数学之歌

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数学之歌
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数学之歌
——献给数学园丁
陈湛本
（广州大学数学与信息科学学院、系统工程研究所，510405）
摘  要：数学发展到今天已形成一个枝叶繁茂、博大精深的学科开放体系，其意义和重要性与日俱增，以致难以对她的全貌有一个整体的认识。本文赏试以诗歌的形式对数学产生发展的背景、历史、主要分支、杰出数学家代表的不朽业绩以及数学的本质、特点、发展趋向、她的意义作用和艺术魅力等作一个较全面而又简明的描绘，从而鼓舞数学工作者为播种数学和发展数学而奋斗。
数学是广大人民劳动和智慧的结晶，是生产实践和科学实验高度抽象的理论，
数学研究发展大大丰富和提升了人们的理性知识并激励着对科学理性的不断探索和追求，
数学是人类文明文化和思想的瑰宝，数学水平是一个民族的文化修养与智力发展的重要标志；
数学是现实世界数量关系与空间形式的反映，数学即是关于量化模式的建构与研究，[1]
数学既是直觉经验归纳的，也是逻辑演绎推理的科学，
数学是一门高度抽象、逻辑严谨、精确和应用广泛的科学；

请看数学：从初等数论、代数方程、不等式到抽象的群、环、域、模、代数、格和范畴等新代数结构的先后发现，数理逻辑的迅猛发展，电子计算机划时代的发明，代数数论、李群、李代数、代数群、群与代数的表示论、同调代数、代数K理论、Hopt代数、非交换（结合）代数和泛代数等各种代数百花竞放；
从古代欧氏几何、中世纪射影几何、画法几何、十七世纪的解析几何、近代非欧氏几何、微分几何、积分几何、测度论到现代拓朴流形、点集拓朴、代数拓朴、微分拓朴、代数几何和分形几何的伟大发现；
从古典的微积分、十九世纪的实变和复变函数论、常微与偏微分方程、变分学到现代泛函分析、动力系统、函数逼近论、抽象调和分析、大范围分析、多复变函数论、非标准分析、非线性分析、几何分析、随机分析和混沌分析的惊人发展，模糊数学和突变理论的诞生，小波理论及其应用的崛起；

