6、几个用以代替5—轮构形的构形的可约性
这几个构形是:1904年Wcrnicke提出的(5,5)构形和(5,6)构形(阿贝尔的证明中就是用这两个构形来代替5—轮构形的);以及另外一个有三个待着色顶点的构形;还有1913年Birkhoff提出的有四个待着色顶点的构形,即伯克豪夫钻石构形。现在一个个的对其可约性研究如下:
① 有两个待着色顶点的(5,5)和(5,6)构形的可约性:
(5,5)构形的待着色顶点是由两个相邻的5—度顶点构成的,是有两个待着色顶点的构形。实际上就是两个5—轮构形的待着色顶点相邻的构形(如图13,a),也可叫做双5—轮。(5,6)构形的两个待着色顶点,是由一个5—度顶点和一个6—度顶点相邻构成的(如图13,b)。
因为在着色时,只能是一个顶点一个顶点的着色,所以在两个待着色顶点V中,当有一个着上颜色时,另一个也至少要与着了四种颜色的顶点相邻。所以这两个构形的轮沿顶点的颜色就应是如图13所示。这时无论把那一个待着色顶点着上A色时,另一个待着色顶点总是与着了四种颜色的顶点相邻的。当把待着色顶点V2着上A色时,(5,5)构形和(5,6)构形都变成了5—轮构形。根据我们前所证明的,5—轮构形是可约的,那么(5,5)构形和(5,6)构形也就都是可约的了。
② 有三个待着色顶点的(5,6,6)构形的可约性:
有三个待着色顶点的构形的待着色顶点是一个5—度的顶点和两个6—度的顶点两两均相邻构成的(如图14,a),也可叫(5,6,6)构形。当给待着色顶点V2和V3分别着上C色和D色时,(5,6,6)构形也就变成一个5—轮构形了。由于5—轮构形已证明是可约的,所以(5,6,6)构形也就是可约的了。
③ 有四个待着色顶点的伯克豪夫钻石构形的可约性:
伯克豪夫钻石构形,实际上是由四个5—度顶点构成的,也可以叫做(5,5,5,5)构形,它也是由两个有一条共同边的5—轮构形构成的(如图14,b)。若给待着色顶点V3和V4分别着上C色和D色时,待着色顶点V1和V2就是两个5—轮构形的待着色顶点。这两个5—轮构形中都含有环形的A—B邻角链,最大的可能只能是两个A类的H—构形,在每一个5—轮构形中都含有连通且相交叉的A—C对角链和A—D对角链。从以上的证明可知,解决A类H—构形的方法是交换A—B环形邻角链内、外的任一条C—D邻角链。当交换了经过V3和V4的C—D邻角链时,两个5—轮的A类H—构形中的A—C对角链和A—D对角链都变得不连通,每一个5—轮构形就都变成了可约的K—构形,那么,伯克豪夫钻石构形也就是可约的了。
④ 我也构造一个有四个待着色顶点的所谓构形: