入（5）式，并求其对x1,x2,…,xn的一阶偏导数，且使之为零，可构成如下方程组：
    (f';(x1)-λ=0f';(x2)-λ=0......f';(xn)-λ=0nx¯-∑i=1n(xi)=0)          (7)
    从(7)式可以看出其可能的极值点为：
    x1=x2=……=xn=x¯        (8)
    可见当系统中各元素的分布状况达到最均匀的状态时，系统可能取得极值。该最均匀分布，显然也是σ（x1,x2,…,xn）的极值点； 于是可以推测：当系统中的各元素的分布状况向最均匀的状态逼近时，系统效能函数F（x1,x2,…,xn）可能随之逼近一极值点。
    至于该极值点究竟是函数F（x1,x2,…,xn）的极大值点还是函数的极小值点、还是函数的一般驻点，可作如下分析：
    2.2 关于极值性质的判定
     设函数F（x1,x2,…,xn）在点(x10,x20,…,xn0)的某一邻域内连续且有直到(m+1)阶的连续偏导数；点(x10+h1,x20+h2,…,xn0+hn)为此邻域内任一点，引入函数：
    Φ(t)=F(x10+h1t,x20+h2t,…,xn0+hnt)        (9)
    显然有：
    Φ(0)=F(x10,x20,…,xn0)        (10)
    Φ(1)=F(x10+h1,x20+h2,…,xn0+hn)        (11)
    将（4）式代入（9）式并对t求导：
    Φ';(t)=h1f';(x10+h1t)+h2f';(x20+h2t)+...+hnf';(xn0+hnt)
         =∑k=1n(hkf';(xk0+hkt))        (12)
    Φ';';(t)=h12f';';(x10+h1t)+h22f';';(x20+h2t)+...+hn2f';';(xn0+hnt)
         =∑i=1n(hi2f';';(xio+hit))         (13)
    ……
    Φ(m)(t)=h1mf(m)(x10+h1t)+h2mf(m)(x20+h2t)+...+hnmf(m)(xn0+hnt)
         =∑i=1n(himf(m)(xio+hit))        (14)
    利用一元函数的麦克劳林（Maclaurin）公式：
    f(x)=f(0)+f';(0)x+f';';(0)2!x2+...+fn(0)n!xn+Rn(x)
式中：
    Rn(x)=fn+1(θx)(n+1)!xn+1     (0<θ<1)