数学这块肥沃富饶的土地为人类培育出万千杰出的英才，人们自豪地赞颂着：[14]-[19]
欧几里德的划时代巨著《几何原本》、中国古代数学家的不朽传世名著《九章算术》、笛卡尔的《解析几何》、伟大科学家牛顿、莱伯尼兹开创的《微积分》、数学英雄欧拉的《变分法》、多产的数学家柯西对奠定《分析学》理论基础的贡献、非欧几何伟大的战士罗巴切夫斯基对两千年来一直悬而未决的平行公设问题的解决导致了几何观念和空间观念最深刻的变革、数学王子高斯的《关于曲面的一般研究》和对奠定近代数论基础的贡献、黎曼的《一般度量的微分几何》、数学天才伽罗华对代数根式可解这一经历三百年的难题的彻底解决和对《群》超越了其时代的崭新深刻的发现、康托的《集合论》、F.克莱茵以变换群把几何学分类著名的《爱尔兰根纲领》、Sophus Lie的《变换群理论》、科学巨人彭加莱对《组合拓朴》、《微分方程定性理论》和《自守函数论》等许多的数理领域开拓性的工作、世界数学领袖希尔伯特的《几何基础》及其影响深远的23个《数学问题》、伟大物理学家恩思坦《相对论》划时代的贡献、R.Nevanlinna的《亚纯函数值分布理论》、R.A费希尔对建立《数理统计学》的功绩、哥德尔具里程碑意义的《数理逻辑的不完全定理》、数学巨匠柯尔莫哥洛夫的《概率论基本概念》和对《动力系统理论》等众多数学领域开创性的贡献、哥廷根抽象代数学派的领袖杰出女数学家E.诺特的《环中的理想理论》、H.惠特尼的《微分流形》、H.M.莫尔斯的《大范围变分法》、范德瓦尔登的《近世代数学》、E.嘉当对李群和外微分理论的贡献、H.霍普夫和P.亚历山德罗夫的《拓朴学》、布尔巴基数学结构学派的40卷巨著《数学原理》、盖尔范德的《赋范环论》、总揽全局的大家H.外尔对整体李群和规范场论等学科的贡献、布尔巴基学派的精神领袖A.韦伊的《代数几何基础》、图灵的《计算的理论》、豪斯多夫对开创《点集拓朴学》的贡献、当代几何大师陈省身创立的《高维高斯—博内公式的内蕴证明》和《陈示性类》理论为整体微分几何奠定了基础、康托洛维奇和丹齐格对《数学规划》理论的贡献，乌拉姆的《Monte Carlo计算方法》、才冠群雄的冯·诺尔曼设计的第一台《电子计算机》和对创立《对策论》与《量子力学的数学基础》的贡献、S.艾伦伯格与N.E.斯廷罗德的《代数拓朴学基础》、维纳的《控制论》、仙农的《通信的数学理论》、小平邦彦和希策布鲁赫分别对曲面与高维复流形黎曼—罗赫定理的建立、L.舒瓦兹的《广义函数论》、当代数论大师塞尔贝格关于黎曼 函数零点分布问题的出色成果、伊滕清的《论随机微分方程》、年仅28岁就获菲尔兹奖的塞尔对《同伦论》和《同调代数》的杰出贡献、当代物理大师杨振宁对联结现代物理与数学的《杨—米尔斯理论》和《杨—巴克斯特方程》的神奇深邃的发现、R·托姆的《微分映射的奇点理论》和《突破理论》、华罗庚的《多复变函数典型域上的调和分析》、富传奇色彩的A. Grothendieck关于代数几何的《抽象概型理论》、L.V.霍曼德尔的《线性偏微分算子》、P.J.科恩对《连续统假设、选择公理与ZF集合公理系统彼此独立定理》的重大发现、在数论和组合论等领域作出许多贡献的20世纪最多产的数学家P.Erdos、J.M.米尔诺的《微分拓扑学》、S.Smale和V. Arnold的《抽象微分动力系统理论》、横跨分析、代数、几何与拓朴诸领域的《Atiyah-Siger指标定理》，A.Robinson的《非标准分析》、L.Zadeh的《模糊集合论》、把非交换调和分析、自守函数和数论等统一在一起的宏深的《Langlands纲领》、P.Deligne对代数几何中心问题—《韦伊猜想》的漂亮证明、奎伦对发展《代数K理论》的重大贡献、哈肯、阿佩尔对《四色猜想》引起世界轰动的计算机证明、J.汤普森和D.高闰斯廷等数百名群论学家对鸿篇庞大的《有限单群分类定理》的完成、B.芒德布罗的《分形几何》、德·布兰吉斯对单叶函数难题《比勃巴赫猜想》的解决、丘成桐对微分积几何中《卡拉比猜想》的证明和对开创《几何分析》研究方向的贡献，令人震撼的E.威滕联系量子场论还使纽结理论和量子群、共形场论和无穷维李代数等许多数学理论形成统一局面的《大统一计划》和A.维尔斯对有350年历史的《费尔马大定理》的攻克，……
他（她）们的丰功伟绩在科学史上写下光辉灿烂的一页，为人类文化科学技术作出了不朽的贡献！
数学的当代发展呈现新的特点：既高度分化和深入，又高度抽象和统一，
数学不同的思想、方法、分支日显相互渗透和融合，数学与其它科学四处结缘，[2] 非常规数学[3]将独领风骚，
应用数学[4]空前壮大，应用领域不断扩展，数学与计算机结合开辟了数学工程技术和机器证明的新时代；[5]

数学符号和语言是理性的音符，数学是静谧、深奥和典雅的音乐，
数学各种模式是现实世界数形关系、结构的一幅优美画卷和一颗严整、深邃的雕像，
数学抽象思维是人类智慧奥妙的诗篇；

