芝诺悖论的又一现代翻版

ouyanggeng

芝诺悖论的又一现代翻版
----调和级数悖论
欧 阳 耿
(漳州师院数学系，福建，363000)
摘  要: 通过发现芝诺悖论的又一个翻版-------调和级数悖论，再一次证明，在现有传统的有穷--无穷理论体系中，人们永远不可能解决芝诺通过悖论要求人们解决的问题，并且永远无法制止新的芝诺悖论翻版的产生。
关键词：芝诺悖论；数学危机；传统有穷--无穷理论体系；无穷小
中图分类号：011      文献标示码：A        文章编号：1006 – 432 X（2003）06 – 0017-04
中国古代哲学家称悖论“饰人之心，易人之意，能胜人之口，不能服人之心”。
科学家们通过悖论来提出问题。悖论是科学中基础理论缺陷的产物，是对科学理论体系的挑战，是对人类智力的挑战。研究悖论能使我们了解学科基础理论的缺陷，而解决悖论的最大意义是能帮我们解决学科基础理论的缺陷-----修改或重建某些基础理论，从而使科学研究朝着健康的方向发展。这是一种客观的需要
约公元前465年，埃利亚的芝诺著述了几个与无穷概念相关的悖论，导致了科学界的理论危机[1]。2500多年来，许许多多哲学家与数学家努力奋斗，力图解决芝诺那些与无穷概念相关的问题，但由于传统的有穷--无穷理论体系几千年来没有什么实质性的完善[2]，使芝诺悖论不仅不可能得到解决，反而还不时以不同的翻版出现在数学中，固执地向与无穷概念相关的数学内容发出一次次挑战，并且目标非常清楚-----直捣整座数学大厦的基础。人们到目前为止的所有努力都只能以失败告终-----时间在芝诺悖论面前凝固了！贝特兰﹒罗素清楚的看到了这一点，他在谈及芝诺悖论时写道：“经过谨慎的解释，似有可能再现芝诺的所谓‘悖论’，它们从提出之日起直到现在一直被人们所‘驳斥’。”
芝诺悖论不断以新的形式出现在科学中，形成一个庞大的“芝诺悖论家族”：第二次数学危机是芝诺悖论在300多年前的一种翻版所引起的[3~5]，而我们今天发现的调和级数悖论则是芝诺悖论的又一个很巧妙的翻版。
1．芝诺所著述的与无穷概念相关的悖论
芝诺这些悖论的原作没有流传下来，但亚里士多德在其著作中对此作了记录。我们将与调和级数悖论相关的两个悖论[1]摘引如下：
    a. 运动是不存在的。在跑完某一段距离的全程之前，竞赛者首先必须跑完这段距离的一半；在跑完全程的一半之前，又必须跑完一半的半，即全程的四分之一；在跑完全程的四分之一之前，又得跑完全程的八分之一；…… 如此递推，以至无穷，故运动不可能。
b. 阿基里斯追不上乌龟。阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，乌龟在前面跑，
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收稿日期：2003-06-20
作者简介：欧阳耿（1957—），男，福建省漳州市人，漳州师范学院副教授，从事数学悖论和数学基础理论研究．
他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯到达乌龟在某时所处的位置时，乌龟已向前移动一些；阿基里斯再到达乌龟的那个位置时，乌龟又往前跑了一段；…… 因此，无论阿基里斯到达乌龟曾处的哪个位置，乌龟都会在他前面。所以，无论阿基里斯跑得
多快，他永远追不上乌龟。
芝诺的这些悖论显然都与人们的生活经验、共识相悖。但问题是2400多年来人们一直无法真正认识
无穷概念的本质，无法真正认识与之相关的数量形式，必然无法回答芝诺通过悖论要人们所回答的问题。