    于是有：
    Φ(1)=Φ(0)+Φ';(0)+Φ';';(0)2!+...+Φn(0)n!+Φn+1(θ)(n+1)!     (0<θ<1)
    将（10）、（11）、（12）、（13）、（14）式代入上式：
    F(x10+h1,x20+h2,…,xn0+hn)
        =F(x10,x20,…,xn0)+∑k=1n(hkf';(xk0))+12!∑k=1n(hk2f';';(xko)) +...+1m!∑k=1n(hkmf(m)(xko))+Rm     (15)
上式中
    Rm=1(m+1)!∑k=1n(hk(m+1)f(m+1)(xko+θhk))    (0<θ<1)
    判断极值性质：
    令：ΔF(x10,x20,…,xn0)
        =F(x10+h1,x20+h2,…,xn0+hn)-F(x10,x20,…,xn0)
    将（15）式代入上式：
    ΔF(x10,x20,…,xn0)
        =∑k=1n(hkf';(xk0))+12!∑k=1n(hk2f';';(xko))+...+1m!∑k=1n(hkmf(m)(xko))+Rm
    ∵在极值点有必要条件：
        &#8706;F(x1,x2,…,xn)&#8706;xi=0
    ∴ ΔF(x10,x20,…,xn0)
        =12!∑k=1n(hk2f';';(xko))+...+1m!∑k=1n(hkmf(m)(xko))+Rm     (16)
当hk→0时，略去上式中高阶无穷小，则有：
    ΔF(x10,x20,…,xn0)=12!∑k=1n(hk2f';';(xko))    (17)
    取一种最简单、可靠的情况：
    定理1 （ⅰ）若 f';';(xko)>0,则F(x10,x20,…,xn0)为极小值；
          （ⅱ）若 f';';(xko)<0,则F(x10,x20,…,xn0)为极大值；    (18)
    在有其它若干限制条件的情况下，可视为将函数F(x1,x2,…,xn)的独立变量减少若干个，则以上证明同样成立。
    2.3 多变量系统极值判定：
    对于有多变量的函数系统，可以采用控制变量的方法：保持其它变量不变，而只对一种变量进行均匀化，则以上关系同样成立。如果必须同时对多种变量进行均匀化，则同样存在系统效能的极值情况，分析如下：
    设有三变量系统函数：f(x,y,z)，该系统由n个元素组成，各自变量的平均值及差异程度分别为：
    (x&macr;=(∑i=1n(xi))/ny&macr;=(∑i=1n(yi))/nz&macr;=(∑i=1n(zi))/n)     (均匀化时，保持各平均值不变,否则为非均匀化问题。)
    (σx=((∑i=1n(xi-x&macr;)2)/n)1/2σy=((∑i=1n(yi-y&macr;)2)/n)1/2σz=((∑i=1n(zi-z&macr;)2)/n)1/2)
    整个系统的效能函数为：
    F(x1,x2,...xn,y1,y2,...yn,z1,z2,...zn)=∑i=1nf(xi,yi,zi)
    可以证明系统效能函数的可能极值点为：
    (x1=x2=...=xn=x&macr;y1=y2=...=yn=y&macr;z1=z2=...=zn=z&macr;)  (此可能极值点也是σx,σy,σz 的极值点)
    关于极值性质可用以下方法判断：
有如下特殊情况，当满足参考条件：
    ((fxy(x,y,z))2-14fxx(x,y,z)fyy(x,y,z)<0(fyz(x,y,z))2-14fyy(x,y,z)fzz(x,y,z)<0(fxz(x,y,z))2-14fxx(x,y,z)fzz(x,y,z)<0)时
    （ⅰ）若fxx(x,y,z)>0,fyy(x,y,z)>0,fzz(x,y,z)>0 则系统效能有极小值；
    （ⅱ）若 fxx(x,y,z)<0,fyy(x,y,z)<0,fzz(x,y,z)<0 则系统效能有极大值；
    以上证明说明极值存在的充分、必要条件，与均匀化过程无关。
    2.4讨论几种简单的初等函数系统：
    ①幂函数：f(x)=axk  （a、k为不等于零的常数） 有：f';';(x)=ak(k-1)xk-2 ，根据以上分析结论（18），于是可知：
    （ⅰ）当k>1时，f';';(x)>0，效能函数F（x1,x2,…,xn）=∑i=1nf(xi)有极小值；
    （ⅱ）当k<1时，f';';(x)<0，效能函数F（x1,x2,…,xn）=∑i=1nf(xi)有极大值；
    ②指数函数：f(x)=bax 有：f';';(x)=bax(lna)2 ，根据以上分析结论（18），于是可知：
    （ⅰ）当b>0、a>0时，f';';(x)>0，效能函数F（x1,x2,…,xn）=∑i=1nf(xi)有极小值；
    （ⅱ）当k<1时，f';';(x)<0，效能函数F（x1,x2,…,xn）=∑i=1nf(xi)有极大值；
     ③周期函数:f(x)=Asinx（A>0）有：f';';(x)=-Asinx ，根据以上分析结论（18），于是可知：
    （ⅰ）当π<x<2π时，f';';(x)>0，效能函数F（x1,x2,…,xn）=∑i=1nf(xi)有极小值；
    （ⅱ）当0<x<π时，f';';(x)<0，效能函数F（x1,x2,…,xn）=∑i=1nf(xi)有极大值；
     ④双曲函数:f(x)=shx=ex-e-x2,有：f';';(x)=shx ，根据以上分析结论（18），于是可知：
    （ⅰ）当x>O时，f';';(x)>0，效能函数F（x1,x2,…,xn）=∑i=1nf(xi)有极小值；
    （ⅱ）当x<0时，f';';(x)<0，效能函数F（x1,x2,…,xn）=∑i=1nf(xi)有极大值；
    ⑤对数函数:f(x)=logax  (a>0,a≠1,x>0), 有：f';';(x)=(-1)x-2logae，根据以上分析结论（18），于是可知：
    （ⅰ）当0<a<1时，f';';(x)>0，效能函数F（x1,x2,…,xn）=∑i=1nf(xi)有极小值；
    （ⅱ）当a>1时， f';';(x)<0，效能函数F（x1,x2,…,xn）=∑i=1nf(xi)有极大值；
    可以推断:
    定理2 所有非线性初等函数系统,在一定条件下都存在系统效能的极值情况,也就是说都存在群体效应。所以当一个系统由多个同类元素组成时,则必须考虑群体效应.