数学是科学的纯净、和谐与崇高美的化身——科学的女王，[6]她充满着美的魅力；
代数结构与公式的简洁美，几何对象与定理的对称美，
泛函分析概念与方法的统一美，突变理论与应用的奇异美，……

数学是一个充满奥秘令人神往的无垠海洋，她吸引着许多勇敢向往的探索者，
数学是一个芬芳绚丽充满生机的百花园，她等待着有志辛勤的园丁去开拓耕耘和收获，
数学是智慧和创造性的艺术，是求真、求善、求美的殿堂；

“数学是科学的大门和钥匙”，[7]数学是科学的语言也是“辨证的辅助工具和表现方式”，[8]
“数学是锻炼思维的体操”，[9]她能启迪、培养、优化和发展人的思维，数学是认识世界和改造世界的锐利武器，
数学是智慧之泉、思想之根，[13]她的研究促进着人类的思想解放，[10]数学发达是国家富强的必要条件；[11]

数学可以陶冶情操和提升科学人文的素养，使人勤奋自强、求实探索、创新进取和严整精明，
“她唤起心神，澄净智慧；她给我们内心思想增添光辉；她涤尽我们有生以来的蒙昧与无知”，[12]
21世纪数学强国的理想在召唤，[13]让我们乘着数学美神的翅膀，坚定地去播种和发展信息时代的数学吧！

注：
[1]见徐利治  郑毓信，《数学模式论》，南宁：广西教育出版社，1993年P.9.
[2]指产生众多的边缘与交叉数学，如数理经济学、生态数学、管理数学、金融数学、地质数学、数理语言学、……等分支.
[3]非常规数学指数学从单变量到多变量、从低维到高维、从线性到非线性、从局部到整体、从连续到间断、从稳定到分岔、从精确到模糊、从光滑到非光滑分析等的发展，见孙小礼、杜珣，《现代数学的特点和意义》，工科数学，1992年第2期.
[4]指计算数学、概率论、数理统计、运筹学、组合数学、模糊数学和图论等分支.
[5]美国国家委员会1984年在“进一步繁荣美国数学”的报告中指出“高科技的出现把我们的社会推进到数学工程技术的新时代”，又我国的吴文俊院士和张景中院士相继在20世纪70年代和90年代都对计算机的定理证明作出了突破性的贡献，使我国在这方面处于世界领先的地位.
[6]英国著名数学家罗素说：“数学，如果正确地看待它，不但拥有真理而且还具有至高的美，这是一种雕塑式的冷而严肃的美，……，是一种纯净而崇高的美，以致能以达到一种只有最伟大的艺术才能显现的那种完美的境地”。见陈景寅，《数学美是深奥的美》的引文，山东师范大学学报，1995（增刊）.
[7]Rogen Bacon语，见张顺燕，《数学思想、方法和应用》，北京大学出版社，1998年，P.5.
[8]恩格思语，见恩格斯，《自然辨证法》，北京：人民出版社，1971年，P.3.
[9]前苏联著名社会活动家、教育家加里宁语.
[10]见邓东皋  孙小礼  张祖贵，《数学与文化》，北京：北京大学出版社，1999年P.209.
[11]见徐利治，《20世纪至21世纪数学发展趋势的回顾及展望（提纲）》，数学教育学报，2000年2月P.1.
[12]Proclus语，见[7]所引的书P.2.
[13]当代数学大师陈省身说：数学是科学之母，思想之根，并预言：中国在21世纪将成为一个数学强国，见[10]所引的书P.211.
[14]见 胡作弦 邓朋立，《20世纪数学思想》，济南：山东教育出版社，1999年.
[15]见 李心灿，《当代数学大师》，北京：航空工业出版社，1994年.
[16]见 张继平主编，《新世纪代数学》，北京：北京大学出版社，2002年，P.157.
[17]见 李心灿等主编，《当代数学精英》，上海：上海科技教育出版社，2002年.
[18]见 张奠宙著，《20世纪数学经纬》，上海：华东师范大学出版社，2002年.
[19]见 李文林，《数学史概论》第二版，北京：高等教育出版社，2002年.