据说，芝诺的一个学生曾抓来一只乌龟，让它在踞自己10步以外向前爬行，然后从后面追上乌龟，演示给芝诺看，想以此来证明阿基里斯完全可以追上乌龟。另一个叫爻布纳.希莫尼的学者编了一个既生动有趣、又中肯贴切的对话来评述芝诺悖论的荒谬：当一只饥饿凶猛的狮子从笼子里被放出来去追赶芝诺时，芝诺不慌不忙地一边慢跑一边告诉人家，这只狮子永远不可能跑到他身边。因为狮子首先必须到达他的出发点，当狮子到达他在某时所处的位置时，他已向前移动一些；狮子再到达他的那个位置时，他又往前跑了一段；…… 因此，无论狮子到达他曾处的哪个位置，他都会在狮子前面。所以，无论狮子跑得多快，它永远追不上他。从另一个角度说，这狮子在接近他时必须跑完全程的一半，在跑完全程的一半前又必须跑完全程的四分之一，在跑完全程的四分之一前又必须跑完程的八分之一，如此类推，以至无穷，狮子连一步都跨不出。但在他刚说完狮子无论如何永远没办法追上他的话音落下后不久，芝诺被这飞跑而至的狮子吞吃掉了。有的人认为象这样对芝诺悖论的解答是最生动、准确不过了。其实在数学上仅用现在初中生都懂的加和数列就可以轻而易举地告诉人们阿基里斯何时可追上乌龟。史料也表明芝诺当时未必不懂得这些简单的常识。但这类解答仅描述了事件的现象和结果，而芝诺要人们解答的是事件的可能性问题，要人们在理论上认识，解释与无穷概念相关的整个事件的过程。
2500多年前的芝诺以悖论的形式向人们发问：数学中与无穷概念相关的最小的数量形式是什么、有多大、该如何处理它们？由于这类问题一直无法得到解决，终于又爆发了另一次理论危机，以“微积分中的微增量dx是什么、有多大、该如何处理它们？”来重复2500多年前芝诺悖论所提出的问题，这就是众所周知的第二次数学危机。微积分的历史告诉我们，人们在求导数计算中可以不管dx有多大，想怎样去称呼那个dx，打算怎样去解析与dx相关的那一切数学行为都无所谓，反正按照那些公式如此这般去操作，保证能得出正确的结果。正如芝诺的学生满足于自己确实能从后面追上乌龟这样一件事实。但情况并不是这么简单！人们公认，第二次数学危机所关心的并不是求导数计算的结果如何，而是象芝诺悖论那样，关心的是人们该如何从理论上来认识与“无穷”相关的过程、与“无穷”相关的数量形式及其处理方式。由于现代科学中的无穷观在本质上仍然停留在芝诺时代的那种状态[2~10]，必然使现代数学中“与无穷概念有关的数量形式及其相关处理方式”的所有理论，不管用什么语言来表述，在芝诺悖论面前全部原形毕露！无论是在标准分析或非标准分析中，阿基里斯仍然追不上乌龟！所以，公元前465年时的芝诺悖论到如今仍然是芝诺悖论，且由于依然如故的合适的生存条件，使它在2500年中繁殖了许多后代。
2．芝诺悖论家族中的又一个新成员-------调和级数悖论
   Oresme于1360年左右在《欧几里德几何问题》小册子中给出了一个关于调和级数发散性的证明。我们可以在现有的，由任何语言所写的许多数学分析书中看到这个被公认的、很简单但却有着不寻常意义的证明（以下简称“原证”）。当然是现有的传统有穷--无穷理论体系及相关的极限论决定了这个证明的产生，使这个证明的整个思路、过程、结果在现有的理论体系框架中被当作共识所普遍接受。但我们的研究恰恰说明这个证明是2500年前芝诺悖论的又一个翻版。
调和级数是个无穷常减级数，Un 0 。级数中出现了人们常说的那种“无穷小”数量形式。在这证明中所暴露的问题仍然是芝诺在2500年前所问的完全相同的问题：无穷小究竟有多大？如何处理它们？
我们将Oresme的证明摘引如下：
                                            （1）
     =１＋ ＋（ ）＋．．．＋（ ．．．＋ ）＋．．．             （２）
     >1+ ( )+．．．+( +．．．＋ )+．．．                            （3）
     =1+   ．．．                                              （4）
   对这个证明有两种解析：
A. 对级数（1）加上无穷多个括号而得到一个新的，含有无穷多个大于1/2的数的正数项无穷常增级数（2）；然后，通过sn 的新级数（3）的发散性证得级数（1）发散。
B. 对级数（1）加上许多个括号而得sn ，在此，k大于任给正数，然后取极限，当n 时，k ，因此sn 而证得级数（1）发散。
