[原创]给歌德巴赫猜想输入新鲜的血液，让它再次充满旺盛的生命力

白新岭

[watermark]最近，经熊一兵先生的介绍，我知道了李明波猜想，后来又知道了梁定祥猜想。
李明波猜想是：
A  加法猜想: 每个不小于12的孪中,均可表为两个孪中之和;
B  减法猜想: 每个不小于6 的孪中,均可表为两个孪中之差.
在上面两个命题中，只要求证明“孪中”等于两个孪中之和或差；
“而“孪中”只是偶数中的一部分；”这是熊一兵的原话
这种说法是建立在没有对猜想搞清楚的基础上的，因为孪中只能是6n类的数，用2个6n类的数和，是无法得到所有偶数的，只能得到6n类的数，所以李明波猜想仅是6n类数的一部分，不是全部。
下面是引自周明祥的一部分原话：
1．前言
关于梁定祥猜想，在网上可查的资料有两处，一是【数学中国】网〖基础数学〗栏gaocd 网友2009/05/08的专题介绍，题名《中国人自己的猜想——梁定祥猜想》，二是天下文壇 >
學術論衡 >2008-09-14 塌先生訪談記錄有原始完整介绍。兹将后者原文摘录如下：
發現了重大的科學原理也好，解決了舉世知名的科學難題也好，推翻了著名的科學定理也好，撰寫了流傳千古的科學名著也好，都不是不可能的事，但用初等的原始的工具，則可以肯定是做不到的。
那麼民科中有沒有真正有價值的科學發現和科學原理的猜想呢？當然是有的。梁定祥猜想就是一個著名的例子。
大約在1987年夏天，我在中科院數學物理所工作的時候，曾收到過一封奇怪的群眾來信。寄信者是海南的一個叫梁定祥的老農，當時五十多歲，現在也許七十出頭了吧。骯髒的皺巴巴的信紙是學生抄本的封底，東歪西倒地塗滿了不知所云的算式、符號和圖形。長期以來所裏經常收到厚厚的自稱是解決了哥德巴赫猜想的來稿，書寫上比起這封信肯定工整多了。剛好那天不忙，我想這封信沒准與拉馬努江給哈代的信有異曲同工之妙呢，於是仔細看了一下。幸虧如此，否則錯失了重大發現。
梁老伯在信中說（當然不是他的原話）：
6的任何倍數的平方，可以表示為兩組孿生素數之和。 例如在數列6，12，18，24，30，…中，梁定祥順次取數作平方再分拆，有：
6^2＝36＝18＋18＝(17＋1)＋(15＋3)＝(13＋5)＋(11＋7)
這裏5，7與11，13是兩組孿生素數；
12^2＝144＝72＋72＝(69＋3)＋(67＋5)
＝(65＋7)＋(63＋9)
＝(61＋11)＋(59＋13)
這裏11，13與59，61是兩組孿生素數；
18^2＝324＝162＋162＝(159＋3)＋(157＋5)
＝(155＋7)＋(153＋9)，
＝(151＋11)＋(149＋13)，
這裏11，13與149，151是兩組孿生素數；
.....................................
.......................................
从这里可以看出，梁定祥猜想仅是对形如36n^2类数的一种猜想，在孪生素数对和中的分拆猜想，例如（3+5）=8，（5+7）=12，（11+13）=24，（17+19）=36，.....，[Pj+(Pj+2)]=2Pj+2,(Pj,Pj+2)是一对孪生素数。梁定祥猜想实质上就是12，24，36，...，2Pj+2,...其中两个数和在36n^2的分布问题。
这个猜想，研究的范围更狭窄，仅是6n类数的平方数，比起12n类数在孪生素数对的分拆来说，范围窄的多。我们可以研究12n的数在孪生素数对和中的分拆。这里的12n类数在孪生素数对和中的分拆数目与6n类的数在孪生素数对中项中的分拆数目是等价的。
所以，无论李明波猜想，还是梁定祥猜想，都是研究6n类数在孪中（孪生素数对的中项在）分拆的一部分。
现在我给出这类问题的一个渐进公式：
今天(2009年12月24日）得到6n类数在孪中的分拆数目公式：
G2中（6n)=INT(9*0.660161816^3*6∏[1-4/(Pi-2)^2]*∏[(Pj-2)/(Pj-4)]*∏[(Pk-3)/(Pk-4)]*(6n)/[LN(6n)]^4),Pi,Pj,Pk都是素数，且≤√6n,mod(6n,Pj)=0,mod(6n,Pk)=2或Pk-2.
且Pi,Pj,Pk都大于或等于5. （把素数2，3除外，式子中的6就是因为去了2，3，单独列出的一项）。
如果是36n^2的偶数分成两组孪生素数的和，即梁定祥猜想，LDXlsd(36n^2)=G2中（18n^2)/2,解释LDX表示梁定祥猜想，lsd表示孪生素数对的和，整个式子LDXlsd(36n^2表示36n^2的数在孪生素数对和集的拆分数目。
我给的渐进公式是6n类的数在孪生素数对中项中的有序组合数目，例如12=（5+7）/2+（5+7）/2；18=（5+7）/2+（11+13）/2，18=（11+13）/2+（5+7）/2；.....。
今天（2009年12月20日）经过简单处理设计后得到10万内有12个6n类偶数无孪中分拆：
6
96
402
516
786
906
1116
1146
1266
1356
3246
4206
还得到10万内共有900742种分拆（次序不同时看做2种分拆），30整倍数的偶数拥有299549种，与1/3接近；还有除30余6的偶数拥有99948种，与1/9接近；30n+12的有200215种，接近2/9；30n+18的有198206种，接近2/9；30n+24的有102824种，接近1/9。
太迟了，明天在给出普通公式（每个6n的偶数最少拆分组数）。
下面是2009年12月20日的跟帖。
最少分拆=1.037794716*（6n)/[LN(6n)]^4.
1.037794716=孪生素数常数0.66016..的平方*4倍的5/6*∏[1-4/（Pj-2)^
]极限值。Pj≥7,是素数。
下面是复制过来的主贴11楼的跟帖，连接地址：<http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=8707&start=0&#35;bottom
[原创]形如6n的偶数在素数群（Pj,Pj+4)中项中的分拆
今天得到6n类数在素数群(Pj,Pj+4)的中项中的分拆数目公式：
G2中（6n)=INT(9*0.660161816^3*6∏[1-4/(Pi-2)^2]*∏[(Pj-2)/(Pj-4)]*∏[(Pk-3)/(Pk-4)]*(6n)/[LN(6n)]^4),Pi,Pj,Pk都是素数，且≤√6n,mod(6n,Pj)=0,mod(6n,Pk)=4或Pk-4.
且Pi,Pj,Pk都大于或等于5. （把素数2，3除外，式子中的6就是因为去了2，3，单独列出的一项）。