§3 该理论对实际工程的指导作用
    在各种项目的许多实际工程中,都存在众多同类个体的聚集现象;很多情况下,由此而产生的群体效应的作用对系统整体效能的影响又是巨大的,这是在具体工程中需要考虑的一个重要方面.举例如下:
    3．1 在种植业上的应用：
    这里分为两种情况：
    （ⅰ）如果在一块有限面积的土地上，需要经常性的投入，例如：温室；则存在如下关系：理论上可将这块土地划分为面积相等的n(n→∞)块面元;假设每块面元上的产量为xi ，每块面元上的投入为f(xi) ；如果在这里我们关心的投入，主要是肥、水的投入量（这实际上也就牵涉到劳动量的投入）；假设这里有拟合于幂函数的关系(其它函数关系也是一样）：f(xi)=axik  (a>0,k>0)，显然在这里应该有：k>1（曲线为凹形）；利用前面的分析结论，我们知道系统能效有极小值；要获得一定产量∑i=1nxi ，各块面元上产量xi越均匀，则整体消耗∑i=1nf(xi)就越少；而实际上某块面元上的产量又取决于该块面元上的植物根系分布情况以及叶冠分布情况（光合作用的需要）；以果树为例：对于温室种植，则应采用矮化品种，在不影响透风和采光的前提下，使用密植栽培，使根系和叶冠均匀地分布于这块可控区域内，则有利于提高利润率。如果在一块较大的面积上，其均匀性长期较差，则不如适当减小种植面积，将种植面较均匀地集中在一块相对较小的区域上，则反而有利于提高经济效益。

    （ⅱ）对于大面积的林业生产来说，如果我们关心的投入主要是前期的树苗、种子投入上，则在以上关系中应该有：0<k<1（曲线为凸形）;说明系统总体消耗有极大值，该极大值出现在系统最均匀的时候；因此，对于大面积林业生产来说，应该采用的种植方案是：进行多批次、多品种育苗播种，才有利于总体效益的提高（当然这里是在暂不考虑其它因素影响的前提下）；同理可以推论；集中砍伐某一较大区域内的林木，对提高总体效益是不利的，而采用间伐并及时补种，以扩大其差异程度，对整体效益的提高则是有益的。

    3．2在水产养殖上的应用:
    （ⅰ）以水箱养殖为例,如果关心的主要投入部分在于饵料;可以设定单尾产量xi与饵料投入量f(xi)之间拟合于某种幂函数关系:f(xi)=axik  (a>0,k>0);显然在这里应该有：k>1（曲线为凹形）,可见该系统的效能函数有极小值；利用前面分析结论可知：对于网箱养殖，其中个体在整个生长过程中，应尽量保持个体大小的均匀一致，这样才能在达到一定产量∑i=1nxi时，消耗的饵料量 ∑i=1nf(xi)最少，以取得最大的经济效益。

