为什么四个连续正整数的乘积不可能是一个完全平方数？

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为什么四个连续正整数的乘积不可能是一个完全平方数？

原创 邵勇老师 数学教学研究 2024 年 11 月 04 日 09:40 北京

设这四个连续正整数分别为 n，n+1，n+2，n+3（n 为大于 0 的正整数）。于是

    n(n+1)(n+2)(n+3)

  = n(n+3)(n+1)(n+2)

  = (n^2+3n)(n^2+3n+2)

  = (n^2+3n+1-1)(n^2+3n+1+1)

  = (n^2+3n+1)^2 - 1

考虑完全平方数 (n^2+3n+1)^2 。与它相邻且比它小的完全平方数一定是 (n^2+3n)^2 ，而

     (n^2+3n+1)^2 - 1

  = (n^2+3n)^2 + (2n^2+6n) ＞ (n^2+3n)^2

所以 (n^2+3n+1)^2 - 1 介于这两个完全平方数之间，即

(n^2+3n)^2 ＜ (n^2+3n+1)^2 -1 ＜ (n^2+3n+1)^2

而两个连续完全平方数之间不可能再有完全平方数，所以四个连续正整数的乘积不是完全平方数，证毕。

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显然，两个连续正自然数至多有一个是平方数，
且m+1=n（n+1）（n+2）（n+3）+1
=（n^2+3n+1）^2，故m不可能是平方数。