[原创]Erdos传说

白洞先生

[watermark]Erdos传说
Thursday, 24. November 2005, 11:22:20

－－1－－
　　一个数学家就是一台把咖啡转化为数学定理的机器。
--P. Erdos
Erdos(1913-1996)是当代最伟大的数学家之一，他一生中同485位合作者发表过147
5篇数学论文，涉及数学的许多领域。下面的这些故事主要来自他的传记《数字情种》，
当然也有一些从别处搜集来的故事。
　　前面所引的那段话暗示了一天工作19个小时以上（在古稀之年依然如此）的Erdos对
兴奋剂的依赖。1979年，他的朋友Graham与Erdos打赌，只要他一个月之内不服用安非他
明，Graham就输给他500美元。Erdos成功地赢得了这次打赌，但他对Graham说："你帮我
证明了我不是一个瘾君子，但在这段时间内我一无所成。我早晨起来就盯着一张白纸发
呆，毫无主意，跟普通人没有什么区别。你因此使数学的发展滞后了一个月。"所以他随
后便重新开始服用兴奋剂。　
－－2－－
SF创造我们就是为了拿我们的痛苦取乐，我们死得愈早，他的计划就愈早落空。
--Erdos
Erdos有一套他自己的语言。比如说，他称上帝为"SF"（Supreme Fascist，最大的
法西斯份子），因为他总是折磨Erdos，藏起他的眼镜，偷走他的匈牙利护照，甚至把持
着各种古怪的数学问题的解答不让他发现。Erdos并不敬畏上帝，死亡对于Erdos的唯一
意义就是使他无法再进行数学研究，所以他经常说："在坟墓里有的是时间休息。"
Erdos从事数学研究的方式很独特。他总是游历于世界各地的大学和研究所，登门拜
访那里的数学家，向对方宣布："我的头脑敞开着。"然后他们便开始讨论数学问题，一
连持续几天，直到双方都厌倦了为止。他从不在一个城市里连续呆上一个月，他的座右
铭是："另一个屋顶，另一个证明。（Another roof, another proof.）"
－－3－－
出生的不幸是什么时候降临在你头上的？
--Erdos 常用的问候语
除了SF之外，Erdos还有很多独特的术语。他称小孩为ε，称孙辈为ε^2，称桥牌打
得不好的人为o(x)，称女人为"主人"，男人为"奴隶"，结婚为"被俘虏了"，离婚为"自由
了"，音乐为"噪声"，酒精为"毒药"，进行一次数学讲座为"布道"，非数学家为"不值一
提的人"，美国为"Sam"，苏联为"Joe"。
Martin Gardner第一次见到他的时候，他问Gardner："你是什么时候到的？"Gardn
er连忙看表，这时Graham小声告诉他，对于Erdos来说，这句话的意思是："你是什么时
候出生的？"
－－4－－
一个数学家必须是在每个星期都有一些新的研究工作才成为数学家。
--Erdos
Erdos见到他的同行时，总喜欢问："你昨天有什么新的发现？"可事实上并不是每个
数学家都能像他那样每年发表50多篇论文！
一次，他在巴黎演讲后，一位法国数学家问他关于某位有爵士头衔的英国数学家的
近况。他回答："这个可怜的家伙两年前就已死去了。"另外一位法国数学家却说："不可
能，上个月我还在罗马见过他。"Erdos答："你应该明白我的意思，我是指他这两年没有
搞出什么新东西来。"
在Erdos的术语里，"死了"是指这个人不再进行数学研究，"离开了"才是真正的生理
学意义上的死亡。
－－5－－
我只要拿张纸，坐下，就能思考。
--Erdos
在很多张Erdos的照片上，他都是低着头的。这种姿势很容易让人以为是在打盹，但
Erdos声称他是在思考问题。
1939年，Erdos曾听过M.Kac在Princeton研究所做的一个报告。事后Kac这样回忆道
："在我报告的大部分时间内，他都快要睡着了。报告的内容跟他的兴趣毫不沾边。在将
近结尾时我大致说了一下我在素因子方面遇到的困难。一提起数论，Erdos马上就精神起
来，让我再解释一下到底困难在哪。不到几分钟，报告还没有结束，Erdos就打断我的讲
话并宣布问题解决了！"
注：Mark Kac，波兰裔美籍数学家，主要研究概率论与数学物理，有以他名字命名
的Feynman-Kac公式。
－－6－－
　　匈牙利人的问题在于，每次战争我们都站错了队。
--Erdos
Erdos于1913年3月26日出生于布达佩斯的一个匈牙利化了的犹太人家庭。匈牙利和
犹太，这两个来自东方的古老的民族，曾经孕育了无数的伟人。八十三年后，当Erdos与
世长辞时，Gordon Raisbeck在给Erdos的表妹的吊唁信中写道：
　　"你听说过两个哲学家讨论存在地外生命之可能性的典故吗？其中一人说，如果外星
人存在，那么他们的智力水平就有可能超过我们人类，因此我们可以预期他们已经访问
地球了。但他又说：';但他们有没有留下什么痕迹呢？';另外一位哲学家俯身过来时对他
耳语道：';嘘！这里我们自称匈牙利人。';正是有了像Erdos这样杰出的人，才成就了这样
的典故。"
－－7－－
我告诉我母亲，如果你用100减去250，你便得到-150.
