|
同余筛法(8)
根据同余筛法(7)我们虽然取得了π(x)的上下界,我们如何来提高它的准确度.
我们来改变一下π(x^0.5)
命π(x^0.5)=x^0.5/ln(x^0.5),g(x)=x^0.5/2
则π(x)=x/lnx
我们有
10^1/ln(10^1)=4.34
π(10^1)=4
10^2/ln(10^2)=21.71
π(10^2)=25
10^3/ln(10^3)=144.76
π(10^3)=168
10^4/ln(10^4)=1085.73
π(10^4)=1229
10^5/ln(10^5)=8685.88
π(10^5)=9592
10^6/ln(10^6)=72382.24
π(10^6)=78498
10^7/ln(10^7)=620420.68
π(10^7)=664579
10^8/ln(10^8)=5428681.02
π(10^8)=5761455
10^9/ln(10^9)=48254942.43
π(10^9)=50847534
我们的准确度还能不能再提高呢?我们的回答是肯定的.
我们对π(x)进行级数展开:π(x)=Σ1,k ck x/(lnx)^k=jk(x),其中级数和取四舍五入的整数.我们有
c1=1
π(10^1)= j1(10)=4
c1=1,c2=0,c3=3
π(10^2)= j3(10^2)=25
c1=1,c2=0,c3=7,c4=4
π(10^3)= j4(10^3)=168
c1=1,c2=1,c3=1,c4=9
π(10^4)= j4(10^4)=1229
c1=1,c2=1,c3=2,c4=3,c5=7
π(10^5)= j5(10^5)=9592
c1=1,c2=1,c3=2,c4=7,c5=6,c6=4,c7=14
π(10^10)= j7(10^10)=455052512
c1=1,c2=1,c3=2,c4=6,c5=28,c6=6,c7=16,c8=12,c9=6,c10=32
π(10^15)= j10(10^15)=29844570422669
c1=1,c2=1,c3=2,c4=6,c5=27,c6=0,c7=16,c8=8,c9=31,c10=1,c11=35,c12=24,c13=21
π(10^20)= j13(10^20)=2220819602560918840
c1=1,c2=1,c3=2,c4=6,c5=26,c6=40,c7=37,c8=12,c9=6,c10=34,c11=43,c12=27,c13=15
π(10^21)= j13(10^21)=21127269486018731928
c1=1,c2=1,c3=2,c4=6,c5=26,c6=35,c7=12,c8=6,c9=48,c10=48,c11=44,c12=31,c13=28
π(10^22)= j13(10^22)=201467286689315906290
我们可以取c1=1,c2=1,c3=2,c4=7
作者施承忠 2011.4.20
|
|