探秘黄金比例：解锁隐藏在自然与数学中的神秘美学

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探秘黄金比例：解锁隐藏在自然与数学中的神秘美学

原创 围城里的猫 MathSpark 2024 年 08 月 17 日 07:31 陕西

公元前 300 年左右，欧几里得在其《几何原本》中提到了黄金比例，不过也有一些资料表明人们可能在更早之前就已知道黄金比例。

抽象来说，如果两个量之间的比率等于它们之和与其中最大值之间的比率，那么我们可以说这两个量符合黄金比率。用 a,b 表示两个数字（其中 a＞b），如果 a,b 满足下面等式，则 a,b 符合黄金比率：



如果你喜欢可视化的话，可以用下面的图来表示：



第一个矩形的面积为 a×b ，第二个矩形的面积为 (a+b)×a 。如果 a/b 是黄金比例，那么这两个矩形将相似（从数学意义上讲，形状相同但尺寸不一定相同）。我们称此矩形为黄金矩形。注意，大矩形是由小矩形加上正方形形成的。只有当原始矩形的边符合黄金比例时，这两个矩形才会相似。

黄金分割率的值是多少？

看看较小的矩形，黄金比例的值等于长边除以短边（按照惯例，我们这样做是为了得到大于 1 的值）。我们称该比率为 φ（希腊字母 phi）：

但是我们如何确定这个值呢？我们知道大一点的矩形是同样的形状，但是它的边长是 a+b 和 a ，所以我们可以用不同的方式来写黄金比例：

为了找到 φ 的值，我们需要以某种方式消除未知的 a 和 b 。这里可以使用一个简单的技巧，将分子和分母同时除以 b ：

然后利用 a/b 等于 φ 的事实来获得仅取决于 φ 的方程：

化简一下得到一个二次方程：

应用二次方程的求根公式可以得到两个可能的解决方案：

但第二个解是负值，所以丢弃，因为矩形的边长比当然总是正值。这给了我们 φ 的值：


黄金比例是无理数

有趣的是，黄金比例是一个无理数。我们可以通过重新排列上面的公式来证明这一点：

如果 φ 是有理数，那么 2φ - 1 也是有理数。但由于 5 的平方根是无理数，所以 2φ - 1 必定是无理数。因此，φ 必定是无理数。

黄金比例的起源

黄金比例出现在几何学的各个领域，这也是它最早被研究的地方。一个特殊的例子是正五边形。任何对角线（例如 AD）与任何边（例如 AB）之间的比率是黄金比率：



左侧显示的是正五边形。任何正多边形都是内接的（可以围成一个圆），如图所示。五边形（AB 等）每边的长度为 b ，两个不相邻顶点（AD 等）之间的任何对角线的长度我们称之为 a 。

如果我们忽略顶点 E ，我们将得到一个内接于同一圆的圆内四边形。请注意，这个四边形有三条边长为 b ，一条边长为 a 。这时托勒密定理可以派上用场。

在数学中，托勒密定理是欧几里得几何学中的一个关于四边形的定理。托勒密定理指出凸四边形两组对边乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四边形为圆内接四边形，两组和相同。或退化为直线以取得（这时也称为欧拉定理）。狭义的托勒密定理也可以叙述为：若且仅若圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆。托勒密定理实际上也可以看做一种判定圆内接四边形的方法。

用公式表为：

我们知道 AB、BC 和 CD 是边，所以长度为 b 。另外，AC、BD 和 AD 是长度为 a 的对角线。因此，上一个等式变为：

如果我们除以 b 平方然后简化，可以得到：

我们试图找到 a 与 b 的比率。我们称此比率为 r 。我们可以用 r 替换 a/b ：

这与我们之前看到的 φ 方程相同，所以这个方程有相同的解。这就证明 a 与 b 的比率实际上是 φ 。

φ 的逆

如果我们使用计算器求 φ 的倒数，我们会得到一个有趣的结果：

φ 的倒数的小数部分与 φ 本身相同！这当然可以从数学上来解释，请看下式：

重新整理后可得：

当然，从 φ 中减去 1 不会改变小数部分。

黄金比例的幂

φ 的幂也有其独特的模式。让我们从几个明显的事实开始：

这是因为任何非零数的 0 次方都是 1 ，而 1 次方是其本身。我们之前也有 φ 平方的表达式：

现在我们看一下 φ 立方。当然，这等于 φ 乘以 φ 平方，我们已经有了 φ 平方的表达式。这使我们能够写出：

化简一下可得出：

对 φ 重复此操作的四次方可得出：

现在有一个清晰的模式：

这对于所有 n 都是正确的。通过归纳法很容易证明，大家可以自己试一下。

与斐波那契数列的联系

回想一下，斐波那契数列为 0、1、1、2、3、5、8、13、… 其中序列中的每个数字都是前两个数字的总和。换句话说，第 n 个斐波那契数列（从 0 开始编号）是：

现在我们可以用斐波那契数的形式来写出 φ 的一次幂，如下所示：

注意，这依赖于 F0=0 且 F1=1 的事实。起初看起来有点奇怪，不过让我们继续，我们也可以像这样写 φ 平方：

这是可行的，因为 F1 和 F2 都等于 1 。现在让我们看一下 φ 立方，使用之前的等式：

这次，我们可以用之前涉及斐波那契数的结果来代替这两个 φ 项：

根据斐波那契数列的定义，我们知道 F1+F0=F2 ，而 F2+F1=F3 ，因为每个斐波那契数都是前两个斐波那契数的总和。所以我们可以将其写成：

不难看出这种模式可以推广到求 φ 的 n 次方。同样可以通过归纳法来证明，

因此，φ 的 n 次方等于 φ 的整数倍加上另一个整数，其中两个整数都是连续的斐波那契数。

黄金螺旋

在文章的开头，我们展示了如何将一个黄金矩形转换为更大的黄金矩形，只需在它上面添加一个正方形即可。

当然，这种事情可以重复很多次。如果我们重复此操作八次，就会得到以下结果。下图显示了最小矩形和所有中间矩形，直到我们得到最大的矩形。每个新矩形都是通过向较小的矩形添加一个正方形而形成的，正方形被添加到导致逆时针旋转的一侧：

如果我们在每个黄金矩形的正方形部分的角上画一条平滑的曲线，我们就会得到一个对数螺旋，在上图中以红色显示。

将其与下面的斐波那契螺旋线进行比较。这看起来非常相似，但有细微的差别。首先矩形不是黄金矩形。相反，第一个矩形由两个正方形组成，每个正方形的边长为 1 。下一个矩形增加了一个边长为 2 的正方形，下一个增加了一个边长为 3 的正方形，然后是 5、8、13 和 21 —— 每个边长都是一个斐波那契数。

为什么这看起来这么像黄金螺旋？好吧，如果我们用斐波那契数 n+1 项除以斐波那契数 n 项 ，我们就会得到一个线索。对于较大的 n ，这个比率越来越接近 φ ：

这意味着，远离中心，两个螺旋的形状几乎相同。

概括

黄金比例差不多有两千多年的历史了，但在数学的各个角落都有着其身影，它也十分简单，也正因为如此，数学家对它一直有很浓厚的兴趣。



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