luyuanhong老师，请问如何解这个三元二次方程组呢？

数学小不点

luyuanhong老师：
             你好！
             我遇到一个三元二次代数方程组，不知该如何解出，请予指教！谢谢！
             方程组是：
             x2-y2-z2-2xy+x-2y-3z+3=0
             x2-y2-z2+2xy+2x+y+2=0
             x2-y2-z2+2xz+3x+1=0
             如果分析一下方程组的几何形状，能先判定一下有几个根，然后再解出根，就更好了！用软件求解就每多大意思了，多谢！
             你的朋友：数学小不点 :em02:  :em02:  :em02:  :em02: [br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
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第一个方程是x2-y2-z2-2xy-2xz+x-2y-3z+3=0刚才发错了，抱歉！
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最后一个方程是 x2-y2-z2+2xz+3x+z+1=0
初次发帖，不小心，发错了！

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/03/08 00:07pm 第 1 次编辑]

这是一个由3个3元2次方程组成的方程组。
从理论上说，任何由2个2元2次方程组成的方程组，都可以化为一个4次方程；
任何由3个3元2次方程组成的方程组，都可以化为一个8次方程。
所以，这个方程组，从理论上说，可以化为一个8次方程（但是实际上做起来，是非常困难和复杂的。）
从理论上说，任何一个8次方程，都有8个根（包括重根）。这8个根，可能是实根，也可能是复根。
所以，这个方程组，从理论上说，有8组解。这8组解，可能是实数解，也可能是复数解。
如果你只对实数解感兴趣，想知道到底有几组实数解，这是一个很难回答的问题，只能说最多有8组，最少可能一组也没有。
我们知道，8次方程式，是没有一般的代数求解公式的。
所以，像这样的方程组，除非特别简单，一般来说，是不可能用代数方法求解的，只能用数值方法求它的近似解。
即使是求近似解，实际做起来，也是十分困难和复杂的。

数学小不点

luyuanhong老师：
            你好！
            我觉得不然，这三个三元二次方程组，相减后，可得到一个动圆与两个动直线的方程，利用线性方程组知识，解出交点，得到y=f1(x),z=f2(x),再代入第三个方程，这样就化成了一个一元六次方程，并没有变成一元八次方程呀？更奇怪的是，上面三个方程各表示一个动圆，两个圆相减，都得到所谓根轴直线的方程，把X当作自变量去研究动圆，何时两圆相切成了一个难题，我想luyuanhong老师是解题高手，或许会有高见，请再仔细研究一下吧，到底什么条件下，会有多少解，用计算机，我只得到两组解，不知对否，还请赐教！[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
或者说，实系数（含字母系数）一元四次方程不解出根，能不能先判断一下到底有没有实数根，有几个根呢，目前也不知有没有好的办法？
   请指点一、二为盼！谢谢！[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
上述方程先将x当作自变量整理，配方后，会得到一个圆的方程，其中两个圆的圆心在轴线上，一个没有在轴线上，这种形式很奇怪，很可能或许会有一个巧妙办法，并不需借助计算机帮忙就可解决，尚请luyuanhong老师多费心了！

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/03/08 00:09pm 第 1 次编辑]

用数值方法，可以求得这个方程组的近似解为：
  x = -0.1383653529
  y = -0.6088877442
  z =  0.9650285856

数学小不点

     谢谢 luyuanhong  老师！不过，我想，既然可以化为一元六次方程，那至少还应有一个实根才对，现在至少还缺一组解。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/03/08 00:09pm 第 1 次编辑]

我用作图和数值方法又找到了一组解：
  x = -1.7461289913
  y = -0.4922579826
  z = -1.5941218388

数学小不点

     谢谢luyuanhong老师！此问题终于获得了圆满的解决，的确只有这两个解！只是不知luyuanhong老师是如何画出上图的？用的什么方法呀？若把交线画在一个双曲面上会如何？会不会更直观些呢？[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
取x方向可得到一系列圆，为什么luyuanhong老师取z方向一系列数呢？是不是这样简单些？