好了，太多了。
希望大家参与讨论，和共同切磋。
[/watermark]

白新岭

上面公式的得来，与解决歌德巴赫猜想中，哈代-李特伍公式的方法一致，都是建立在限制条件下2元线性不定方程的正整数解的组数与条件和n的关系上的。无论单条件，还是多条件，还是有限个条件，都可以用互质元的加法合成方法来解决。在歌猜上有这样的结论：以任何素数作为自然数分类（把对模Pj的余数相同的归为一类，每个素数可以把自然数分为Pj类数），则能整除条件Pj的一类数占全部新合成数的1/（Pj-1),而不能整除的其余各类，每类都是占新合成数的(Pj-2)/(Pj-1)^2.
在孪生素数对的中项合成中，每类能整除条件的都占1/（Pj-2),不能整除条件的，即对模Pj的余数不是0时，分两种大的情况，一种情况是对模Pj的余数是2或者(Pj-2),这两类数，每类占新合成数的(Pj-3)/(Pj-2)^2;另一种情况，除了余数是0，2，Pj-2以外，其余Pj-3类余数，每类占新合成数的(Pj-4)/(Pj-2)^2.当然所有余数所占合成数的比例和为整体1.

白新岭

gaocd   
一个中国海南的农民——梁定祥提出的猜想，比哥德巴赫猜想有更深刻的内涵。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
6的任何倍数的平方，可以表示为两组孪生素数之和。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
ccmmjj ：他做过多少验算?
gaocd   
梁定祥用笔算一直验算了这个数列中的前一百多项，没有发现例外的。
后来呢，我跟同事周志平先生一起写了个小程序，用所里的大型机试算了一下，原意是想举出一个反例。当年台式PC机还是很罕见的东西呢。大约算了30来个小时吧，算到了6*10^13的平方，居然没能找出反例。
再后来，我向所长丁夏畦院士汇报了此事。丁先生说：“梁定祥猜想的内涵比哥德巴赫猜想的内涵丰富华丽得多。孪生素数对是否有无穷多这个问题至今未解决。进而问孪生素数对分布在哪里，则更无门径。而梁定祥猜想若能证明成立，那么不仅回答了孪生素数对有无穷多，而且回答了它们的分布问题：它们分布在形如36n^2的整数所含有的分拆数对之中。这是多么简洁而明确的回答！当然，我还倾向于认为，它的证明会比哥氏猜想的证明更加困难。”
这个猜想后来在正规数学刊物上发表了，命名为“梁定祥猜想”。

ccmmjj   
是这样啊, gaocd 兄,上文中的"我"就是你本人吗?如果正是的话,在下可就失敬得狠了.
gaocd   

下面引用由ccmmjj在 2009/05/08 10:54am 发表的内容：
是这样啊, gaocd 兄,上文中的"我"就是你本人吗?如果正是的话,在下可就失敬得狠了.


NO，文章从网上贴过来的。
据我考证，这个“我”应该是“徐平”，是一个多才多艺的人，就是是网页“http://www.xycq.net/forum/thread-177623-1-1.html”中的“塌鼻子先生”。
moranhuishou   这个猜想我完全有把握证明！
gaocd   下面引用由moranhuishou在 2009/05/08 02:57pm 发表的内容：
这个猜想我完全有把握证明！



你这句话让我久等了！
我相信moranhuishou完全有能力证明出来！
不过，到时候千万不要有条件公布啊！
--------------------------------
天下英雄何处寻？
moranhuishou！
那人却在灯火栏珊处。
--------------------------------
期待你的好消息！
88290779   “6的任何倍数的平方，可以表示为两组孪生素数之和。”如果在下未理解错的话，这个猜想无疑是正确的，这个猜想，更能推进数论发展，它比（1+1）的内涵更为深刻，看
17+19=36
19+17=36
进而有
41+103=144
43+101=144
41+283=324
43+281=324
5+571=576
7+569=576
更不思议的是(6×5)^2=900时，6的这种倍数含了5因数，使解组增长了5倍，计开为
17+883=900    41+859=900    71+829=900    239+661=900    281+619=900
19+881=900    43+857=900    73+827=900    241+659=900    283+617=900
此猜想的证明，当然比(1+1)难度更大，能不能用谱法证明，在下一时愚昧，不敢断言。
gaocd   下面引用由88290779在 2009/05/08 08:55pm 发表的内容：
“6的任何倍数的平方，可以表示为两组孪生素数之和。”如果在下未理解错的话，这个猜想无疑是正确的，这个猜想，更能推进数论发展，它比（1+1）的内涵更为深刻，看
17+19=36
19+17=36
进而有
...



你理解错了啊。
6的任何倍数的平方，可以表示为两组孪生素数之和。
例如在数列6，12，18，24，30，…中，梁定祥顺次取数作平方再分拆，有：
6^2＝36＝18＋18＝(17＋1)＋(15＋3)＝(13＋5)＋(11＋7)
这里5，7与11，13是两组孪生素数；
12^2＝144＝72＋72＝(69＋3)＋(67＋5)
＝(65＋7)＋(63＋9)
＝(61＋11)＋(59＋13)
这里11，13与59，61是两组孪生素数；
18^2＝324＝162＋162＝(159＋3)＋(157＋5)
　　　　　　    　＝(155＋7)＋(153＋9)，
　　　　　　　     ＝(151＋11)＋(149＋13)，
这里11，13与149，151是两组孪生素数；
24^2＝576＝288＋288＝(285＋3)＋(283＋5)，
　　　　　　　     ＝(281＋7)＋(279＋9)，
　　　　　　　     ＝(277＋11)＋(275＋13)，
　　　　　　　    ＝………
　　　　　　　    ＝(271＋17)＋(269＋19)，
这里17，19与269，271是两组孪生素数；
30^2＝900＝450＋450＝(447＋3)＋(445＋5)
　　　　　　　     ＝(543＋7)＋(451＋9)，
　　　　　　　     ＝……
　　　　　　　    ＝(349＋101)＋(347＋103)，
这里101，103与347，349是两组孪生素数；
这是从熊一兵的QQ空间中复制过来的。<http://user.qzone.qq.com/969963035?ptlang=2052&ADUIN=542199350&ADSESSION=1261701428&ADTAG=CLIENT.QQ.2587_FriendTip_QzoneFolder.0