   原证中的思路与做法是现有数学中传统的有穷--无穷概念体系和与之相关的极限论很彻底的表现。
   对于第一种解释，承认调和级数中的un 这一事实，原证中那种使用多项式加括号法则去处理调和级数中的无穷多个un 的数量形式而制造出无穷多个大于1/2的量的思路与做法不妥。这里我们发现了一个问题：如想对级数（1）加上无穷多个括号而制造出无穷多个大于1/2的量，就要求级数提供无穷多个被加的量，即需要n 。 但是当n 时，按定义，级数中必然出现无数以limun = 0,  lim un+1=0,．．．，limun+a=0．．．的形式所表现的那类数量形式。按照三代数学分析理论中处理X 0的数学内容的作法，我们应该将这些无限趋于0的数量形式从多项式运算式中赶走[3]，导致如此多项式运算的加括号法则失效，再也没办法制造出任何大于1/2的量了。所以，如此加括号法则仅能处理调和级数中的一部分数项而制造出许多个大于1/2的量，但却没有能力处理调和级数中的无穷数项而得到无穷多个大于1/2的量。
退一步说，如果有人想出一些理论，硬说原证中那种对实际情况不做任何分析而无限使用加括号法对调和级数进行处理的随心所欲的做法是允许的，我们只要改变原证中的加括号法则，依法炮制（如使式（2）中的每一项大于1或大于10或大于100……），就可以将调和级数变成任意的正数项无穷常增级数。这样，一个un 的无穷常减级数就可以用加括号法象变戏法一样将其改造成任意的un 的无穷常增级数，反之亦然！难道这样两种性质上有很大区别的无穷级数果然真的可以互相转化？这只能给原来的“无穷”、“无穷小”、“无穷大”概念再添上一层神秘的色彩。
对于第二种解释，我们承认可对级数（1）的有穷数项加上有穷多个括号而得sn ，但如果接下去说“要取极限”，而断言当n 时，k ，因此sn ，就错了。与第一种解析中同样的道理，因为当我们说n 时，实际上就同时承认了limun = 0,  limun+1=0,．．．，limun+a=0．．．这类事实的存在；与求导数过程中的微增量一样，它们本应该从多项式运算式中消失，而再也没有“原料”让那样的一种多项式加括号法去制造出任何大于1/2的数了。这决定k根本就不具备趋于 的条件，sn 的推论是完全没有根据的，是错误的！
我们目睹了一个活生生的现代芝诺悖论的翻版：阿基里斯就是这个证明中的多项式加括号法，而乌龟就是调和级数。尽管善跑的阿基里斯步伐又大又快，但是在理论上乌龟将永远在他的前面----尽管多项式加括号法可以很快处理掉调和级数中的许许多多数项，但理论上却永远有无数可用多项式加括号法则去处理的数项。所以那里的阿基里斯永远追不上乌龟，而这里的多项式运算可以得到无穷多个大于1/2的量。
在此，我们清楚地看到，在原证的整个证明中竟然可以完全不必分析级数中的un 是什么意思，该如何处理它们，为什么可以那样处理？比如说，能否象在求导数的运算中那样，对这些无穷小数项（或叫无限趋于0的量）过一道“ —δ”语言手续，或过一道“取标准数的手续”，而让它们都从多项式加法运算式中消失，使证明中的加括号多项式运算没有条件无穷地进行下去。是数学家把这些问题给忘了吗？不！问题的关键是：在传统的有穷--无穷理论体系中该在什么时候、对什么样的数学内容取极限，是毫无理论根据的。而更重要的是：从芝诺时代起一直到现在，“无穷”就是个很笼统的数学内容，人们根本无法明确地表现与无穷概念相关的各种数量形式，这必然使人们无法认识调和级数中的un 所表示的数学意义；该如何认识与处理这类与un 有关的无数数项，人们心里是无数的[6~7]。换句话说，以现有数学中传统的有穷、无穷理论体系和与之相关的极限论，谁也无法自圆其说：为什么在数学分析理论的求导数运算中，可以通过对dx取极限或取标准数的做法让无限趋于零的dx从多项式运算式中消失，而在调和级数中的lim un=0 ，limun+1=0,．．．，limun+a=0．．．却不该从多项式运算式中消失？谁也无法自圆其说：用那样一种加括号法则去处理调和级数，究竟能制造出多少个大于1/2的量-------有穷多个或无穷多个？当然，在现有的理论体系中，不管是哪种结论都会产生悖论。
