Why complex number matter ？（进阶数学：不得不用复数的理由）

luyuanhong

Why complex number matter ？（进阶数学：不得不用复数的理由）

原创 Phoniex fan Mathciaga 2024 年 09 月 20 日 13:00 江苏



1494 年，帕乔利（达芬奇的老师）发表了《Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalita》，在书中他断言到，三次方程是一个无法求解的问题，无法用现代科学解决，显然以你的知识储备可以吊打当时世界顶尖的数学家了。现在假设你和帕乔利来一场穿越时空的对话，你能赢他吗？


交作业了！芬奇！



第一次看到这个公式的时候，be like : “这是人推导出来的？”

这么复杂的公式，你一定很好奇是怎么来的！



你别说，你还真别说，u,v 满足这两个条件，代入进去确实是方程的解（之一）。



费罗为什么会这么做？马克卡茨说，数学家分为普通天才和魔术天才，普通天才的做的工作你只要跟着做一遍就明白他的逻辑，而对于魔术天才，他的思想完全就是一个黑箱，即使你知道他所有的工作，你完全也不会理解他为什么会这么做，费罗属于后者。



当费罗发现了这个求解的方法之后，他并没有告诉别人，在那个年代，有一种工作叫“赏金数学家”，通过进行数学比赛获胜来获得奖金（给我学！）。

后来，另一个数学家卡丹（Gerolamo Cardano 但不知道推导过程）听说有人在比赛中解决了一个三次方程的事情之后，软磨硬泡，求爷爷告奶奶终于得到了这个公式，并且把这个公式推广到了一般情况，原理也是类似：





到这估计很多人还没反应过来，现在事情闹大了！

也就是说，有可能你在求解一个实根的过程中，发现对负数进行开根号，如果你认为负数无法开根号，就无法得到最终的解。

但是最终的解确实是存在的，就像一个三次方程，它有一个实数根，但是代入求根公式的时候发现不得不处理这个 imaginary number 。

卡丹的追随者邦贝利的发现，卡丹公式为 x 给出的奇怪表达式是实数，但以一种非常反常的方式表达。

邦贝利在他的《代数学》（Algebra）中所写，“这在许多人看来是一个狂野的想法；而我在很长一段时间里也是这种看法。整个问题似乎依赖于诡辩而非真理。然而，我寻找了很久，直到我最终证明确实如此。”

以下是他的做法:



大约在邦贝利解释了卡丹公式如何在所有情况下都有效，包括所有根为实数的不可约情况下的一百年后，戈特弗里德·莱布尼茨（Gottfried Leibniz, 1646–1716）仍然认为这个问题悬而未决。因为莱布尼茨被认为曾研究过邦贝利的《代数学》（Algebra），但他仍然认为卡丹公式还有需要补充的地方。他是一位天才，但这事发生在他大约二十五岁时，“莱布尼茨对当时现代数学几乎没有任何实际的掌握。”

那时，莱布尼茨刚刚遇到了伟大的荷兰物理学家和数学家克里斯蒂安·惠更斯（Christian Huygens, 1629–95），并与他开始了终生的通信。在 1673 年至 1675 年之间写给惠更斯的一封信中，莱布尼茨开始重新讨论邦贝利早已做过的事情。在这封信中，他传达了他著名的（尽管令人有些失望的）结果：



对此，莱布尼茨后来宣称：“我不记得在所有分析中有过比这更奇特和矛盾的事实；因为我认为我是第一个将虚数形式的不合理根化为实数值的人……”当然，这实际上是邦贝利在一个世纪前就已经做到的。

当虚数 √-1 首次在高中生中引入时，一般这么说：“实数方程方程 x^2+1=0 导致了虚数 i（以及 -i）的发现”,这样的解释简单易记，但正如你现在所知，它不正确。当早期的数学家们遇到像 x^2+1=0 这样的二次方程和其他此类二次方程时，他们只是耸耸肩说这些是“不可能”的。他们当然没有为此找到解决方案。对于 √-1 的突破不是来自二次方程，而是来自那些显然具有实根但卡丹公式为其产生虚数形式解的三次方程。

所以，无论是你，还是莱布尼茨，都很困惑，Just do it ！

Phoniex fan