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一个更加通俗易懂的证明过程:不可免构形可约法证明四色猜测(二)

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发表于 2018-5-31 06:57 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 雷明85639720 于 2018-5-31 10:59 编辑

不可免构形可约法证明四色猜测(二)
——一个更加通俗易懂的证明过程
雷  明
(二○一八年五月二十三日)

6、几个用以代替5—轮构形的构形的可约性
这几个构形是:1904年Wcrnicke提出的(5,5)构形和(5,6)构形(阿贝尔的证明中就是用这两个构形来代替5—轮构形的);以及另外一个有三个待着色顶点的构形;还有1913年Birkhoff提出的有四个待着色顶点的构形,即伯克豪夫钻石构形。现在一个个的对其可约性研究如下:
①         有两个待着色顶点的(5,5)和(5,6)构形的可约性:
(5,5)构形的待着色顶点是由两个相邻的5—度顶点构成的,是有两个待着色顶点的构形。实际上就是两个5—轮构形的待着色顶点相邻的构形(如图13,a),也可叫做双5—轮。(5,6)构形的两个待着色顶点,是由一个5—度顶点和一个6—度顶点相邻构成的(如图13,b)。

因为在着色时,只能是一个顶点一个顶点的着色,所以在两个待着色顶点V中,当有一个着上颜色时,另一个也至少要与着了四种颜色的顶点相邻。所以这两个构形的轮沿顶点的颜色就应是如图13所示。这时无论把那一个待着色顶点着上A色时,另一个待着色顶点总是与着了四种颜色的顶点相邻的。当把待着色顶点V2着上A色时,(5,5)构形和(5,6)构形都变成了5—轮构形。根据我们前所证明的,5—轮构形是可约的,那么(5,5)构形和(5,6)构形也就都是可约的了。
②         有三个待着色顶点的(5,6,6)构形的可约性:
有三个待着色顶点的构形的待着色顶点是一个5—度的顶点和两个6—度的顶点两两均相邻构成的(如图14,a),也可叫(5,6,6)构形。当给待着色顶点V2和V3分别着上C色和D色时,(5,6,6)构形也就变成一个5—轮构形了。由于5—轮构形已证明是可约的,所以(5,6,6)构形也就是可约的了。

③        有四个待着色顶点的伯克豪夫钻石构形的可约性:
伯克豪夫钻石构形,实际上是由四个5—度顶点构成的,也可以叫做(5,5,5,5)构形,它也是由两个有一条共同边的5—轮构形构成的(如图14,b)。若给待着色顶点V3和V4分别着上C色和D色时,待着色顶点V1和V2就是两个5—轮构形的待着色顶点。这两个5—轮构形中都含有环形的A—B邻角链,最大的可能只能是两个A类的H—构形,在每一个5—轮构形中都含有连通且相交叉的A—C对角链和A—D对角链。从以上的证明可知,解决A类H—构形的方法是交换A—B环形邻角链内、外的任一条C—D邻角链。当交换了经过V3和V4的C—D邻角链时,两个5—轮的A类H—构形中的A—C对角链和A—D对角链都变得不连通,每一个5—轮构形就都变成了可约的K—构形,那么,伯克豪夫钻石构形也就是可约的了。
④         我也构造一个有四个待着色顶点的所谓构形:

我在图13的有三个待着色顶点的待着色构形的基础上,再增加一个顶点,就可以变成一个有四个待着色顶点的构形了(如图15)。这是一个与图14的伯克豪夫钻石构形基本相似的构形,不同的地方只是,伯克豪夫钻石构形是一个由四个5—度顶点构成的构形,而我这里的构形是一个由两个5—度顶点和两个6—度顶点构成构形的,也可以叫做(5,6,5,6)构形。它也是由两个有一条共同边的5—轮构形构成的。
同样的,若给待着色顶点V2和V3分别着上C色和D色时,待着色顶点V1和V4也就是两个5—轮构形的待着色顶点。这两个5—轮构形中都含有环形的A—B邻角链,最大的可能也只能是两个A类的H—构形,在每一个5—轮构形中都含有连通且相交叉的A—C对角链和A—D对角链。也从以上的证明知道,解决A类H—构形的方法是交换A—B环形邻角链内、外的任一条C—D邻角链。当交换了经过V2和V3的C—D邻角链时,两个5—轮的A类H—构形中的A—C对角链和A—D对角链也都会变得不连通,图中的两个5—轮构形也就都变成了可约的K—构形,那么,我所构造的这个有四个待着色顶点的构形也就是可约的了。
虽然Wcrnicke和 Birkhoff都提出了用这些构形来代替5—轮构形,并且阿贝尔的证明中也用了(5,5)构形和(5,6)构形来代替5—轮构形,他们也都认为这几个构形都是不可免的,但他们却都没有证明这些构形都是可约的,并且阿贝尔就直接说了(5,5)构形和(5,6)构形是“不可约”的。不知阿贝尔的证明结果是认为四色猜测是正确呢,还是认为四色猜测是不正确呢。因为阿贝尔只说他们是“证明了四色猜测”,而没有说明他们证明的结论是什么。
另外,提出用别的多种有多个待着色顶点的构形来代替5—轮构形,这就相当于说用以代替5—轮构形的构形是任意多的,或者说有无穷多个,这不就仍然与没有确立不可免集前的状态相同了吗,证明的对象仍然是一个无穷的集合。我认为坎泊的不可免集是正确的,是完备的。有了该集合,就可以把一个无穷的问题转化成一个有穷的问题,四色猜测的证明才有希望。所以我认为不能用任何所谓的构形去代替5—轮构形(因为这种5—轮构形在平面图中是大量存在的),5—轮构形不须用别的构形来代替也是可以的。遇到了困难不能绕过困难走,而要去想办法解决困难,这才是应该具备的科学态度。以上我们对平面图的不可免构形可约性的证明过程,完全就说明了这一点。说明了不用别的所谓构形去代替5—构形是完全可以的。
7、四色猜测的证明
现在,我们已经证明了地图的对偶图——极大平面图的四色猜测是正确的,即极大平面图的顶点着色色数一定是不大于4的。那么,地图的四色猜测也就是正确的,也即地图的面染色色数也一定是不会大于4的。由极大平面图通过去顶或减边所得到的任意平面图的顶点着色色数,只会减少而不会再增大,所以又有任意平面图的四色猜测也是正确的,也即任意平面图的顶点着色色数也是不会大于4的。四色猜测也就被证明是正确的了。

雷  明
二○一八年五月二十三日于长安

注:此文已于二○一八年五月三十一日在《中国博士网》上发表过,网址是:

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