数学中国

 找回密码
 注册
搜索
热搜: 活动 交友 discuz
楼主: 蔡家雄

由循环小数问题引发的新问题

[复制链接]
发表于 2018-5-30 18:19 | 显示全部楼层
提示: 作者被禁止或删除 内容自动屏蔽
发表于 2018-5-30 18:26 | 显示全部楼层
提示: 作者被禁止或删除 内容自动屏蔽
发表于 2018-5-30 18:28 | 显示全部楼层
提示: 作者被禁止或删除 内容自动屏蔽
发表于 2018-5-31 05:48 | 显示全部楼层
下载安装 pari/gp   (百度搜索下载及装法)
用该软件打开以下文档(复制以下代码到文本 abn.gp, 然后用鼠标右键点击该文件,选择用 gp 打开):

  1. \\ Given n, The following function is to find [a,b] such that a×a+b = n(a+b×b)

  2. abn(n)= {
  3.                 my(k=n);
  4.           my(nn=n*n);
  5.           while((mm=(1+n*(k*k-nn)))&&(m=floor(sqrt(mm))),
  6.                     if((k=k+2)&&(m*m==mm)&&((m+1)%(2*n)==0),
  7.                               return([(n+k-2)/2,(m+1)/(2*n)]))
  8.           );       
  9.           return([]);
  10. }
复制代码

仿照下截图打字 abn(123) 后按回车键记得对应于 123 的数对。



程序是我编的,n = 1234567 的结果我发此贴时还没有算出。

本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x

点评

谢谢 elim ,估计:一般地,最小的b: b <= n^2  发表于 2018-5-31 06:36
发表于 2018-5-31 09:04 | 显示全部楼层
下面列出的应该都是最小解

  1. Reading GPRC: E:\Academy\Pari\/gprc.txt ...Done.

  2.                   GP/PARI CALCULATOR Version 2.9.2 (released)
  3.            i686 running mingw (ix86/GMP-6.0.0 kernel) 32-bit version
  4.                  compiled: Mar 22 2017, gcc version 4.9.1 (GCC)
  5.                             threading engine: single
  6.                  (readline v6.2 enabled, extended help enabled)

  7.                      Copyright (C) 2000-2017 The PARI Group

  8. PARI/GP is free software, covered by the GNU General Public License,
  9. and comes WITHOUT ANY WARRANTY WHATSOEVER.

  10. Type ? for help, \q to quit.
  11. Type ?15 for how to get moral (and possibly technical) support.

  12. parisize = 4000000, primelimit = 500000
  13. (18:57) gp > list_abn(1,100)
  14.     1: [1, 1]
  15.     2: [5, 3]
  16.     3: [5, 2]
  17.     4: [10, 4]
  18.     5: [27, 11]
  19.     6: [69, 27]
  20.     7: [12, 3]
  21.     8: [38, 12]
  22.     9: [20, 5]
  23.    10: [103, 31]
  24.    11: [14, 2]
  25.    12: [335, 95]
  26.    13: [19, 3]
  27.    14: [1859, 495]
  28.    15: [147, 36]
  29.    16: [37, 7]
  30.    17: [293, 69]
  31.    18: [44, 8]
  32.    19: [54, 10]
  33.    20: [1043, 231]
  34.    21: [89, 17]
  35.    22: [50, 8]
  36.    23: [38, 5]
  37.    24: [404, 80]
  38.    25: [36, 4]
  39.    26: [33, 3]
  40.    27: [367, 68]
  41.    28: [263, 47]
  42.    29: [45, 5]
  43.    30: [77, 11]
  44.    31: [84, 12]
  45.    32: [147, 23]
  46.    33: [12350, 2147]
  47.    34: [129, 19]
  48.    35: [57, 6]
  49.    36: [1962, 324]
  50.    37: [49, 4]
  51.    38: [37665, 6107]
  52.    39: [109, 14]
  53.    40: [217, 31]
  54.    41: [42185, 6585]
  55.    42: [5225, 803]
  56.    43: [103, 12]
  57.    44: [1110, 164]
  58.    45: [119, 14]
  59.    46: [101, 11]
  60.    47: [65, 5]
  61.    48: [1770, 252]
  62.    49: [550, 75]
  63.    50: [2507, 351]
  64.    51: [88, 8]
  65.    52: [1180, 160]
  66.    53: [153, 17]
  67.    54: [9683509, 1317755]
  68.    55: [171, 19]
  69.    56: [122, 12]
  70.    57: [407, 50]
  71.    58: [214, 24]
  72.    59: [15699, 2040]
  73.    60: [44577, 5751]
  74.    61: [80, 5]
  75.    62: [191015, 24255]
  76.    63: [170, 17]
  77.    64: [8224, 1024]
  78.    65: [4233, 521]
  79.    66: [218139, 26847]
  80.    67: [75, 3]
  81.    68: [300, 32]
  82.    69: [5265595, 633899]
  83.    70: [2244, 264]
  84.    71: [3246, 381]
  85.    72: [16455, 1935]
  86.    73: [270, 27]
  87.    74: [855, 95]
  88.    75: [40273, 4646]
  89.    76: [118600, 13600]
  90.    77: [1250, 138]
  91.    78: [174793, 19787]
  92.    79: [170, 14]
  93.    80: [5192, 576]
  94.    81: [101, 5]
  95.    82: [6733, 739]
  96.    83: [264, 24]
  97.    84: [230, 20]
  98.    85: [12913, 1396]
  99.    86: [297, 27]
  100.    87: [138, 9]
  101.    88: [123, 7]
  102.    89: [22276589, 2361309]
  103.    90: [26333, 2771]
  104.    91: [307, 27]
  105.    92: [197, 15]
  106.    93: [1089, 108]
  107.    94: [824, 80]
  108.    95: [780, 75]
  109.    96: [34527, 3519]
  110.    97: [2649, 264]
  111.    98: [1505, 147]
  112.    99: [8109, 810]
  113.   100: [114, 4]
  114. (18:58) gp >
复制代码