    （ⅱ）如果是大水面养殖，又如果关心的投入部分主要是在于前期的鱼苗投入上，在忽略其它因素影响的前提下，则在上述关系中显然应该有：0<k<1（曲线为凸形）;则这时整个系统的效能函数有极大值，这时个体越均匀，整体效益就越低；所以选择的养殖方案应该是：采用多批次、多品种投放鱼苗；同时要注意：由于鱼群的生长完全依赖于天然饵料，为了避免对自然资源的掠夺性开发，同批次、同种鱼苗还是应尽量保持个体大小的一致，这样既能保证对自然资源的合理利用，又能使该群体以最佳效能利用自然资源的。

    3．3 在流体力学上的应用：
    以目前使用的推进器为例，如船舶、直升机螺旋桨，以及喷气式发动机等等，这涉及到较为复杂的流体力学问题，但我们可以从另一个角度作一个简化处理，来探讨提高提高推进效率的方法：将被加速的流场分为n个质量为m的相同质点，如果要求推进器产生一定推力：T=∑i=1nm(vit-vi0) ，式中vit、vi0分别为被加速流场中各相同质点被加速前后的轴向速度（暂不考虑其它因素的影响，如螺旋桨叶元体的流体动力学特性）；这时整个流场的能量损耗为：E=12m∑i=1n(vit2-vi02) ，设原流场保持稳定不变；由于Ei=12m(vit2-vi02)   ,&#8706;2Ei&#8706;vit2=m>0 ；显然系统损耗E有极小值，vit 在整个流场中分布越均匀，在T一定的情况下，系统能量损耗E越小，即推进器的效率越高。

    对于螺旋桨，由于vit 与vi0 有关，为了使得整个被加速流场中各质点的vit 均匀一致，则首先应保持原流场的均匀、稳定，所以螺旋桨的安装位置应避开紊流区；螺旋桨的叶形设计也应尽量使得被加速区域内的各质点获得均匀的加速；在一般情况下，螺旋桨的直径越大、即推进截面越大，其推进效率越高，但实际上随着螺旋桨直径的增大，使得被加速的流场很难保持有较好的均匀性，则反而降低了螺旋桨的效率；这时不如将螺旋桨的直径适当减小，即将被加速的流场较均匀地集中于一个较小的区域；对于船舶来说也可以采用多个推进器，例如在双体船上采用两个直径相对较小的螺旋桨，既能提高推进截面，同时又能保持流场有一定的均匀性，而且对于双体船这两个螺旋桨又可以安装在相距较远的位置上，这就又避免了流场的相互干扰，故双体船对于提高推进效率是一个较好的选择。

    流场问题是一种特例，根据（2）式，对于同一个系统，在均匀程度σ 相同的情况下，其系统能耗E也相同；由于σ 的取值范围为：0→∞ ，故E的取值范围也从某值→∞，可见均匀程度σ对系统效能的影响非常大。

