S,T 是线性映射，证：rk(ST)≤rk(S)，ST 的零空间的维数≤S 与 T 的零空间的维数之和

wilsony

谁能证明？

luyuanhong

luyuanhong

luyuanhong

wilsony

陆老师，有个概念问题想搞清楚。设线性映射S,T对应的线性变换矩阵分别为B，A，
与线性映射ST对应的线性变换矩阵为什么是AB，而不是BA，是不是因为变换矩阵
是右乘于映射作用的行向量，不是左乘列向量？

wilsony

陆老师您看到我的留言了吗？

luyuanhong

首先，有一点是肯定的：

如果 S 是从向量空间 V1 到 V2 的线性映射，与 S 对应的线性变换矩阵是 B ；

T 是从向量空间 V2 到 V3 的线性映射，与 T 对应的线性变换矩阵是 A 。

那么，先作一次线性映射 S ，再作一次线性映射 T ，这样一个从 V1 到 V2 再到 V3

的复合线性映射，它对应的线性变换矩阵就是 AB 。

现在关键的问题是：

这样先做一次线性映射 S ，再作一次线性映射 T 的复合线性映射，应该怎样表示？

我记得过去看到的一本书上说，这种先 S 后 T 的复合线性映射的表示方法是 ST 。

在上面的帖子中，我就是这样理解 ST 的，所以才有上面帖子中这样的解答。

但是，刚才我又在网上搜寻了一下，看到有些网上文章中说：

这样先做一次线性映射 S ，再作一次线性映射 T 的复合线性映射，应该表示为 TS 。

不知道你看到的书上是怎么定义的？

如果你看到的书上也是按照 TS 定义的，那么我上面帖子中的字母表示就应该反一反。

当然这只不过是字母表示的改变，并不会影响实质的证明。

wilsony

先做一次线性映射 S ，相当于用变换矩阵B左乘列向量
再作一次线性映射 T 的复合线性映射，相当于再用变换矩阵A左乘前面变换得到的列向量是吗？
ST是从左至右相继进行变换是吗？
多谢陆老师！