点评

谢谢 elim !!!  发表于 2018-5-31 09:08
发表于 2018-5-31 13:13 | 显示全部楼层
  1. (22:12) gp > list_abn(101,200)
  2.   101: [10211, 1011]
  3.   102: [649, 59]
  4.   103: [4294, 418]
  5.   104: [222410, 21804]
  6.   105: [145262, 14171]
  7.   106: [226, 16]
  8.   107: [152, 8]
  9.   108: [299, 23]
  10.   109: [3020, 284]
  11.   110: [40109, 3819]
  12.   111: [1121, 101]
  13.   112: [34927, 3295]
  14.   113: [665, 57]
  15.   114: [1969, 179]
  16.   115: [1935, 175]
  17.   116: [450, 36]
  18.   117: [344385, 31833]
  19.   118: [164, 8]
  20.   119: [6005, 545]
  21.   120: [12110, 1100]
  22.   121: [150, 6]
  23.   122: [14895, 1343]
  24.   123: [7570, 677]
  25.   124: [5129, 455]
  26.   125: [231, 14]
  27.   126: [257373, 22923]
  28.   127: [2690, 233]
  29.   128: [2780, 240]
  30.   129: [335404, 29525]
  31.   130: [1879, 159]
  32.   131: [695484, 60759]
  33.   132: [850, 68]
  34.   133: [220, 12]
  35.   134: [58224, 5024]
  36.   135: [212, 11]
  37.   136: [5841, 495]
  38.   137: [290, 18]
  39.   138: [257183, 21887]
  40.   139: [304, 19]
  41.   140: [1208, 96]
  42.   141: [1075494, 90567]
  43.   142: [1122, 88]
  44.   143: [17435, 1452]
  45.   144: [62280, 5184]
  46.   145: [21037, 1741]
  47.   146: [372, 24]
  48.   147: [1173020, 96743]
  49.   148: [22264, 1824]
  50.   149: [920, 69]
  51.   150: [305955, 24975]
  52.   151: [181, 6]
  53.   152: [176970, 14348]
  54.   153: [26349, 2124]
  55.   154: [325, 19]
  56.   155: [177003, 14211]
  57.   156: [6261, 495]
  58.   157: [685, 48]
  59.   158: [675, 47]
  60.   159: [765, 54]
  61.   160: [2295, 175]
  62.   161: [19299851, 1521035]
  63.   162: [562583502, 44200728]
  64.   163: [185, 5]
  65.   164: [589075205, 45999039]
  66.   165: [464, 29]
  67.   166: [8020, 616]
  68.   167: [12102, 930]
  69.   168: [24348, 1872]
  70.   169: [6715, 510]
  71.   170: [28913, 2211]
  72.   171: [14627, 1112]
  73.   172: [362, 20]
  74.   173: [216332055, 16447415]
  75.   174: [314846685, 23868459]
  76.   175: [5922, 441]
  77.   176: [4427, 327]
  78.   177: [407, 23]
  79.   178: [630, 40]
  80.   179: [49445, 3689]
  81.   180: [4020169, 299639]
  82.   181: [1694, 119]
  83.   182: [114425, 8475]
  84.   183: [468, 27]
  85.   184: [19354, 1420]
  86.   185: [458, 26]
  87.   186: [44649, 3267]
  88.   187: [157422, 11505]
  89.   188: [28929, 2103]
  90.   189: [494394, 35955]
  91.   190: [1972, 136]
  92.   191: [275, 11]
  93.   192: [1563930, 112860]
  94.   193: [784, 49]
  95.   194: [6390929, 458835]
  96.   195: [514, 29]
  97.   196: [134554, 9604]
  98.   197: [572, 33]
  99.   198: [560, 32]
  100.   199: [13205, 929]
  101.   200: [1701908, 120336]
  102. (23:10) gp >
复制代码
发表于 2018-6-1 09:33 | 显示全部楼层
蔡家雄 发表于 2018-5-31 17:52
可能:有一个 n < 10000 ,

但对应的b和a都大于10^10000,

数学研发网的 mathe 证明了王守恩这个猜想。好像不是很难。但从 n 求 a,b 不能靠存在性定理。仍然没有什么好办法。数论问题都这样。

点评

谢谢elim!正整数的相应问题的确是不简单的!  发表于 2018-6-1 10:03
发表于 2018-6-1 10:49 | 显示全部楼层
202: [1993602325, 140269363]
发表于 2018-6-1 11:12 | 显示全部楼层
elim 发表于 2018-6-1 10:49
202: [1993602325, 140269363]


谢谢elim!我还是想问:
已知循环节=001004009016025036049064081100121144...
而且知道分数是1001000/997002999
但是不知道这是怎么来的?是渐近分数?  

发表于 2018-6-1 11:51 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2018-5-31 20:12
谢谢elim!我还是想问:
已知循环节=001004009016025036049064081100121144...
而且知道分数是100100 ...

这个循环节巨长((百万还打不住),所以分数决定了循环小数,分数就是乱凑来的。也可以从已知的“repunit' 分解而构造出来。http://www.worldofnumbers.com/repunits.htm

在那个网上找到 能被 (3^7)(37^3)整除的最小的各位数码都是 1的正整数 (10^s-1)/9,它的 1 的个数 s 就是所论循环小数的循环节长。

点评

谢谢elim!  发表于 2018-6-1 12:25
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

Archiver|手机版|小黑屋|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )

GMT+8, 2024-3-28 18:42 , Processed in 0.093750 second(s), 15 queries .

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2020, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表