--Erdos回忆他4岁时的经历
如果说这个世界上真的有天才，那Erdos无疑是其中之一。在蹒跚学步时，他就研究
日历，计算母亲还有多久才能放假回家。（那时他父亲在战争中被俄国人俘虏，母亲在
学校教书，他是由一名家庭女教师抚养。）3岁时，他便能心算3位数的乘法，4岁时便"
发现"了负数。同样在4岁时，他就算出一些诸如乘火车去太阳需多长时间之类荒唐可笑
的问题来做游戏。他问她母亲的朋友们多大，然后立即心算出她们已经活了多少秒。
在上高中之前，他母亲一直不让他上学，因为害怕他会得传染病。
他的英语是跟他父亲学的，--他父亲在集中营里为了打发时间，便用一本书自学了
英语。所以Erdos的英语发音一直很糟糕，因为他的父亲从来没有听过地道的英语。
－－8－－
这世上有这么多的丑恶现象，我都不敢说，假如上帝存在的话，是不是也是圣洁的
。
--Erdos
1919年，Miklós Horthy在匈牙利建立了欧洲第一个法西斯政权，并发起了一场血
腥的排犹运动。几万犹太人被迫离开匈牙利，其中包括E.Teller,J.von Neumann,L.Szi
lard,E.Wigner. 这四个人都去了当时的科学圣地--德国，若干年后，他们又都逃到了美
国，并参与了曼哈顿工程。
Erdos一家并没有离开。那时犹太人经常在光天化日之下遭到殴打甚至屠杀，（Wig
ner就曾遭暴徒袭击，）Erdos的母亲曾对Erdos说："你知道现在犹太人实在是太难了，
我们是不是要去洗礼？"六岁的Erdos回答道："那好，你可以做你想做的，可我还会和原
来一样。"
这就是Erdos，从不会放弃自己原则的Erdos.
综观Erdos的一生，他藐视任何法西斯权威，无论是武装暴徒，还是不学无术的大学
官僚、美国移民局官员、匈牙利秘密警察、FBI、洛杉矶交警，甚至上帝。
注：Edward Teller，著名物理学家，被称为"氢弹之父"。
John von Neumann，20世纪最伟大的数学家之一，在纯粹数学和应用数学的许
多领域中都有着无与伦比的贡献。仅"电子计算机之父"这一称谓便足以使他流芳百世。
Leo Szilard，著名物理学家、生物学家，核链式反应的提出者及专利拥有者。
1939年8月2日，在他和Wigner、Teller的建议下，Einstein给罗斯福总统写信，呼吁美
国抢在纳粹德国之前研制成原子弹，--事实上，那封著名信件就是Szilard起草的。
Eugene Wigner，20世纪最重要的理论物理学家之一，获1963年Nobel物理奖。
他还是Dirac的大舅子。
－－9－－
我不明白为什么我们初次见面时他会那样--说的全是数的平方和各种各样的证明。
在我渐渐了解他之后，我发现他并不是那种喜欢过分张扬的人。……所以我真的不能解
释为什么他总是在说他所知道的所有证法。
--A.Vázsonyi对Erdos的回忆
1930年，17岁的Erdos第一次见到14岁的Vázsonyi时，前者对后者说的第一句话是
：
"给我举出一个4位数。"
Vázsonyi答道："2,532."
"它的平方是6,411,024. 对不起，我老了，否则我会立即告诉你它的立方。"
Erdos又问道："你知道毕达哥拉斯定理的多少种证法？"
"1种。"Vázsonyi说。
"我知道37种。你知道位于一条直线上的点不能构成可数集合吗？"继而Erdos给出了
一种证明方法，然后他说他必须跑了。
六十七年后，Vázsonyi仍然清晰地记得当时的情形：
"当Erdos说他必须';跑';时，他像只大猴子一样驼着背，侧着身子，摇摆着双臂，沿
着街一溜儿小跑，引得行人时时回头观望。……当他年纪稍大之后，他的步态不太像猴
了，但仍有些奇怪。他老是走得很快，甚至发展到会向一面墙直冲过去，然后突然止步
，猛然掉头，再往回跑。有一次他没能止住脚步，一下子撞到墙上，弄伤了自己。"
－－10－－
如果你是一只耗子，你就知道了。
--Erdos这样解释他把一只小猫称为法西斯的原因
尽管受到各种反犹法律的限制，Erdos还是得以在17岁那年进入布达佩斯的Pázmá
ny Péter大学学习。他经常与他的朋友们在公园或广场里讨论数学问题和时事。
当时的法律禁止群众聚会，经常会有警察过来盘问他们。他们感觉密探无所不在，
不能够畅所欲言。所以从那时起，Erdos开始使用一些自己独有的隐语。他用"长波人"来
代表共产主义者，因为红色光的波长较长；相应地，用"短波人"来代表法西斯主义者。
政治并不能干扰Erdos和他的朋友们对数学的兴趣。Vázsonyi回忆说："他（Erdos
）沉浸在素数的世界里，素数是他的一切，他与素数之间似乎有着某种奇妙的密切关系
。"大学一年级时，Erdos便证明了Bertrand猜想："在n和2n之间总存在一个素数，其中
n是大于1的整数。"这个猜想最初是在1848年由Chebyshev证明的，但Erdos的证明比Che
byshev的要简单得多。
20岁时，Erdos便宣称要用古希腊时期流传下来的Eratosthenes筛法来给出素数定理
的初等证明，若干年后他果然做到了。这是后话。
注：Joseph Louis Francois Bertrand，19世纪法国数学家，在数论、概率论、几
何、微分方程等领域均有贡献。
Pafnuty Lvovitch Chebyshev，19世纪俄国数学家，在数学许多领域有开创性
工作，是俄国数学的奠基人。
Eratosthenes，与Archimedes同时代的学者，曾任亚历山大图书馆馆长。
－－11－－
我是犹太人，而匈牙利当时是个半法西斯国家。
--Erdos谈及他离开匈牙利的原因
早在12岁的时候，Erdos就清楚地知道，由于政治上的原因，他迟早得离开匈牙利。
1934年，他获得了博士学位，随后便到英国的Manchester大学进行他的博士后研究。
在Erdos抵达英国的第二天，发生了两件对于他来说颇不寻常的事情，其中一件是这
样的：
Erdos以前从来没有给面包片抹过黄油，在家里都是他母亲或佣人给他抹的。他回忆
道："我清楚地记得，那一次我刚去英国学习，茶点的时候上了面包。要是承认自己从来
没有抹过黄油，那太让我难堪了，于是我就试了试。还不是太难。"
就在10年前，当他11岁的时候，他第一次给自己系了鞋带。
－－12－－
最好的数学既是美的，同时又是严肃的。
--G.H.Hardy
在Erdos抵达英国的第二天，还发生了另外一件事，可能对他的影响更大，那就是他
遇见了那个时代最为纯粹的数学家--Godfrey Harold Hardy.