   
§4 局部均匀化对系统效能的影响
    实际系统往往总是存在一定的差异程度，而且在对系统进行均匀化时，也很难同时对整个系统进行均匀化，最可能也是最可行的方法是对系统的局部进行均匀化。
    4．1 局部均匀化对整个系统均匀程度的影响：
    将整个系统分为两部分，如下：
    σ=(∑i=1n(xi-x&macr;)2/n)1/2
      =((∑i=1m(xi-x&macr;)2+(∑i=m+1n(xi-x&macr;)2))/n)1/2     (19)
    如果对系统局部：从元素：m+1→n进行均匀化，保持该局部平均值 x&macr;m不变：
    x&macr;m=∑m+1nxi/(n-m)     (20)
    该局部均匀程度：
    σm=(∑i=m+1n(xi-x&macr;m)2/(n-m))1/2 =((∑i=m+1n(xi)2+(n-m)x&macr;m)2)/(n-m))1/2     (21)
    式（19）中：
    ∑m+1n(xi-x&macr;)2=∑m+1n(xi)2+(n-m)((x&macr;)2-2x&macr;x&macr;m)    (22)
    对系统的局部进行均匀化，会产生以下系列变化：
     σm↓(∵(21式))&#8658;∑i=m+1n(xi)2↓(∵(22式))&#8658;∑i=m+1n(xi-x&macr;)2↓(∵(19式))&#8658;系统σ↓
    可见：
    定理3 当对系统的局部进行均匀化时，整个系统的均匀程度将得到提高，系统的均匀程度向极值方向逼近。
    4．2 局部均匀化对系统效能的影响：
    对系统局部的均匀化，也可以看成是对系统最小局部均匀化的若干次重复；设有系统最小局部由两个元素xn-1及xn组成；原系统效能函数为：
    F(x1,x2,...,xn-1,xn)=f(x1)+f(x2)+...+f(xn-1+f(xn)    (23)
    该系统最小局部的效能函数为：
    Fn(xn-1,xn)=f(xn-1)+f(xn)    (24)
    对此最小局部进行均匀化时，仍保持其平均值不变：
    x&macr;n=(xn-1+xn)/2   (充分条件）    (25)
    此最小局部的均匀程度为：
    σn=(((xn-1-xn)/2)2)1/2     (26)
    由（24）式，则有：
    dFn(xn-1,xn)=f';(xn-1)dxn-1+f';(xn)dxn
    对此最小局部进行均匀化时，由（25）式可知：dxn-1=-dxn
    设xn-1<xn，且有:  dxn<0, dxn-1>0 ,(dxn=-(xn-xn-1)/m,m→∞)所以：
    dFn(xn-1,xn)=(f';(xn)-f';(xn-1))dxn =-(f';(xn)-f';(xn-1)xn-xn-1)((xn-xn-1)2m)
    根据拉格朗日中值定理：
    dFn(xn-1,xn)=-f';';(ξ)(xn-xn-1)2/m     (xn-1<ξ<xn)
可见：在均匀化过程中，当f(x)连续、且有一阶及二阶连续偏导数时：
    定理4 （ⅰ）当f';';(x)>0时，即函数Z=f(x)的曲线形状为凹时，dFn(xn-1,xn)<0,局部均匀化使局部效能函数Fn(xn-1,xn)单调减小，则整个系统的效能函数也单调减小，逼近于极小值点；与极值点性质判断条件统一。
    （ⅱ）当 f';';(x)<0时，即函数Z=f(x)的曲线形状为凸时，dFn(xn-1,xn)>0, 局部均匀化使局部效能函数Fn(xn-1,xn)单调增加，则整个系统的效能函数也单调增加，逼近于极大值点；与极值点性质判断条件统一。
    4．3 多变量系统的均匀化方式
    对于多变量系统，可以采用控制变量的方法：保持其它变量不变，而只对一种变量进行均匀化，则以上关系同样成立。如果必须同时对多种变量进行均匀化，此最小局部效能函数的变化规律如下：（以两个自变量为例，如Z=f(x,y)，设f(x,y)总是连续可导）
    ①设对系统中两元素：Pn-1(xn-1,yn-1)和Pn(xn,yn)进行均匀化；均匀化时保持各自变量平均值不变，可理解为按照一定方式进行均匀化；（不满足该条件，则非均匀化问题---不在本文讨论范围），于是可设其均匀化路经为：     (x=&#981;(t)y=ψ(t))      (27)
    由(xn-1+xn=2x&macr;yn-1+yn=2y&macr;)&#8658;(&#981;(tn-1)+&#981;(tn)=2x&macr;ψ(tn-1)+ψ(tn)=2y&macr;)&#8658;tn-1,tn为定值     (28)
    设tn-1+tn=c（c为常数），于是dtn-1+dtn=0
    在均匀化过程中：(dxn-1+dxn=0dyn-1+dyn=0)