3．结论
2500多年前，芝诺以悖论的形式向人们发问：无穷过程所产生的无穷小究竟是多大、该如何处理它们？而到了三百多年前的微积分时代，贝克莱又以“dx悖论”的形式再版芝诺悖论，重新向人们发问：与无穷概念相关的无限趋于0的量究竟是多大、该如何处理它们？今天，调和级数悖论所提出的问题还是：无穷调和级数中的un  数项究竟是多大、该如何处理它们？2500多年来，这个问题反复出现，不知要耗费人类多少心血。
2500多年的科学史告诉我们，人们在解决芝诺悖论上的工作思路是错误的：没有深入研究造成悖论的传统无穷观及相关数量体系的缺陷，没有从构造新的无穷观及相对应的数量体系下手。所以，不管如何努力，只能是徒劳。
挣脱现有的传统有穷--无穷理论体系缺陷的束缚，构造科学的、新的有穷--无穷理论体系及与之相对应的数量体系，才是彻底解决芝诺悖论、彻底解决所有芝诺悖论翻版，彻底解决第二、第三次数学危机的唯一途径[6~10]。
参考文献：
[1] F.N.麦吉尔主编.世界哲学宝库――世界225篇哲学名著述评（M）.《世界哲学宝库》编委会译.北京:中国广播电视出版社,1991.
[2] 欧阳耿.数学中实无穷与潜无穷的几个问题（J）.吉安师范专科学校学报（自然科学版）, 1998,19（6）: 26－28.
[3] 欧阳耿.数学分析中悬而未决的问题（J）.吉安师范专科学校学报（自然科学版）, 1995,16（5）: 29－34.
[4] 欧阳耿.重新认识第二次数学危机（J）.咯什师范学院学报（自然科学版）, 2002,23（3）: 82-86.
[5] 欧阳耿．数学基础理论中的两个缺陷 （J）.咯什师范学院学报（自然科学版）,2001,21（1）: 44-48.  
[6] 欧阳耿.数学中三种新的数量形式（J）. 咯什师范学院学报 2003,24（3）: 31-37.
[7 ] 欧阳耿.数学中的新数谱（J）.吉安师范专科学校学报（自然科学版）.1996, 17（5）: 7－10.
[8 ] 欧阳耿.现有集合论中一种神秘的错误（J）.西北大学学报（自然科学版）, 2000,30（4）: 8－11.
[9] 欧阳耿.重新认识第三次数学危机（J）.咯什师范学院学报（自然科学版）, 2000,20（2）: 69-72.
[10] 欧阳耿.罗素悖论与康托在集合论中的两个失误（J）.贵州师范大学学报（自然科学版）, 2002,20(3):81-84.

Another Modern Version of Zeno’s Paradox -----
the Paradox of Harmonious Series
OUYANG Geng
（Department of Mathematics, Zhangzhou Teacher’s College, Zhangzhou 363000, Fujian, China）
Abstract:   Another modern version of Zeno’s Paradox is discovered----- the Paradox of Harmonious Series. The conclusion is the problems raised by ancient Zeno’s Paradox will never be solved and the reproduction of Zeno’s Paradox will never be stopped under the present traditional finite-infinite theory.
Key words: Zeno’s Paradox; mathematical crisis; traditional finite-infinite theory; infinitesimal