圆周率的极限表达式 与数字计算

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众所周知：圆周率 的有理数与十进小数表示问题，已有两千年的历史，马忠林译《 初等几何学教程》140页谈到：“圆周的长度是：内接或外切彼此对应的正多角形当其边数无限地倍增时其周长的共同极限”。根据这个结论，将直径为1的单位圆分为3 •2^n+1 的内接正内接与外切正多边形，就可以得到下边的两个计算圆周率的极限性公式。
   An=3 •2^n+1 •sin π/3 •2^n+1;    lim An= π                （1）
     lim An/cosπ/3 •2^n+1= π               （2）
但这两个极限性等式只是说明其极限圆周率，还没有给出圆周率的具体数字。为此必须对n=0,1,2,3,……逐步计算得出 的一系列不足近似值与过剩近似值。当取n=0,时，得内接正六边形的周长是3 ，对应外切正六边形的周长是6与 tanπ /6的乘积 3.464  ，根据马忠林译《 初等几何学教程》“假若两个凸多边形之一的每个顶点都在另一凸多边形内部，则第一多边形的周长小于第二多边形的周长”的定理，可知圆周率 的值大于3小于3.464；3是圆周率 的准确到整数的不足近似值。当n增大时，计算圆周率需要使用三角函数的半角公式，将计算归结为  π/6   的角的三角函数，因此需要用到无理数 √3与√2-√ 3,= √ 2+√ 3,……等的十进小数的足够准近似值。使用这样的足够准近似计算，可以得到内接与外切多边形的足够准近似值，其中内接正96边多边形的周长近似等於3.141。使用这些无理数 近似值，就可以依次得到圆周率的针对误差界序列 {1/10^n}中的n=1，n=2，n=3，……足够准不足与过剩近似值，这样就可以依次得到圆周率π的康托儿基本数列意义的以十进小数为项无尽小数表达式的小数点后的第一位，第二位，第三位，……的数字；但具体计算很难，祖冲之的计算结果可以说是：经过既漫长又烦琐的计算,一直算到圆内接外切正24576边形，才得到圆周率的值介於3.1415926和3.1415927之间的结果；虽然使用现代电子计算机编程可以算到小数点后2000万亿位的数字，但绝对准的十进小数表达数字是永远算不出来的。因此，现有数学教科书中有表达式3.1415926……  也必须被看作是针对误差界序列 ｛1/10^n ｝中的n=1，n=2，n=3，……足够准不足近似值意义的康托儿基本数列意义的无尽小数表达式，它的极限是理想实数π，但这样的无尽小数具有永远算不到底的性质，这个理想实数的绝对准十进小数表达式是不存在的。现行教科书中等式  π=3.1415926……不成立，必须改写为极限性等式  π=lim3.1415926……或全能近似等式 π~3.1415926……     。其中的表达式3.1415926……应当是是无穷数列  3，3.1，3.14，3.141，3.1415，3.14159，……            
的简写。这个近似值数列的误差界数列｛1/10^n ｝的极限是0，因此，我们可以说：这个数列的极限是圆周率 。在具体应用中需要根据具体问题的性质，可以使用四位，十位，或30位，50位，100位的近似值；2000万亿位的高精度数值，精度虽然高，但这么多数字需要几万本书才能印出来，所以用起来有不方便的性质，暂时只能作为资料保存着。

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1楼的圆周率极限 表达式 有好处，网友可以从这个公式 研究圆周率的数字计算问题。可以编程计算。

wangyangke

七八十岁的曹俊云，在论坛进行曹俊云所谓的改革，闹得沸沸扬扬，到头来，只不过二百五而已，，，，

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