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本帖最后由 愚工688 于 2018-11-30 15:25 编辑
没有办法。
大多数的网友都认同素数出现率在x→∞时有 lim π(x)/x =0 ,因为这是多数数论著作的专家观点。
却没有人考虑两个无穷小量的阶的高低问题—— 而这是数论的基础理论。
x→∞时,有π(x)→∞,
有 lim 1/x =0 ;lim 1/π(x) =0
而 lim π(x)/x = lim 1/x / lim 1/π(x) ,就是两个无穷小量的比较。难道不需要考虑两者的阶的高低么?
因此素数出现率 lim π(x)/x =0 的观点与无穷小量比较的法则呈现互相矛盾的局面。
x→∞时,有 lim 1/x→0; lim 1/π(x)→0 ;
那么这两个无穷小量的比较是怎么样的呢?
引入一个已知的无穷小量 1/√x ,大家知道1/x 是比1/√x 高阶的无穷小量,(1/x)/(1/√x)=√x/x = 1/√x →0 .
那么1/π(x)的阶与它们比较是怎么样的?
考察一下x→∞的过程中,[1/π(x)] /(1/√x)、 (1/√x)以及π(x)/x 的值变化:
x=10^2, π(10^2)=25; √x/π(x) = 0.4 ; (1/√x)=0.1; π(x)/x = .25 ;
x=10^4,π(10^4)=1229; √x/π(x) ≈0.08137 ; (1/√x)=1e-2; π(x)/x = .1229;
x=10^8,π(10^8)=5761455, √x/π(x) ≈0.001736 ; (1/√x)=1e-4; π(x)/x ≈ .057615 ;
x=10^12,π(10^12)=3760…… ,√x/π(x) ≈2.659e-5 ; (1/√x)=1e-6; π(x)/x ≈ .03761;
x=10^16,π(10^16)=2792……, √x/π(x) ≈3.58e-7 ; (1/√x)=1e-8; π(x)/x ≈ .02792;
x=10^20,π(10^20)= 2220…… √x/π(x) ≈4.503e-9 ; (1/√x)=1e-10; π(x)/x ≈ .02221;
x=10^22,π(10^22)=2014……;√x/π(x) ≈4.964e-10; (1/√x)=1e-11;π(x)/x ≈ .02015;
比较的数据显示:
1,∵ x→∞时 lim √x/π(x)比值很快的趋小,接近0 ;
∴1/π(x) 是比1/√x高价的无穷小.
2,因为 1/x与1/π(x)都是比1/√x 高价的无穷小量,且 π(x)/x ≠ 1,故1/x与1/π(x)是同阶无穷小量。
依据 α(x)与β(x)是同阶无穷小量的比较定理,得出
x→∞时 lim π(x)/x = C ≠0 ,即具有一个不为0的常数值。
从上面有限的数据验证中可以看出, x→∞时 lim π(x)/x 并不能随x趋于无穷大而 趋于0 ,其比值减小的速率是越来越慢,具有无穷小量比较中(3)“若 lim u/v =a (a≠0 ),这说明分子u与分母v趋于0的速度差不多”的明显特征。
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