数学中国

 找回密码
 注册
搜索
热搜: 活动 交友 discuz
楼主: 蔡家雄

用公式法求解特殊佩尔方程

  [复制链接]
 楼主| 发表于 2023-3-17 07:12 | 显示全部楼层
设 \(t>=0\) , \(d=4^{t+2}+3\) ,

求 \(x^2 - d*y^2=1\) 的最小解,

设 \(x=d*r^2 -1\) , 求 最小的 \(r= ?\)

使 \(y=((d*r^2)*(d*r^2 -2)/d)^{1/2}\) 是整数。
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2023-3-17 07:15 | 显示全部楼层
设 \(t>=0\) , \(d=4^{t+2}+7\) ,

求 \(x^2 - d*y^2=1\) 的最小解,

设 \(x=d*r^2+1\) , 求 最小的 \(r= ?\)

使 \(y=((d*r^2)*(d*r^2+2)/d)^{1/2}\) 是整数。
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2023-3-17 14:51 | 显示全部楼层
蔡家雄 发表于 2023-3-17 07:15
设 \(t>=0\) , \(d=4^{t+2}+7\) ,

求 \(x^2 - d*y^2=1\) 的最小解,

0 (23, [24, 5])
1 (71, [3480, 413])
2 (263, [139128, 8579])
3 (1031, [651737448664200, 20297537082877])
4 (4103, [36076932, 563221])
5 (16391, [52472886125273249168576935, 409856877328651972146708])
6 (65543, [41780761229710759094849505962993865917706803726191499359145061011994559849082511321952117034371527885710237688, 163197383105723735856182252498452836185524714027012978030385027507904070465599631685229749329039036679421949])
7 (262151, [72919501603120923013270672024141768578706836731811057353841647799969090234358400005317356344197149147239301670533135933749679112145897442497905988746497586725820191966341208118863314358760, 142419000082493600157839034265172632792305052672094541862089637471232086383865308126948109745798108066784404636850506703442647442173796351018334532948853648798894885826723428723794562307])
8 (1048583, [418229444023502271361812404617873926746992317871256949587464210764596500805651130752157377718599287500969695548929536492357103050025530995451192612782974155158251130179318873881058564997395623111811664356164877077981455623488750429751206076422161607460692253488914657675151863967623958352674686098942388140029808502995477518988282157821379091543923746773312815140290495995102220328, 408425828163197962003832720560210417423586434034709599430402144473753992372140369540717657424064448265632501677112941950805810763684256393223756058397515042741908003309627714276604060934296253320289390884127450710539654042120642168558451580131953471841986579370509209368405079585980274711779811151691110790037070509897410512742552098517092232184815889988689044506228933231818499])
9 (4194311, [51177054942435006277229234536620832079444803721125541132021470455820858871814804794857324858228402746532292339295515713235199790870528664021032810391685783026504588734199209057085306058647981957842238967078368667128165377355648672803222147567944156720419449185256655797769215055178564765985227094358168236975681995839991327487079917829920872375810321019832137169884560607208961828411383883914582356557322270066580657182774406297808991338679202909994511114671232104409331590335330835903373122527635746167780, 24988775506360319141826550074426223136987102897607547179104530942622750976201631646786329811140689212765079836744732351129725319420842450572656257702441606875729687408639638340611805165566960030674676979535174702602425251628674213251143161381403282727563043351599695274933985418257973274185624894371898795501862187860896736106867593870932741384823998126520338238497521194509632197513334484152395781003888156585302734563446428778824202320580122873260868579459893393948197917193337027663923215160591349397])
10 (16777223, [3352794142606776554737283396545455877813836162704255416005798405010451840621496841467507112294049620163554858705779009781925131361764415613114860399109051987646983019114153032902195590259008902005124786195991201925356749188180604386663455448808967965603181185620401171730273085591330497829237152, 818553086708894498533150539407674059525330169184097833631896269142138216535942857956080806385820036837989137822853140264221488514005189740716793850834153613502827027947737843684168670016020634664318345945443367495486986629629040276212942493832107589655351652267594369708052478558593705632669])

评分

参与人数 3威望 +50 收起 理由
蔡家雄 + 20 很给力!
wlc1 + 15 很给力!
cz1 + 15 很给力!

查看全部评分

回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2023-3-17 14:51 | 显示全部楼层
蔡家雄 发表于 2023-3-17 07:12
设 \(t>=0\) , \(d=4^{t+2}+3\) ,

求 \(x^2 - d*y^2=1\) 的最小解,

0 (19, [170, 39])
1 (67, [48842, 5967])
2 (259, [847225, 52644])
3 (1027, [133150393, 4154868])
4 (4099, [6290679704195680536253612607008970662569749959960678667690, 98255894580947570793022586715791022877883393268276434001])
5 (16387, [11413027877434405409306870876631302, 89156118179665453435575511820337])
6 (65539, [6626987825251499940163644435438427657285605581778805650604671321439032704650227419569798702986515177884092626923423746897824217909664252366878028116392925544302544564813604764312894508009793862769489442946848410, 25886078713846848077540951727476971048660042171394841096343736446933897961080712295438431388466376567441157759365264502952910937004522407589434559131549013776596141391286134866897248681517810343464137085201679])
7 (262147, [461824715334079741401519303469504108330873412595592379829070562602875729178271042587960795189884479307292999341798093671040889345880714782458533465979666854073891767873038415959346557561109813822844640447229155501280451825605904774502577690098914740105088441699938619497758257893185226, 901996235887778937057743017583816500902733916131179182975046645499562912967305336150598729595983745922905890921818634606381383310249439070803040676565484234897617020025864775061633330791260216497072863048513377755273583285544543505939632797367764427395085022540331278012923129671185])
8 (1048579, [29776562622206178677730301142172546168291680332575443613253737607023929466971985325370114852698324417371451354347021086491467628966574696503298021764323853197195987312312976427633035743421980526040891707884185731169885041010222716536916751344923695073488237907927706327511181595881545468470585, 29078632838460032672666403050034204085460299673474260078426358718677635257573796496235301168927215703715536805459846463870144135282884727833097966936851168466377694310989456524746214821453380704124450764599593272341211324167432854315242930574639751471817538820290318871993958129089261314516])
9 (4194307, [25117668700757563653335457424693186499343253477468658168439843983648792643078346871742185090650829273128220192287509997202739528105193307898223534107084812545193085970193081959010079271378513867355783149228660891615201876345643100234555174885698, 12264482284171904013989712412289501754938887650714341377823346440598175567868634964373211558180631462153143335767287279311805837025346887031087964999355087525229310401332966841853143651995408496582378346852444671530903857372029317908160695423])
10 (16777219, [165538855338538541294520542671406644531477493498893623619963986289283279108371357103275177798948570988234668100614373256599076525178579541017528601789196799, 40414755990774785816699650975371229136677753557318861712986530079888102157828602884103566909987591921158096123624204149502584894033348180791836050488160])