白新岭

孪生素数猜想
- 卢昌海 -
二零零三年三月二十八日， 在美国数学学会 (American Institute of Mathematics) 位于加州 Palo Alto 的总部， 来自世界各地的数学家怀着极大的兴趣聆听了 San Jose State University 的数学教授 Dan Goldston 所做的一个学术报告。 在这个报告中， Goldston 介绍了他和土耳其 Bogazici University 的数学家 Cem Yalcin Yildirim 在证明孪生素数猜想 (twin prime conjecture) 方面所取得的一个进展。 这一进展 - 如果得到证实的话 - 将把几十年来人们在这一领域中的研究大大推进一步。
那么什么是孪生素数？ 什么是孪生素数猜想呢？ 本文将对此做一个简单的介绍， 这也将成为本网站第一篇数学方面的文章， 填补作为本人兴趣的一个主要组成部分的数学在本网站的空白。
要介绍孪生素数， 首先当然要说一说素数这个概念。 素数是除了 1 和它本身之外没有其它因子的自然数。 在数论中， 素数是最纯粹、 最令人着迷的概念。 除了 2 以外， 所有素数都是奇数 (因为否则的话， 除了 1 和它本身之外还有一个因子 2， 从而不满足素数的定义)。 因此很明显， 大于 2 的两个相邻素数之间的最小可能间隔是 2。 所谓孪生素数指的就是这种间隔为 2 的相邻素数， 它们之间的距离已经近得不能再近了， 就象孪生兄弟一样。 最小的孪生素数是 (3, 5)， 不难验证， 在 100 以内的孪生素数还有 (5, 7)、 (11, 13)、 (17, 19)、 (29, 31)、 (41, 43)、 (59, 61) 和 (71, 73)， 总计有 8 组。 随着数字的增大， 孪生素数的分布会变得越来越稀疏， 寻找孪生素数也会变得越来越困难。 那么， 会不会在超过某个界限之后就再也不存在孪生素数了呢？
我们知道， 素数本身的分布也是随着数字的增大而越来越稀疏， 不过幸运的是早在古希腊时代， Euclid 就证明了素数有无穷多个 (否则今天许多数论学家就得另谋生路了)。 长期以来人们猜测孪生素数也有无穷多组， 这就是与 Goldbach 猜想齐名、 集令人惊异的简单表述与令人惊异的复杂证明于一身的著名猜想 - 孪生素数猜想：
孪生素数猜想： 存在无穷多个素数 p, 使得 p+2 也是素数。
究竟谁最早明确提出这一猜想我没有考证过， 但一八四九年法国数学 Alphonse de Polignac 曾提出过一个猜想： 对于任何偶数 2k, 存在无穷多组以 2k 为间隔的素数。 对于 k=1， 这就是孪生素数猜想。 因此人们有时把 Alphonse de Polignac 作为孪生素数猜想的提出者。 值得一提的是， 不同的 k 所对应的素数对的命名也很有趣， k=1 我们已经知道叫做孪生素数， k=2 (即间隔为 4) 的素数对被称为 cousin prime (比 twin 远一点)， 而 k=3 (即间隔为 6) 的素数对竟然被称为 sexy prime！ 这回该相信 “书中自有颜如玉” 了吧？ 不过别想歪了， 之所以称为 sexy prime， 其实是因为 sex 正好是拉丁文中的 6。:-)
孪生素数猜想还有一个更强的形式， 是英国数学家 Hardy 和 Littlewood 于一九二三年提出的， 现在通常被称为 Hardy-Littlewood 猜想或强孪生素数猜想[注一]。 这一猜想不仅提出孪生素数有无穷多组， 而且还给出其渐近分布形式为：

其中 π2(x) 表示小于 x 的孪生素数的数目， C2 被称为孪生素数常数 (twin prime constant)， 其数值为：

Hardy-Littlewood 猜想所给出的孪生素数分布的精确程度可以由下表看出：
x  孪生素数数目  Hardy-Littlewood 猜想  
100,000  1224  1249  
1,000,000  8,169  8,248  
10,000,000  58,980  58,754  
100,000,000  440,312  440,368  
10,000,000,000  27,412,679  27,411,417  

很明显， Hardy-Littlewood 猜想对孪生素数分布的拟合程度是惊人的。 如此精彩的拟合堪与自然科学史上 Adams 和 Leverrier 运用天体摄动规律对海王星位置的预言以及 Einstein 对光线引力偏转的预言相媲美， 是理性思维的动人篇章。 这种数据对于纯数学的证明虽没有实质的帮助， 但是它大大增强了人们对孪生素数猜想的信心。
顺便说一下， Hardy-Littlewood 猜想所给出的孪生素数分布规律可以通过一个简单的定性分析 “得到”： 我们知道， 素数定理 (prime number theorem) 表明对于足够大的 x, 在 x 附近素数的分布密度大约为 1/ln(x)， 因此两个素数处于区间 2 以内的概率大约为 2/ln2(x)。 这几乎正好就是 Hardy-Littlewood 猜想中的被积函数！ 当然其中还差了一个孪生素数常数 C2， 而这个常数显然正是 Handy 与 Littlewood 的功力深厚之处！
除了 Hardy-Littlewood 猜想与孪生素数实际分布之间的拟合外， 对孪生素数猜想的另一类 “实验” 支持来自于对越来越大的孪生素数的直接寻找。 就象对于大素数的寻找一样， 这种寻找在很大程度上成为对计算机运算能力的一种检验。 一九九四年十月三十日， 这种寻找竟然导致发现了 Intel Pentium 处理器浮点除法运算的一个 bug， 在工程界引起了不小的震动。 截至二零零二年底， 人们发现的最大的孪生素数是：
(33218925×2169690-1, 33218925×2169690+1)
这对素数中的每一个都长达 51090 位！ 许多年来这种记录一直被持续而成功地刷新着。
好了， 介绍了这么多关于孪生素数的资料， 现在该说说人们在证明孪生素数猜想上所走过的路了。
迄今为止， 在证明孪生素数猜想上的成果大体可以分为两类。 第一类是所谓的非估算性结果， 这方面迄今最好的结果是一九六六年由已故的我国数学家陈景润 (顺便说一下， 美国数学学会在介绍 Goldston 和 Yildirim 成果的简报中提到陈景润时所用的称呼是 “伟大的中国数学家陈”) 利用筛法 (sieve method) 所取得的。 陈景润证明了： 存在无穷多个素数 p， 使得 p+2 要么是素数， 要么是两个素数的乘积。 这个结果与他关于 Goldbach 猜想的结果很类似。 目前一般认为， 由于筛法本身的局限性， 这一结果在筛法范围内很难被超越。
证明孪生素数猜想的另一类结果则是估算性结果， Goldston 和 Yildirim 所取得的结果就属于这一类。 这类结果估算的是相邻素数之间的最小间隔， 更确切地说是：
Δ := limn→∞inf[(pn+1-pn)/ln(pn)]
翻译成白话文， 这个表达式所定义的是两个相邻素数之间的间隔， 与其中较小的那个素数的对数值之比在整个素数集合中所取的最小值。 很显然， 孪生素数猜想如果成立， 那么 Δ 必须等于 0。 因为孪生素数猜想表明 pn+1-pn=2 对无穷多个 n 成立， 而 ln(pn)→∞， 因此两者之比的最小值对于孪生素数集合 (从而对于整个素数集合也) 趋于零。 不过要注意， Δ=0 只是孪生素数猜想成立的必要条件， 而不是充份条件。 换句话说， 如果能证明 Δ≠0， 则孪生素数猜想就不成立； 但证明 Δ=0 却并不意味着孪生素数猜想就一定成立。
对 Δ 最简单的估算来自于素数定理。 按照素数定理， 对于足够大的 x, 在 x 附近素数出现的几率为 1/ln(x)， 这表明素数之间的平均间隔为 ln(x) (这也正是 Δ 的表达式中出现 ln(pn) 的原因)， 从而 (pn+1-pn)/ln(pn) 给出的其实是相邻素数之间的间隔与平均间隔的比值， 其平均值显然为 1。 平均值为 1， 最小值显然是小于等于 1， 因此素数定理给出 Δ≤1。
对 Δ 的进一步估算始于 Hardy 和 Littlewood。 一九二六年， 他们运用圆法 (circle method) 证明了假如广义 Riemann 猜想成立， 则 Δ≤2/3。 这一结果后来被被 Rankin 改进为 Δ≤3/5。 但这两个结果都有赖于本身尚未得到证明的广义 Riemann 猜想， 因此只能算是有条件的结果。 一九四零年， Erd&ouml;s 利用筛法首先给出了一个不带条件的结果： Δ<1 (即把素数定理给出的结果中的等号部分去掉了)。 此后 Ricci 于一九五五年， Bombieri 和 Davenport 于一九六六年， Huxley 于一九七七年， 分别把这一结果推进到 Δ≤15/16， Δ≤(2+√3)/8≈0.4665 及 Δ≤0.4425。 Goldston 和 Yildirim 之前最好的结果是 Maier 在一九八六年取得的 Δ≤0.2486。