数学家有很多种类型，像Erdos这样的可谓凤毛麟角。（不过好象公众心目中的数学
家都是Erdos这样子的。）Hardy可谓是跟Erdos截然相反的一类数学家。
Erdos每天工作19个小时，Hardy的生活则有规律得多：他每天只花4个小时（上午9
点到下午1点）用于数学研究，下午打板球和网球，晚上与B.Russell,C.P.Snow,G.E.Mo
ore,
A.N.Whitehead,J.M.Keynes,G.M.Trevelyan,E.M.Forster,L.Strachey,L.Woolf等人热烈
交谈。
Erdos只对数学感兴趣，Hardy的兴趣则广泛得多。有一年，他在给朋友的明信片里
谈了他新年的6项打算："1.证明Riemann假设；2.不能让211队在奥威尔举办的板球决赛
阶段第四局比赛中出局；3.找到足以让公众信服的证明上帝不存在的论据；4.成为登上
珠穆朗玛峰的第一人；5.成为苏联、大不列颠及德意志联合王国的首任总统；6.谋杀Mu
ssolini."
Erdos是天生的流浪者，Hardy则憎恶旅行，尤其是害怕坐船。如果Hardy不得不乘船
出海，他就会给朋友寄一张明信片，宣称自己已经证明了Riemann假设。他认为这样一来
上帝就不会让他在旅途中死去，因为上帝--他"个人的敌人"--是不会让他享有证明Riem
ann假设的荣誉的。
Erdos其貌不扬，看上去还有些神经质，Hardy则是出了名的美男子，十足的绅士。
当然，他们也有一些共同点，比如说他们两人都不太喜欢上帝。Hardy拒绝涉足任何
带有崇拜色彩的地方，为了迁就他，剑桥大学特意在校规里加了一条，使他"可以豁免某
些职责，不参加礼拜。"他们两人也都终身未婚。他们都喜欢与人合作：Hardy与Little
-wood及Ramanujan的合作至今仍被人津津乐道，Erdos则有多达485名合作者。
他们两人更重要的共同点是：他们都是纯而又纯的数学家，而且也都是第一流的数
学家。
注：Godfrey Harold Hardy，剑桥分析学派后期的领袖人物，主要研究调和分析与
解析数论。
Bertrand Russell，20世纪最著名、最重要、最卓越的思想家之一，曾获1950
年Nobel文学奖。
Charles Percy Snow，英国小说家、物理学家和政府官员，曾任剑桥大学行政
领导人。
George Edward Moore，英国实在论哲学家，著有《伦理学原理》、《哲学研究
》等。
Alfred North Whitehead，英国数学家、哲学家，著有《数学原理》（与Russ
ell合著）、《过程与实在》、《观念的历险》等。
John Meynard Keynes，有史以来最伟大的经济学家之一。
George Macaulay Trevelyan，英国自由主义历史学家，曾任剑桥大学三一学院
院长。
Edward Morgan Forster，英国小说家、散文家、社会和文学评论家，著有小说
《霍华兹恩德》、《印度之行》等。
Lytton Strachey，英国传记作家、批评家，著有《维多利亚女王时代名人传》
等。
Leonard Woolf，英国文学家、出版家、政界人士、记者和国际主义者，他还是
Virginia Woolf的丈夫。
Georg Friedrich Bernhard Riemann，19世纪德国数学家，在数学的许多领域
内均有天才的开拓性工作，对20世纪数学的发展有着难以估量的深远影响。
John Edensor Littlewood，英国数学家，与Hardy密切合作达35年，共同撰写
了100篇论文。
Srinivasa Aaiyangar Ramanujan，天才的印度数学家，对无穷级数和数论有着
惊人的直觉。
－－13－－
明年哥廷根见！
--Erdos理想中的犹太人祝酒辞
到英国后，Erdos开始了他的流浪生涯。他频繁来往于英国的各个大学之间，从没有
连续七天呆在同一个城市。那时候世界数学的中心是哥廷根大学，尽管希特勒的兴起已
使哥廷根开始衰落。Erdos一直想去哥廷根，但作为犹太人的他始终没有达成这个心愿。
他每年要回布达佩斯三次，看望双亲和老朋友。有一次，在他回家期间，Vázsuon
i正研究一个图论问题，并找到了这个问题的必要条件。他回忆道："我几乎天天与Erdo
s见面。但我犯了一个致命的错误--我在电话里把自己的发现告诉了他。我称这个错误是
致命的，是因为他在20分钟后就回电告诉了我证明充分性的方法。';该死的，';我想，';现
在我只好和他合作写这篇论文了。';这个著名的Erdos数';1';究竟给我带来了什么，我几乎
一无所知。"
"Erdos数"是数学界流传的一个典故。即给每一个数学家赋予一个Erdos数：Erdos本
人的Erdos数是0；曾与Erdos合作发表过文章的人的Erdos数是1；没有与Erdos合作发表
过文章，但与Erdos数为1的人合作过的是2；……自然，不属于以上任何一类的就是∞.
－－14－－
Wir Mathematiker sind alle ein biβchen meschugge.
（我们数学家都有些疯狂。）
--E.Landau曾对Erdos说的一句话
在常人眼里，数学家往往是些怪人。其实数学家多半还是很正常的，只是当他们思
考起数学问题时，脑海里就容不得别的东西了。
Harold Davenport的妻子Anne Davenport回忆说："有一次在三一学院，我想大概是
在30年代，Erdos和我丈夫在一个公共场所思考了一个多小时而彼此一言不发。最后，H
arold说：';这不是0，而是1';，这才打破了长时间的沉寂。然后就是如释重负、一片欢欣
了。他们周围的人都以为他们疯了。的确，他们是疯了。"
注：Edmund Landau，德国数学家，主要研究数论与复变函数，曾在柏林大学和哥廷
根大学任教授。Erdos没去过哥廷根，Landau却访问过剑桥，他们可能就是在剑桥见面的
。据说Landau怀疑Littlewood这个人的存在性，所以专程去英国看了一下。这个故事还
有另外一种版本，说Wiener在访问剑桥时遇见了Littlewood，便说："哈！原来还真有你
这么一个人！我还以为Littlewood是Hardy发表那些写得不太好的文章时所用的化名呢！
"Wiener对这个笑话感到非常苦恼，专门在自传里辟了谣。
Harold Davenport, 剑桥学派的数论专家，曾任伦敦数学会主席，有各种论著
196种。
－－15－－
人们研究你是因为你是一个数学家，而不是因为你研究Leibniz.
--Erdos对Godel如是说
1938年9月3日发生了捷克事件。那天Erdos正在布达佩斯，他当晚便匆匆赶回英国，
几周后又去了美国，到位于Princeton的高等研究所（Institute for Advanced Study）
工作。
高等研究所是30年代初由Bamberger兄妹捐资兴建的，首任所长为教育家Abraham F
lexner. 这个研究所聘请的第一批研究员是：
Alexander,Einstein,Morse,Veblen,von Neumann,Weyl.
Oppenheimer曾称高等研究所是一座疯人院，--许多年以后他自己成为这家疯人院的
院长。在这里，Erdos肯定算不上是天才，但却仍然显得很怪异，因为一年半以后他就因
为过于"uncouth and unconventional"而被解聘了。不过天真的Erdos却把在研究所的这
段日子称为他在数学上最有成果的时期。
当时的高等研究所拥有世界上最出色的一批数学家，比如说Godel. 那时候Godel的
兴趣已经转向了形而上学，所以Erdos常与他吵得不可开交。
注：Gottfried Wilhelm Leibniz，17世纪德国百科全书式的学者，微积分的创始人
之一。
Kurt Godel，奥地利裔美籍数学家、逻辑学家。
James Waddell Alexander，美国拓扑学家。
Harold Marston Morse，美国数学家，Morse理论的创立者。
Oswald Veblen，美国几何学家和拓扑学家。
Claude Hugo Hermann Weyl，Hilbert的得意门生，20世纪最伟大的数学家之一
。
Robert Oppenheimer，美国物理学家，曼哈顿计划的主持人，被称为"原子弹之
父"。
－－16－－
我知道Einstein绝不信奉人格化的上帝，因为我问过他。
--Erdos
如同那个时代曾待在Princeton的其他人一样，Erdos曾有幸与Einstein交往。有一
次在Einstein家吃午饭时，Erdos把自己最钟爱的素数理论讲给Einstein听。Einstein对
这一理论的评价很高，但他对细节并不感兴趣。
他们两人主要讨论的话题还是政治。Erdos一向很关心政治，经常就世界政治和人类
的普遍问题发表一些悲观言论。
原子弹的问世使Einstein再次成为世界关注的焦点，--尽管没有Einstein也能造出
原子弹。Erdos曾问Einstein："40年前你想到过你的质能方程会在你的有生之年得到应
用吗？"Einstein说："我没料到。我曾想也许最终会得到应用，但没料到会那么快。"
其实像Einstein或者Erdos这样的科学家并不很关心自己的理论能否得到应用。一个
极端的例子是Erdos曾经拜访过的Hardy，他就宣称最好的理论是毫无用处的，比如数论
和相对论，--不幸的是他举的这两个例子都错了。
－－17－－
他在Princeton的大街上走来走去，挥舞着双手，旁若无人地比划着。
--Louise Straus对Erdos的回忆
同Einstein相比，他的数学助手Ernst Straus与Erdos之间有着更多的共同语言。每
当他在自己的宿舍里住腻的时候，他就跑到Straus的家里呆上若干天。
那时Straus夫妇经常在半夜里听到一声巨响，那是Erdos在开窗户，--他从没想到应
该轻轻地把窗户放下。他不会使用淋浴器，不会把水龙头关上。他到公用电话亭里彻夜
不停地往里面塞硬币，给世界各地的数学家打电话，宣称自己在Straus家里，然后和他
