牛顿是怎样攀登数学高峰的？

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牛顿是怎样攀登数学高峰的？

作者：赵振江，中国科学院大学

来源：国家数学与交叉科学中心

著名的科学史学家柯恩（I. B. Cohen，1914-2003）认为牛顿（Isaac Newton，1642-1727）的思想和人格对于任何历史学家都是挑战。牛顿是一个奇特的孤独的人物，他的行为来自什么根源，甚至他的同时代人也不知道。作为柯恩见解的一个例证，牛顿的同时代人、第一部微积分学专著的作者洛必达侯爵（Marquis de L'Hopital，1661-1704）曾任真地询问见过牛顿的人：牛顿是否像普通人那样吃饭、喝水、休息？

对于牛顿的难以理解，他的权威传记《永不止息》（Never at Rest，Cambridge University Press，1980）的作者韦斯特福尔教授（R.S.Westfall，1924-1996）最有发言权，因为他潜心 20 年为牛顿立传。他感到“我研究牛顿愈多，觉得他离我愈远。对各个时代我都知道一些杰出的人物，这是我的长处，在智力上他们毫无疑问高于我。然而，我从来没有遇到一个对他我不想衡量自己的人，因此这样说似乎是合理的：我的才能是此人的一半，或三分之一，或四分之一，无论如何是一个有限分数。研究牛顿的最后结果使我相信，对于他，没有测度。就我来说，牛顿是完全不同的，他是决定人类智力范畴的少数几个超天才之一，一个最终没能简化到依我们理解同类的标准，依约翰逊（Samuel Johnson，1709-1782）的类似环境，能理解的人。”要知道，说这话的人是印第安纳大学的杰出教授，国际上研究牛顿的权威。

相比较而言，我更喜欢数学家塞蒙斯（G. F. Simmons）对牛顿的评价：“大多数人都知道牛顿的名字和声誉…但是，他以磅礴之势做出如此重大贡献之际，实际上几乎创立了现代物理科学，从而对文明生活方向影响之深远，超过一些国家的兴衰存亡，知悉这一点的人就不那么多了。凡是有资格做出判断的人，都一致认为他是人类所曾出现的极少数几个超天才之一…牛顿出生于英国伍尔索普（Woolsthorpe）村的农家。他早年的生活世人所知极少，他在剑桥大学求学时在外表上似乎也并不崭露头角。1665 年伦敦发生瘟疫，大学被迫关闭，牛顿回到乡下家中，一直住到 1667 年。在这乡村幽居的两年之中，22 岁到 24 岁的牛顿天才横溢，风华正茂，源源不竭做出了人类思想史上无与伦比的发现：指数为负数和分数的二项式级数；微分学和积分学…”

言归正传，让我们看看牛顿是怎样攀登数学高峰的。

1661 年，牛顿进入剑桥大学三一学院读书。在这一年，他购买的书籍与诗歌（《两首诗，伊利亚特和奥德赛》（Proemata duo， Ilias et Odyssea））、宗教（《新约详注》（Annotationes maiores in Novum Dn. Nostri Iesu Christi Testamentum））、语言（《人名，民族名正字字典》（Dictionarium nominum properiorum virorum， mulierum， populorum…））和逻辑学（《逻辑学纲要》（Logicae artis compendium））有关，似乎自然科学和数学还没有进入他的视线。

1663 年，在斯陶尔布里奇的集市上，牛顿购买了欧几里得（Euclid）的《几何原本》（Elements），但并未重视。是年剑桥大学设立卢卡斯数学讲座教授（Lucasian Professor of Mathematics）职位。这是自英王亨利八世（Henry VIII，1491-1547，1509-1547 在位）于 1540 年在剑桥大学设立五个钦命讲座教授席位以来，设立的第一个与科学有关的教职。巴罗（Isaac Barrow，1630-1677）首任此职。次年 6 月前后，牛顿开始阅读笛卡尔（Rene Descartes，1596-1650）的《几何学》（La Géométrie）及奥特雷德（William Oughtred，1574-1660）的《数学之钥》（Clavis Mathematicae），并做了注记。牛顿研究学问除做实验外，大多是从读书做笔记入手的，而且进展神速。圣诞节前不久，他购买笛卡尔的《几何学》，并借阅沃利斯（John Wallis，1616-1703）的数学著作。1664-1665 年冬季，他就从沃利斯的《无穷的算术》（Arithmetica Infinitorum）中推导出他的二项式定理。这是他在数学上的第一个重大成果，当时他不过 23 岁。

1665 年 2 月 20 日，牛顿开始研究曲率。5 月，写了第一篇关于流数的论文。11 月他研究微分。可能就是在这一年，他用级数法求几个数的对数到五十五位。1666 年 5 月，牛顿开始研究积分法（逆流数法）。14 日和 16 日，他分别写了一篇论文。在 16 日完成的论文中，他断言“为了通过运动解决问题，如下的六个命题既充分又必要。” 10 月，他又写了一篇论文，该文现称《1666 年十月的流数论文》（The October 1666 tract of fulxions），是历史上第一篇系统的微积分学文献。用了两年稍多一点的时间，牛顿成了当时欧洲乃至全世界最伟大的数学家，登上了数学的高峰。

1669 年 7 月，由于麦卡托（Nicolus Mercator，1620-1687）前一年出版了小册子《对数技术》（Logarithmotechnia），为了申明自己结果的普遍性和优先权，牛顿撰写了论文《论运用无穷多项方程的分析学》（De Analysis per Aequationes Numero Terminorum Infinitas）。文中他导出了 sin，cos，arcsin 和 arctan 的级数展式。10 月 29 日，牛顿当选为卢卡斯数学讲座教授，开始了他 35 年的教授生涯。按规定，卢卡斯数学讲座教授应在每年的三个学期的每周宣读并阐释“部分几何学、天文学、地理学、光学、静力学，或是其它某些数学原理。”

攀上数学高峰的牛顿，“一览众山小”。1676 年 6 月 13 日，牛顿写信给伦敦皇家学会秘书奥尔登堡（Henry Oldenburg，1619？-1677） ，由他转致德意志数学家莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646-1716），这就是微积分发明之争中重要的《前书》（Epistola Prior）。在信中牛顿以石破天惊之口宣称：“从这里能看到分析学的范围被无穷方程扩大到这种程度：我几乎可以说，事实上通过它们的帮助，分析学能用于所有的问题（丢番图（Diophantus）的数值问题和类似的问题除外）。”在整个数学史上，牛顿的话前无古人，后无来者！

赵振江 中国科学院数学与系统科学研究院 2024 年 10 月 03 日 19：15 北京