以上这些结果都是在小数点后做文章， Goldston 和 Yildirim 的结果把这一系列的努力大大推进了一步， 并且 - 如果得到证实的话 - 将在一定意义上终结对 Δ 进行数值估算的长达几十年的征途。 因为 Goldston 和 Yildirim 证明了 Δ=0。 当然如我们前面所说， Δ=0 只是孪生素数猜想成立的必要条件， 而非充份条件， 因此 Goldston 和 Yildirim 的结果即便得到确认， 离最终证明孪生素数猜想仍远得很， 但它无疑将是近十几年来这一领域中最引人注目的结果。
一旦 Δ=0 被证明， 人们的注意力自然就转到了研究 Δ 趋于 0 的方式上来。 孪生素数猜想要求 Δ ~ [log(pn)]-1 (因为 pn+1-pn=2 对无穷多个 n 成立)。 Goldston 和 Yildirim 的证明所给出的则是 Δ ~ [log(pn)]-1/9， 两者之间还有相当距离。 但是看过 Goldston 和 Yildirim 手稿的一些数学家认为， Goldston 和 Yildirim 所用的方法存在改进的空间。 这就是说， 他们的方法有可能可以对 Δ 趋于 0 的方式作出更强的估计。 因此 Goldston 和 Yildirim 的证明， 其价值不仅仅在于结果本身， 更在于它很有可能成为未来一系列研究的起点。 这种系列研究对于数学来说有着双重的价值， 因为一方面， 这种研究所获得的新结果本身是对数学的直接贡献； 另一方面， 这种研究对 Goldston 和 Yildirim 的证明会起到反复推敲与核实的作用。 现代数学早已超越了一两个评审花一两个小时就可以对一个数学证明做出评判的时代。 以前四色定理和 Fermat 大定理都曾有过一个证明时隔几年 (甚至十几年) 才被发现错误的例子。 因此一个复杂的数学结果能够成为进一步研究的起点， 吸引其它数学家的参与， 对于最终判定其正确性具有极其正面的意义。
本文到此就结束了， 再过一个多月 (五月二十二日) 就是陈景润先生诞辰七十周年的日子。 谨以本文纪念这位在数论领域中功绩卓著的中国数学家。
注释
Hardy 与 Littlewood 在一九二三年提出的猜想共有两个， 其中第一个猜想又称为 k-tuple 猜想， 它给出了所有形如 (p, p+2m1, ... , p+2mk) (其中 0<m1<...<mk) 的素数 k-tuple 的渐进分布。 强孪生素数猜想只是 t-tuple 猜想的一部分。
二零零三年四月六日写于纽约
http://www.changhai.org/
补注
二零零三年四月二十三日， Andrew Granville (University de Montreal) 和 Kannan Soundararajan (University of Michigan) 发现了 Goldston 与 Yildirim 证明中的一个错误。 截至目前 (2003-07-03)， Goldston 和 Yildirim 已经承认、 但尚未能更正这一错误。 谢谢刘逢绥读者来信提醒我注意这一信息。 [2003-07-03]
很久没有继续关注孪生素数猜想的消息， 近日一位未署名的读者来信告知了这方面的一个新进展。 我简单查了一下文献， 结果如下： 二零零五年初， Goldston、 János Pintz 和 Yildirim 重新证明了 Δ=0， 他们所证明的 Δ 的渐进行为是： Δ ~ [loglog(pn)]2/[log(pn)]1/2 [D. A. Goldston, J. Pintz and C. Y. Y&#305;ld&#305;r&#305;m, Primes in Tuples II, preprint (2005)]。 以后有时间我将更细致地介绍有关内容。 这里谨向来信提供信息的读者表示感谢。 [2007-03-02]
本文的讨论期限已过， 如果您仍想讨论本文，
请在每个月前七天的 “读者周” 期间前来讨论。
这是从熊一兵的QQ空间中复制过来的。公式符号可能没有复制过来。可以到他的空间里直接浏览。上楼有链接。