    由(28)式：(&#981;';(tn-1)dtn-1+&#981;';(tn)dtn=0ψ';(tn-1)dtn-1+ψ';(tn)dtn=0)&#8658;(&#981;';(tn-1)=&#981;';(tn)ψ';(tn-1)=ψ';(tn))
    可见&#981;(t),ψ(t) 为线性函数，故称此均匀化过程为线性均匀化，
    令(&#981;(t)=xn-1+tcosαψ(t)=yn-1+tcosβ)（式中α,β为直线与X、Y的交角）
    原系统效能函数可化为一元函数：
    Fn(xn-1,xn,yn-1,yn)=f(xn-1,yn-1)+f(xn,yn)
            =f(&#981;(tn-1),ψ(tn-1))+f(&#981;(tn),ψ(tn))
    即Fn(tn-1,tn)=Z(tn-1)+Z(tn)
    由于Ztt=fxx(x,y)(&#981;';(t))2+fxy&#981;';(t)ψ';(t)+fyy(ψ';(t))2
      =fxx(x,y)(cosα)2+fxy(x,y)cosαcosβ+fyy(x,y)(cosβ)2    (29)
    有特殊情况：在非必要条件(fxy(x,y))2-fxx(x,y)fyy(x,y)<0成立时，利用一元函数系统的单调性判断条件有：
//SYY//     （ⅰ）当 fxx(x,y)>0且fyy(x,y)>0时，Ztt>0，局部均匀化可使系统效能函数Fn(tn-1,tn)单调减小。
    （ⅱ）当 fxx(x,y)<0且fyy(x,y)<0时，Ztt<0，局部均匀化可使系统效能函数 单调增加。
    ②对于三元函数Z=f(x,y,z) ,设对系统中两元素：Pn-1(xn-1,yn-1,zn-1)和Pn(xn,yn,zn)进行均匀化，同理可证有如下关系：
    均匀化路经为：(x=&#981;(t)=xn-1+tcosαy=ψ(t)=yn-1+tcosβz=ω(t)=zn-1+tcosγ)（式中α,β,γ分别为直线与X，Y，Z轴的交角）
    该最小局部效能函数为：Fn(tn-1,tn)=Z(tn-1)+Z(tn)
    有：Ztt=fxx(x,y,z)(cosα)2+fyy(x,y,z)(cosβ)2+fzz(x,y,z)(cosγ)2
    +fxy(x,y,z)cosαcosβ+fyz(x,y,z)cosβcosγ+fzx(x,y,z)cosγcosα     (30)
    存在特殊情况：
     当((fxy(x,y,z))2-14fxx(x,y,z)fyy(x,y,z)<0(fyz(x,y,z))2-14fyy(x,y,z)fzz(x,y,z)<0(fzx(x,y,z))2-14fzz(x,y,z)fxx(x,y,z)<0)时
    （ⅰ）若fxx(x,y,z)>0、fyy(x,y,z)>0、fzz(x,y,z)>0 则Ztt>0，局部均匀化可使系统效能函数Fn(tn-1,tn)单调减小。
    （ⅱ）若fxx(x,y,z)<0、fyy(x,y,z)<0、fzz(x,y,z)<0 则Ztt<0，局部均匀化可使系统效能函数Fn(tn-1,tn)单调增加。
    将以上4.1， 4.2， 4.3三部分结论进行综合，可知对系统局部进行均匀化，可改善整个系统的均匀程度，可使整个系统的效能函数向极值点逼近。

    结论：由相同元素组成的系统，存在一种群体效应：在一定条件下，组成系统的诸元素越均匀，系统的效能越趋近极值；为此可采用如下两种方法：①对系统局部进行均匀化；②缩小原系统的分布范围，将其较均匀地集中于某些局部；这两种方法可归纳为均匀集中法。根据实际问题，以上过程也可反向进行。

Discuss The Principle Of Uniformity ＆ Convergence
SONG Yiying
Wuhu Industry Technical School,Wuhu 241000,China.
E-mail:wh_syy@yahoo.com.cn
Abstract: The system which is composed of the same elements,there is exists a congregate effect : on the definite conditions,while the distribution of the system’s elements is getting more uniformity,the system’s efficiency is rather near to the extremum.
Keywords: system, congregate effec, uniformity, convergence, efficiency.

安徽省芜湖市241000
芜湖工业学校数控组
宋一瑛
电子邮箱：wh_syy@yahoo.com.cn
2006-9-1
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