们讨论问题。他还邀请附近的一些朋友到这里来，不管主人是否同意。
许多年以后，Straus说："Einstein曾对我说过……对于一个科学家而言，首要任务
是解决核心问题，而不为其他问题所动--无论那些问题多难，多么具有诱惑力。Erdos完
全违背了Einstein的这一番话，但他却取得了成功。他几乎痴迷于他所遇到的每一个难
题，并成功解决了其中的大部分。"
－－18－－
你应该找一份实际的正经工作。
--Halmos对Erdos的劝告
P.R.Halmos曾记载过Erdos在Princeton时的另一个故事。Hurewicz曾经提出过这样
一个问题：Hilbert空间中有理点集合的维数是多少？Erdos听到这个问题后，便问"Hil
bert空间"和"维数"各是什么意思。有人把定义告诉他，很快Erdos便得出了答案。这是
Erdos对一个他几乎一无所知的领域作出的贡献！
注：Paul Richard Halmos，匈牙利裔美籍数学家，Springer-Verlag出版社主编。
著有《测度论》等。
Witold Hurewicz，波兰裔美籍数学家，维数理论和同伦论的开创者。
David Hilbert，德国人，历史上最有影响的数学家之一。他使哥廷根成为当时
世界上数学家朝拜的圣地。
－－19－－
Erdos在任何时刻都集中精神思考。
--S.M.Ulam
那时候Erdos手头很拮据，只能靠大学发给他的访问津贴度日。被高等研究所解聘后
，他一度失去了生活来源，幸好Ulam向他伸出了援助之手。Ulam是Erdos在剑桥结识的朋
友，当他得知Erdos的窘境后，便邀请Erdos到他工作的Wisconsin-Madison大学来访问。
许多年以后，Ulam在他的自传中回忆道："Erdos身材中等偏下，极度的神经质，他
几乎总是';上窜下跳';，或者挥舞着他的双臂。他的眼神表明他总是在思考着数学问题，
只有在他就一些还模糊不清的世界时事政治和人类的普遍问题发表相当悲观的言论时才
会被打断。如果他突然产生了一个有意思的想法，就会一下子跳起来，挥舞双臂，然后
再坐下来。"
注：Stanislaw Marcin Ulam，波兰裔美籍数学家。早年研究拓扑，后因参与曼哈顿
工程，兴趣遂转向应用数学。他是Monte Carlo方法的创始人之一。
－－20－－
他(Erdos)具有神秘的技能，可以运用最深奥、抽象的数学工具来预测原子弹的反应
。
--Ulam
1943年，Ulam到Los Alamos参与原子弹的研制。他极力劝说Erdos也加入他们的行列
，Erdos本人也很愿意为消灭法西斯而出力。于是Erdos给他的同胞E.Teller写信，申请
加入曼哈顿工程。但Erdos在信中特别强调他战后要回匈牙利，所以理所当然地被取消了
资格。
Erdos就是总喜欢和权威对着干，而且根本不遵守各种保密规则。他还给在Los Ala
mos的P.Lax寄了一张明信片："亲爱的Peter，我的间谍告诉我Sam正在造原子弹，告诉我
，这是真的吗？"
还有一次，Erdos和包括Lax在内的几个匈牙利人一起吃晚饭。席间他们一直用匈牙
利语交谈，Erdos却突然用英语大声问："原子弹的研制进展如何？"
注：Peter Lax，匈牙利裔美籍犹太数学家，主要研究泛函分析、偏微分方程和应用
数学。曾任美国数学会主席、美国原子能委员会计算和应用数学中心主任、纽约大学Co
urant数学研究所所长、纽约大学Courant数学和计算实验室主任。1987年获Wolf奖。他
还是北京大学荣誉研究博士。
－－21－－
数学家能在没有粉笔、纸或笔的情况下工作，他可能在走路、吃饭甚至谈天时继续
思考。
--Ulam
其实Erdos无论如何都不可能被接纳到曼哈顿工程中的，因为他在FBI早已有了案底
。1941年，他还在Princeton的时候，有一次与两名Princeton的学生，加久谷静雄和A.
H.Stone，一起去Chicago参加一个会议，途经长岛，便下来看看海景。他们在一个无线
电发射塔--可能是一个秘密的军用雷达--附近拍照，被警卫发现。警卫报警称"3个日本
人在这里鬼鬼祟祟地拍照"，于是警察四处搜捕，终于在路上截获了他们。
FBI的调查人员问他们为什么没有看到"NO TRESPASSING"的标牌，Erdos说："我正在
思考问题。""思考些什么？""数学。"
当晚，他们的身份被确认，于是得到释放。但此事已经被FBI记录在案，并对Erdos
产生了不利的影响，这是后话。
－－22－－
他的到来极大地丰富了我们的业余生活。
-- 一位Purdue大学老师对Erdos的回忆
类似的一件事情发生在1943年。那年Erdos在Purdue大学找了一份非全日性工作，总
算摆脱了四处举债的日子。
在Purdue时，他不分昼夜地散步。有一次，他半夜三更在外面溜达，被警察叫住了
。他没带任何证件，警察便问："你在干吗？""我在思考问题。""思考什么？""数学。"
于是他们满腹狐疑地放他走了。
Purdue位于一个与世隔绝的小镇，人们的娱乐活动很少。Purdue的老师们每周都要
聚会一次，进行一些非正式的演讲和讨论。有一次演讲人没有到，又没有准备别的节目
，Erdos便自告奋勇，上台演讲。他不借助任何稿子，做了一个引人入胜的关于蜜蜂的色
视觉方面的近期研究进展状况的报告。台下的人都大感惊讶，因为从没想到只痴迷于数
学的Erdos还会关注这类东西。
－－23－－
纳粹杀害了我母亲的4个兄妹。
--Erdos
战争期间Erdos一直得不到家人的讯息，很挂念他们。1945年8月，他终于收到了消
息。他母亲仍然健在，但他父亲已死于心脏病。
苏军占领匈牙利后，红色 植 代替了白色恐怖。红军士兵在街上随意抓人，大批匈
牙利人被送往古拉格群岛，其中绝大多数再也没有回来。
Turán就曾经有过一段危险的经历。当时他在布达佩斯被一个苏联巡逻兵拦住去路
，被要求出示证件。可Turán刚逃过纳粹的搜捕，身上没有任何证件。情急之下，他拿
出一本1935年出版的《托木斯克数学力学研究所通报》，上面有他和Erdos合著的一篇论
文。这本战前的苏联杂志显然赢得了士兵的好感，于是他被放行了。后来Turán遇见Er
dos时，感慨地说:"没想到数论还有这样的妙用！"
注：Paul Turán，匈牙利数学家，主要研究数论和图论。
－－24－－
他（Ulam）真的很幸运，并没有遭受年迈体衰和老年痴呆这两大恶魔的折磨，他在
依然还能求证、还能猜想的时候猝死于心脏病，死时没有痛苦，没有恐惧。
--Erdos
如果你是一位才华横溢的数学家，如果你不幸得了脑炎，如果在你做完脑部手术、
恢复清醒之后，医生问你这样一个问题："8与13的和是多少？"你的感觉会是怎样的？
这就是Ulam在1945年冬天的遭遇。也许他会从此丧失对自己数学能力的信心，--如
果他在走出医院的时候没有遇见Erdos. 那天，当Ulam在妻子的搀扶下离开医院时，突然
看见Erdos神气活现地出现在他们的面前。
"Stan！我还以为你已经死了，正准备替你写讣告，还打算独自完成咱们合写的论文
。"
Erdos手提一个小箱子，里面装着他的全部财产，显然是无处可去，于是Ulam便邀请
他去自己的家。在乘车回家的路上，Erdos缠着Ulam讨论数学问题，根本不让Ulam休息。
一到家，Erdos就要Ulam同他下棋。Ulam起初对于下棋感到很紧张，惟恐自己已经把规则
忘记了。当他赢了第一盘之后，又怀疑是Erdos故意让他的。Erdos要求下第二盘，结果
Ulam又赢了。这时Erdos说："到此为止吧，我累了。"Ulam才发现原来Erdos是认真的。
Erdos在Ulam家里住了两周，不停地与Ulam讨论数学问题。在Ulam做手术后，Erdos
是第一个把他当作数学家而不是白痴或者准白痴看待的人。
－－25－－
死亡从40岁开始。
--Erdos
1948年冬，Erdos回到布达佩斯，看望了他的母亲和一些老朋友。但很快斯大林就开
展了一次笔迹审查活动，大肆封锁边界、围捕公民，Erdos不得不再次逃离匈牙利。随后
几年内，他往返于美国和英国之间，居无定所。
那时Erdos已经开始在信件里不停地抱怨自己已经老了，他还经常对人说，上帝已有
一只手搭在了他的肩膀上。有人问他："aul，如果你才40岁时就感觉如此之糟，当你5
0岁时又会如何？"他立即悲哀地说："更糟。"
科学家的创造年华通常是很短暂的，所以学术机构中都设有终身职位，以保证科学
家的生活。Erdos的朋友们劝他尽快找一份终生职位，他们说："aul，你那走江湖数学
家的生涯还要维持多久？"他竟回答："起码40年。"他甚至拒绝了一些大学的终身职位的
邀请。
－－26－－
数学是科学的女王，数论是数学的女王。
--C.F.Gauss
大约在1792年，15岁的Gauss经过深入的分析和例证，猜想素数在自然数中的的分布
密度应该是1/log(x)，因而，他提出这样的公式：
π(x)～Li(x) , 当 x → +∞
∞ 1
其中π(x)表示不超过x的素数的个数，Li(x)＝∫ --- dt
2 log(t)
Gauss曾经写信给当时世界上一些著名的数学家，向他们请教这个问题，但没人能给
出证明。
差不多在同一时候，Legendre通过数值计算，于1808年提出了这样一个经验公式：
x
π(x)～ -------- ， 当 x → +∞
log(x)－1.08366
容易看到，Gauss和Legendre提出的渐进公式是等阶的，实际上都等同于猜想
x
π(x)～ --- ， 当 x → +∞
log(x)
（不过Gauss的猜想更加深刻和精确。）
这就是19世纪最著名的数学难题：素数定理。这个猜想是非常令人惊异的，因为素
数在自然数中的分布可以说相当"杂乱无章"，但它竟然还能用这样简单的公式来描述！
在Gauss的一生中，肯定曾花费了不少时间和精力来思考这个从少年时便开始困惑他
的难题，但我们没有Gauss关于这个问题的研究记录，所以也无法知道他在这个问题上究
竟走了多远，不过十有八九是他并没有解决这个猜想。
注：Carl Friedrich Gauss，主要生活在19世纪的德国数学家。他通常被认为是历
史上最伟大的三位数学家之一，另外两个是Archimedes和Newton.
Adrien-Marie Legendre，活跃于大革命前后的法国数学家，在数学的许多方面
都作出了重要贡献。
－－27－－
高等算术（即数论--编者注）中一些最美丽的定理具有这样的特性：它们极易从经
验事实中归纳出来，但其证明却隐藏得极深，只有高人一等的研究者才能把它们挖掘出
来。正是出于此种原因，赋予高等算术以神奇魅力，使之成为第一流数学家们最喜爱的
科学。至于它远远凌驾于数学其他各分支之上的无限丰富性，那就更不必提了。
--C.F.Gauss
首先对素数定理的研究作出了重要贡献的是Chebyshev. 他证明了存在两个正常数C
_1和C_2 ，使不等式
x x
C_1---≤π(x)≤C_2---
log(x) log(x)
对充分大的x成立，并且相当精确地定出了C_1和C_2的数值。他还证明了
π(x)log(x) ＿＿ π(x)log(x)
lim ----- ≤1≤lim -----
￣￣ x x
x→∞ x→∞
也就是说，如果π(x)log(x)/x 的极限存在，则必定是1. 这些无疑都是很重要的进展，
但不幸的是，用Chebyshev的方法无法证明最后的结果。
1859年，Riemann发表了题为"论不超过一个给定值的素数个数"的论文，这是他唯一
一篇关于数论的论文。在这篇仅8页的论文里面，Riemann首次深刻而系统地研究了ζ函
数
∞ 1
ζ(s)=Σ --
n=1 n^s
的性质。并且指出，素数的分布与ζ函数，特别是ζ函数的零点的性质有着密切的联系
。在这篇文章里，他还提出六个关于ζ函数的猜想，其中一个就是著名的Riemann假设：
ζ(s)的所有非平凡零点都位于直线 Re(s)=1/2 上。
Riemann的这篇论文为素数分布理论的研究指明了方向，以后这方面所有的进展都是
从他的思想中得来的。
1896年，两位年轻的数学家Hadamard和de la Vallée Poussin按照Riemann的思路
，各自独立地利用高深的整函数理论证明了素数定理，从而解决了这个有一个世纪历史
的难题。后来Landau,Hardy-Littlewood等人利用函数论的知识给出了素数定理的新证明
。
以上各人的证明都需要利用ζ函数以及一些较深的分析工具。后来Wiener用实分析
的方法证明了素数定理等价于"ζ函数的零点不在直线 Re(s)=1 上"。这就更让人相信，
素数定理的证明必然要用到ζ函数以及高深的分析工具。
1921年，G.H.Hardy就曾经说过这样一段话："断言一个数学定理不能用某种方法证
明，这可能显得过于轻率；但有一件事（素数定理没有初等证明）却是清楚的。如果有
谁能给出素数定理的初等证明，那么他就将表明，我们过去关于数学中何谓';深刻';、何
谓';肤浅';的看法都是错误的。那时我们就不得不把书本都抛在一边，重写整个理论。"
Hardy逝世于1947年，他万万没有想到，就在他去世的两年后，两位年轻的数学家就
推翻了他以及整个数学界的断言，用完全"初等"的方法给出了素数定理的证明，进而导
致了整个素数理论的重写。
注：Jacques Salomon Hadamard，法国数学家，在数学的许多方面均有贡献，被誉
为Poincaré之后少有的多面手。
Charles Jean Gustave Nicolas Baron de la Vallée Poussin ，比利时数学
家，他是国际数学联盟（IMU）首任主席。
Norbert Wiener，美国数学家、哲学家，控制论的创立者，在调和分析、数学
物理、概率论、泛函分析、非线性数学、生理学等许多方面都有巨大贡献。1964年获美
国国家科学奖章。
－－28－－
我很同情非数学家，我觉得他们失去了一种最激动人心的、丰富的智力活动的回报
。
--Selberg
1949年，两位年轻的数学家，31岁的Selberg和35岁的Erdos分别独立地证明了素数
定理。与以往的证明不同的是，他们的证明没有用到ζ函数，而且除了极限、e^x和log
(x)的简单性质外，没有用到任何高等数学的知识，甚至连微分和积分都没有用到！可以
说，他们给出的是一个完全"初等"的证明，这一结果轰动了整个数学界。
（后来有人用 1 + x/1! + x^2/2! + … + x^N/N! 代替 e^x ，用 Σ 1/n 代替
log(x)，
n≤x
给出了一个连超越函数都不需要用的初等证明。）
在Erdos的一生中，尽管发表了1475篇论文，但像素数定理的初等证明这样具有划时
代意义的成果却很少。但Erdos对这件事却避而不谈，因为在这件事上颇有争议。
当时Selberg发现了一个恒等式，他把这个恒等式告诉了Erdos. 然后他们两人分别
独立地用这个恒等式给出了素数定理的初等证明。他们本来商量好在同一本杂志上一起
发表文章，讲述各自的工作。Erdos便到处给数学家发信，宣称他和Selberg已经给出了
素数定理的初等证明。但有一次，Selberg碰上一位陌生的数学家，对方开口就说："你
知道吗？Erdos和--和谁来着？--用初等方法证明了素数定理。"Selberg伤透了心，便抢
先发表了论文，并因此享有该成果的大部分权益。Selberg也从此与Erdos反目。
在数学家中，优先权的争论并不少见，最著名的就是Newton和Leibniz关于微积分发
明权的争论。但Erdos却具有罕见的坦荡胸怀，他愿意与别人分享他的数学思想，他的目
的并不是要第一个去证明某个问题，而只是使这个问题得到解决--不管是不是他解决的
。所以Erdos才能有创纪录的485名合作者。但我们不能指责Selberg心胸狭窄，因为即使
Newton或者Gauss这样的最伟大的数学家也会陷入优先权的争论之中。这只能说是一场悲
剧。
注：Atle Selberg，挪威裔美籍数学家，在数论、调和分析、离散子群、自守函数
等方面均有贡献。1950年获Fields奖，1986年获Wolf奖。1998年5月30日至6月15日应北
京大学的邀请到中国进行学术访问。
－－29－－
对于Erdos来说，被剥夺了旅行的权利就像是被剥夺了呼吸的权利一样。