白新岭

对10万以内做统计，得出共有900742组有序组合，用公式计算得到895221组有序组合，当用实际参与运算元素的个数时，即用INT(调节系数*元素个数^2/(6n))求时，得到924411组有序组合；最主要的是公式计算时，有758组是与统计值一致的，当用元素个数求解时，有846组与统计数据一致，因为个数不易得到，而且偏差有点大，所以我还是对公式求解看好【不采用实际个数法求解，即本帖中的求解方法：INT(调节系数*元素个数^2/(6n))】。

重生888

6n^2的偶数其尾数只在6和24 30中游动：n=1   6^2=36 尾数是6  n=2  12^2=144 尾数是24 n=3  18^2=324尾数是274
n=4  24^2=576 尾数是6  n=5   30^2=900 尾数是0  n=6  36^2=1296 尾数是6 ......
0。6。24这几种偶数尾数只能是以下几种尾数相加而得到：
0为29和31相加； 6为17和19相加；24为11和13相加！这些都是孪生素数对产生的原因！
12n  n=1  12*1=12 尾数是12  n=2  12*2=24尾数是24   n=3  12*3=36 尾数是6 n=4  12*4=48 尾数是8  n=5  12*5=60尾数是0 ；  ...而按照尾数2元合成，12和8没有孪生素数对，所以12n类比6n^2类孪生素数对少！

白新岭

热烈欢迎吴代业先生参与讨论。
（一）（6n）^2的两对孪生素数和的组合数目与18n^2的孪生素数中项和的组合数目相等。
36n^2=(2Pi+2)+(2Pj+2),Pi,Pj是孪生素数对较小的那个素数，所以，(2Pi+2)，(2Pj+2)各表示一对孪生素数和，然后再相加就是两对孪生素数和了。
等式两边同除以2，就得到18n^2=(Pi+1)+(Pj+1),正好是两对孪生素数中项的和。
所以我说，梁定祥猜想的数目，与它的半值在孪生素数中项的拆分数目相同，即36n^2的两对孪生素数和的组合数目与18n^2的孪生素数中项和的组合数目相等。
这同时说明，（6n）的平方数仅是18n^2中的一部分，意思是说，所有的(6n)^2可以找到一个18n^2与它对应，而18n^2的数就不一定可以找到对应值，例如36n^2对应的2倍数就没有，举例36*2=72，36*4*2=288，....；还有54*n^2等等，可以表示成18kn^2,但他的2倍却不一定是6n的平方数。
只是有这样的一个问题，是不是所有36n^2的数，能不能表示成12n的形式，显然36n^2=12*(3n^2),也就是说，所有6n的平方数都可以表示成12n的形式。但是，36n^2的一半是18n^2,并不一定能写成12n类的数，这其实也不要紧，因为只要可以写成6n类的数就可以了。