评分

参与人数 3威望 +50 收起 理由
蔡家雄 + 20 很给力!
wlc1 + 15 很给力!
cz1 + 15 很给力!

查看全部评分

回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2023-3-29 05:48 | 显示全部楼层
若 30k+7 与 120k+29 都是素数,

则 2, 3, 10 是素数 120k+29 的三个原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^(4r+1)*4+1 都是素数,

则 2, 3, 10 是素数 (30k+7)^(4r+1)*4+1 的三个原根。
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2023-3-29 05:49 | 显示全部楼层
设 k 为正整数,t, r 为非负整数,

若 30k+17 和 2^(4t+3)*(30k+17)^(4r+1)+1 都是素数,

则 3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+3)*(30k+17)^(4r+1)+1 的四个原根。

若 30k+29 和 2^(4t+3)*(30k+29)^(4r+1)+1 都是素数,

则 3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+3)*(30k+29)^(4r+1)+1 的四个原根。


设 k 为正整数,t, r 为非负整数,

若 30k+1 和 2^(4t+4)*(30k+1)^(4r+1)+1 都是素数,

则 3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+4)*(30k+1)^(4r+1)+1 的四个原根。

若 30k+7 和 2^(4t+4)*(30k+7)^(4r+1)+1 都是素数,

则 3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+4)*(30k+7)^(4r+1)+1 的四个原根。


设 k 为正整数,t, r 为非负整数,

若 30k+11 和 2^(4t+5)*(30k+11)^(4r+1)+1 都是素数,

则 3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+5)*(30k+11)^(4r+1)+1 的四个原根。

若 30k+23 和 2^(4t+5)*(30k+23)^(4r+1)+1 都是素数,

则 3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+5)*(30k+23)^(4r+1)+1 的四个原根。


设 k 为正整数,t, r 为非负整数,

若 30k+13 和 2^(4t+6)*(30k+13)^(4r+1)+1 都是素数,

则 3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+6)*(30k+13)^(4r+1)+1 的四个原根。

若 30k+19 和 2^(4t+6)*(30k+19)^(4r+1)+1 都是素数,

则 3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+6)*(30k+19)^(4r+1)+1 的四个原根。



回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2023-3-30 06:52 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2024-1-8 10:20 编辑

B类具有完全循环节的一条龙素数可能成立,

若 (2*10^n - 23)/3 是素数,则 10 是这个素数的原根。

请 Treenewbee,王守恩 判断,

已知:10是素数 659 的原根,

已证:10是素数 6659 的原根,

已证:10是素数 66666666666666666666666659 的原根,

已证:10是素数 66666666666666666666666666666666666666666659 的原根,

已证:10是素数 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666659 的原根,

已证:10是素数 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666659 的原根,

判断:10是素数 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666659 的原根,

判断:10是素数 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666659 的原根,

判断:10是素数 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666659 的原根,


回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2023-3-30 06:57 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2024-1-8 10:20 编辑

B类具有完全循环节的一条龙素数可能成立,

若 (2*10^n - 59)/3 是素数,则 10 是这个素数的原根。

已知:10 是素数 47 的原根,

已证:10 是素数 647 的原根,

已证:10 是素数 666647 的原根,

判断:10 是素数 666666647 的原根,

判断:10 是素数 6666666647 的原根,

判断:10 是素数 66666666666647 的原根,

判断:10 是素数 666666666666647 的原根,

判断:10 是素数 6666666666666666666666666666666647 的原根,

判断:10 是素数 66666666666666666666666666666666666666666666666666666647 的原根,


回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2023-3-30 09:48 | 显示全部楼层
设 30k+11 是素数,

且 (30k+11)^29*2^25+1 是素数,

则 10 是素数 (30k+11)^29*2^25+1 的原根


谢谢 时空伴随者 计算出 30k+11 =491, 521, 1571, 2621, 5861, 32441, 36011, 36131,

41411, 52121, 64301, 75611, 82301, ......
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2023-3-30 09:49 | 显示全部楼层
设 30k+23 是素数,

且 (30k+23)^29*2^25+1 是素数,

则 10 是素数 (30k+23)^29*2^25+1 的原根


谢谢 时空伴随者 计算出 30k+23 =12503, 13313, 15413, 17093, 19583, 22283, 29633,

37253, 47513, 54713, 62303, 65423, 85703, 99563, ......
回复 支持 反对

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

Archiver|手机版|小黑屋|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )

GMT+8, 2024-3-29 03:58 , Processed in 0.083007 second(s), 14 queries .

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2020, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表