--M.Henriksen
1954年，Erdos被邀请参加一个在阿姆斯特丹举行的学术会议，他于是便向美国移民
局申请再入境许可证。那时正是麦卡锡时代，美国处于一片红色恐惧之中。（以至于当
Erdos想往匈牙利--一个共产主义国家--打电话时，都没人敢把电话借给他。）
移民局的官员不想给Erdos发再入境许可证，便向他问了各种各样愚蠢的问题。
"你母亲是否对匈牙利政府有很大的影响？你读过马克思、恩格斯或者斯大林的著作
吗？"
"没有。"Erdos回答。
"你对马克思如何评价？"
"我没有资格评价他，但毫无疑问他是个伟人。"
"离开匈牙利容易吗？"--这是一句废话，因为谁都知道答案是否定的。
"不容易。我现在还不想访问匈牙利，因为我不知道他们是否会让我返回来，我只是
计划去英国和荷兰。"
"如果你能肯定匈牙利政府会让你离开，你会访问匈牙利吗？"
"那当然了，我母亲在那儿，还有好多朋友也在那儿。"
在麦卡锡时代，你是不可以承认你想去一个共产主义国家的。
－－30－－
我现在在澳大利亚，明天去匈牙利。设k为最大的整数以满足……
--一封典型的Erdos的信件的开头
移民局没有给Erdos再入境许可证。Erdos请了一名律师提出上诉，结果被驳回。法
院没有给出任何理由。他的律师被允许查阅部分Erdos的档案，发现其中附有一封Erdos
写给居住在红色中国的华罗庚的信："亲爱的华，设p是一个奇素数……"Erdos一年要写
1500封左右的信，基本上都在讨论数学问题。但移民局的官员显然害怕信中的那些他们
看不懂的数学符号是某种密码。
另外根据FBI的记录，Erdos还曾经涉嫌在一个雷达站附近从事间谍活动。所以他被
麦卡锡踢出美国是再正常不过的事了。
Erdos说："我没有取得再入境许可证便离开了美国。我想我这样做完全是按着美国
最优良的传统行事：你不能让自己任凭政府摆布。"
－－31－－
他是一个流浪的学者（wandering scholar）。他时常横跨五大洲。他效忠的是科学
的女王而不是任何特别地方或研究所。
--Rado谈Erdos
被赶出美国之后，Erdos发现自己已经没什么地方可去了：荷兰只给了他几个月的签
证，英国也差不多。西欧的各个国家都不愿意接纳一个对红色中国亲善的人。最后，以
色列接纳了他，给予他居住权，但他拒绝加入以色列国籍，并且保留自己的匈牙利护照
。
1955年，Erdos在密友们的多方奔走和呼吁下，终于得以访问匈牙利。匈牙利政府颁
发给他一个特别护照，证明他是匈牙利公民，但拥有以色列居住权。从此Erdos能够自由
出入匈牙利。他每年都要回去几次，看望母亲和朋友们。
但Erdos永远都不会安居在一个地方，他宣布自己是世界公民。他以惊人的速度穿梭
于各个大学和数学研究所之间。他的足迹踏遍五大洲，他在超过25个国家里进行数学研
究，在遥远的地方完成各种重要的论证，有时还在这些地方的不知名的杂志上发表自己
的成果。他曾经在六十年代初和八十年代中期两次访问中国。1990年，为 熳 柯召教授
八十 俪 暨执教六十周年，《四川大学学报》出了一本专辑。Erdos热情地写了一篇题为
《初等数论中的某些问题与成果--祝我的朋友和合作者柯召80寿辰》的论文发表在该专
辑上。
他的全部财产都装在一只破旧的小衣箱和一个在布达佩斯中心商场购买的土黄色塑
料包里。
流浪，流浪，这就是一个犹太人的宿命。
注：Richard Rado，德国数学家，后移居英国。主要研究组合数学。
柯召，中国数学家，研究方向为数论、组合数学、代数等。
－－32－－
Non numerantur sed ponderunter.
（不是看数，而是称重。）
--俗谚
在古代匈牙利的贵族院，统计选票不是看票数，而是称重量。Erdos经常会想象上帝
正拿着天平衡量他与同事们合著的论文。天平的一端放上他与已去世的同事合著的论文
，另一端放上他与仍在世的数学家合著的论文。"当亡者的那一端下沉的时候，我肯定也
要死了。"他这样说。
是的，每个人都会衰老，都会死去。所以Erdos以惊人的精力工作，--他害怕有一天
他再也不能思考。
即使在70多岁的时候，他还一年发表50多篇论文。
有人曾经写过一首打油诗：
有一个猜想的确深奥
圆是否是圆的有谁知道
在Erdos用库尔德语
写的一篇论文中
一个反例已经找到
当Erdos听到这首诗时，他想用库尔德语发表一篇论文，但却找不到库尔德语的数学
杂志。
－－33－－
他（Erdos）的工作节奏真是逼死人。
--Ralph Faudree
不知道那些有幸受到Erdos拜访的数学家们会有何感触，至少孟菲斯大学的Ralph F
audree是很不适应。他发现Erdos每天仅仅需要3个小时的睡眠，每天很早就起来写信--
都是有关数学的。他起来后，觉得别人也该起来工作了，就把电视打开，声音开得大大
的。他还会跑去敲Faudree的卧室的门："Ralph，你还活着吗？"吃饭的时候，他也会在
餐巾上写写画画或是不停地讨论数学问题。
Faudree后来回忆道："等他住上一两个星期后你都快要崩溃了，但就在他走后的几
天里，我还会不断收到他的电话：';证明完成了没有？你把它交给打字员了吗？';"
－－34－－
他（Erdos）一定是认为我有可取之处，因为后来连续10多年他每年都来路易斯维尔
找我，而且一呆就是一个星期。
--Michael Jacobson
1983年，Erdos第一次到路易斯维尔拜访Michael Jacobson. 那时Jacobson还没结婚
，于是就跟Erdos住在一起。他对Erdos的故事早有耳闻，已经作好准备与之一起拼命工
作，但情况显然远超过他的预料。
"头一天我们就工作到半夜1点，我已经精疲力竭，上楼睡觉去了。他呆在楼下的客
房里。凌晨4点半，我听到厨房有响声，他把锅碗瓢盆弄得一片响，那是在告诉我该起床
了。大约6点钟时，我跌跌撞撞地下了楼。你猜他说的第一句话是什么？不是';早上好！
';也不是';睡得好吗？';而是';设n是整数，k是……';我只穿了一件浴衣，半裸着身体，眼睛
还是半睁半闭， 壊壉