白新岭

下面是引自四川 大邑 周明祥的一部分原话：
关于梁定祥猜想，在网上可查的资料有两处，一是【数学中国】网〖基础数学〗栏gaocd 网友2009/05/08的专题介绍，题名《中国人自己的猜想——梁定祥猜想》，二是天下文壇 >
學術論衡 >2008-09-14 塌先生訪談記錄有原始完整介绍。兹将后者原文摘录如下：
發現了重大的科學原理也好，解決了舉世知名的科學難題也好，推翻了著名的科學定理也好，撰寫了流傳千古的科學名著也好，都不是不可能的事，但用初等的原始的工具，則可以肯定是做不到的。
那麼民科中有沒有真正有價值的科學發現和科學原理的猜想呢？當然是有的。梁定祥猜想就是一個著名的例子。
大約在1987年夏天，我在中科院數學物理所工作的時候，曾收到過一封奇怪的群眾來信。寄信者是海南的一個叫梁定祥的老農，當時五十多歲，現在也許七十出頭了吧。骯髒的皺巴巴的信紙是學生抄本的封底，東歪西倒地塗滿了不知所云的算式、符號和圖形。長期以來所裏經常收到厚厚的自稱是解決了哥德巴赫猜想的來稿，書寫上比起這封信肯定工整多了。剛好那天不忙，我想這封信沒准與拉馬努江給哈代的信有異曲同工之妙呢，於是仔細看了一下。幸虧如此，否則錯失了重大發現。
梁老伯在信中說（當然不是他的原話）：
6的任何倍數的平方，可以表示為兩組孿生素數之和。
即梁定祥猜想是6n类数的平方可以表示成两对孪生素数和的和。例如，6^2=(5+7)+(11+13).   12^2=(11+13)+(59+61)=(41+43)+(29+31).....他这里把四个数字相同，而排列顺序不同的组合视为一组解。
更多内容可以浏览下面的链接：<http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=12&topic=842&start=36&#35;37
对于什么样的数有孪生素数对和的和问题，可有孪中（孪生素数对中项的简称）的生成元2元加法合成分布来回答，孪中的生成元2元加法合成能得到的类就有孪中素数对和的分拆，如果不能得到就一定没有分拆。
那么在30以内，偶数的素数分拆的生成元是什么，那些标识性数字可以作为偶数的素数分拆的生成元呢？即欧拉函数中，在函数中可以计数的8个元素，欧拉函数是求与变量互质的个数，在变量为30时，φ（30）=8，这8个互质数是1，7，11，13，17，19，23，29.这8个数就是偶数在周期为30时，在素数集中拆分的8个生成元。有它们的2元加法合成可以得到30n+2,30n+4,30n+6,30n+8,30n+10,30n+12,30n+14,30n+16,30n+18,30n+20,30n+22,30n+24,30n+26,30n+28,30n+30等15类偶数，而且生成比例（合成概率）为：3，3，6，3，4，6，3，3，6，4，3，6，3，3，8.
那么偶数在孪生素数对的集合中的分拆，生成元是那几个呢？分别为：（1，29），（11，13），（17，19）。即6个生成元，这6个生成元的2元加法合成是如何分布到15类偶数上去的，30n+2,30n+4,30n+6,30n+8,30n+10,30n+12,30n+14,30n+16,30n+18,30n+20,30n+22,30n+24,30n+26,30n+28,30n+30等15类偶数，而且生成比例（合成概率）为3,1,2,1,2,4,2,2,4,2,1,2,1,3,6.
现在可以谈孪生素数对和的生成元了，11+13=24，17+19=36，29+31=60，都把它们除2，得到24/2=12，36/2=18，60/2=30，这12，18，30三个生成元2元加法合成可以得到6n类的数，其合成比例（合成概率）为：1/2/2/1/3（指30n+6,30n+12,30n+18,30n+24,30n+30的合成比例）。我们把等式两边同时乘2，就得到12n类的数在孪生素数对和中的分拆比例：1/2/2/1/3（指60n+12,60n+24,60n+36,60n+48,60n+60的合成比例）
由此，我们得到在每一个60周期内，只有5类12n的偶数有可能有孪生素数和的分拆

白新岭

这是我发表在致歌猜研究者的一封公开信上的内容（写于2009/02/14 03:29pm　）
就5楼附带传上的人民日报内容（网络版）说点感触【特别是第（二）部分】，我觉着不是那种情况，一个不懂数论的，一个没有高等数学知识的，一个不拥有任何数论方面的文献的人，不一定对歌猜没有一点先进的，新鲜的，另披道路的见解，在没有微积分以前，人们照样可以解决一些无限的问题。在数论知识系统成立以前，人们照样可以解决线性方程的正整数解问题。我对歌猜研究是2005年开始的，当时的感觉是，偶数是无边无际的，素数出现又没有规律，这样的问题不可能证明，当时仅把65536以内的偶数的素数对做了统计。后来一直就搁置了。直到2008年8月份以后，我改变了看法，而且发现和得到许多新结论和数据，新得到的结论和数据和以前好多年形成的结论数据相吻合，但是我对数论知识仅知道一些表面上的东西，没有看过正规的数论书籍，对微积分知识也是自己自学的高中上的微积分知识。所以从知识层次上判断一个人对歌猜的见解是错误的，我的着陆点是：研究几个自然数的和的分布问题（与整数拆分有联系，但不是完全相同，可通过方程划归来证明解的个数不变，我直接给luyuanhong教授提了一个这方面的问题，他给出了证明（我是从方程解的个数不变方面证明的），还有熊一兵也给出了其他问题的证明。人不可貌相，海水不可斗量。歌猜问题可以引出好多问题，但不是说非具有高等数学知识和高深莫测的数论知识才能解决它。

许世传

1962-2005用自创“正反一次筛”新型数论，研发“双钥锁密码”中美专利，数理具有分裂、有完善保密性，获金奖；评定“第七届中国科学家论坛---最具投资价值的 电子/信息 项目”。
2007年向美国知识产权局申请专利（美查专利号：11/881,299），2012.4.4授权。美文件列出定理[1.2]，第7确认。[定理2]“任一偶数表为两个奇素数之和的奇素数对个数，最少是该偶数开方后奇素数总个数，且恒不小于1”，这就确认破解哥德巴赫猜想。

可索取附件1.2
E-mail: hsc1937@163.com