在数学的征途上

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在数学的征途上



胡和生｜撰文

寒来暑往韶华过，春华秋实梦依在。2017 年 6 月 20 日是我的九十岁生日，我的朋友们、学生们提议和协助我，编撰了这本文集。

这本文集包含了两个部分：九篇是我的生平记述，对母校、老师的纪念等。另有五十多篇是我自 1953 年起发表的部分学术论文，涉及微分几何、数学物理等研究领域。

20 世纪 50 年代初，我开始微分几何研究，最初研究仿射联络空间的几何学。我将苏联几何学家 Norden 的共轭仿射联络对推广为多个共轭联络，并证明了几个定理，完成了我的第一篇论文。这篇论文后来发表在《数学学报》，得到 Norden 的重视和肯定。

在这之后，我对于理解黎曼流形的等距同构群做了许多工作。文化大革命使我的科研一度中断，后来杨振宁教授访问复旦大学。在他的鼓励下，我开始对 Yang-Mills 场的理论进行研究，取得了一些很有意思的结果，特别是关于有限能量或者缓增能量条件下 Schwarzschild 黑洞背景中的 Yang-Mills 场。之后，我把相当部分的精力用于研究 Darboux 变换和 Backlund 变换在孤子解构造的应用上。

女儿当自强

我出生于一个艺术的家庭，祖父胡郯卿是很有名的画家，是自学成才的。父亲胡伯翔成名很早，国画自成一家，将西方画法融入国画之中，很有创新，他又是中国摄影艺术的最初倡导者之一。他们都是依靠自己的艰苦奋斗而成为社会精英的。我家有兄弟姐妹七人，女孩五人，我居中。父亲时常教育我们要爱国，要学好本事，有一技之长立足社会，要有奋斗自强的精神，不断进步，取得成功。

在小学里，我各门功课成绩优秀，老师们称赞我聪明好学，很喜欢我。五年级时，日本侵略中国，抗战期间，国家遭受浩劫。在南京，祖父家中珍藏的古画及本人珍品被日寇抢劫一空，差一点丢了性命。祖父在南京享有盛名，为了躲避日伪对他的拉拢与迫害，他逃到了上海和我们住在一起，隐居起来，不再对外作画。当时有些日本人和汉奸要父亲为他们作画，父亲拒绝了，并停止出售作品。祖父与父亲这种爱国行为给我留下深刻的印象。

在我六年级时，大姐肺结核病重，肺部双侧均有空洞，入医院手术，并切除了四根肋骨，为她治病，家产花尽。那时上海孤岛，粮食短缺，米价很贵，我跟二姐常到粮店去排长队挤买碎米、苞米面。由于营养严重不足，原来身体就瘦弱的我，变得更为体弱多病。接着，我考进了著名的清心女中，学校离家远，我坚持每天快步行走近半小时上学。夏季雷雨天和台风之后，马路上常常积满了水，几乎到达膝盖，就趟水过去；冬季脚后跟冻疮严重溃烂，我忍痛拖着鞋去上学。当时我求学的决心很大，从不缺课，这种艰难条件更锻炼了我的意志。

高中时期，太平洋战争已经爆发了，上海市区租界变为日寇的占领地，随时传来日军横行霸道残害中国同胞的消息。我们到校读书，也常面临日军戒严、交通断绝的威胁，我就读的是女子中学，尤其感到紧张。我家在环龙路（现在南昌路）沿马路，对面法国总会（现在的科学会堂）也被日本侵略军占用，他们站在平台上，就可看到我家，我们非常害怕，白天黑夜都拉着窗帘，生怕被日军看到我们家里有好几个女孩子，真是心惊肉跳地过日子。这些都使我认识到，国家不富强，就要受欺侮，人民要遭殃，我长大一定要为国出力，为国效劳。我很快就接受了“科学救国”的思想，立志努力读书，报效祖国。

踏上数学之路

中学毕业后，我选择数学作为自己的专业方向，先后在上海交通大学数学系和大夏大学数理系学习，得到老师们很好的训练。大学毕业时，上海已经解放，老师推荐我到同济大学担任助教，但我还想继续读书，投考研究生，北京大学和浙江大学都录取了我，父母担心我从小体弱多病，不能适应北方的气候，又听说浙大苏步青教授是几何学大家，于是我就到浙大报到。

一到浙大，就为那里浓厚的学术空气所感染，系里老师除了认真教学外，还提倡科学研究，许多教师都有自己的研究方向，力求在数学上有所创造，经常出论文。这一片学术繁荣情景我从来未曾见到过。

苏先生是有名的严师，那学期他招了三名研究生。我们一进校，他马上为我们开设讨论班，要我们读书和做报告，并安排我做第一个报告。我认真做了准备，在讨论班上仔仔细细地报告了书中的内容，对苏先生的提问都能正确回答，苏先生那张严肃的面孔也泛起了笑容，称赞我“讲得很好”。我听说过苏先生对学生很严，总爱挑报告中各种各样的毛病，这次我能顺利过关，感到很高兴。苏先生看到我读书理解深入，经得起他的提问，便要我读国外数学刊物上最新发表的论文，有英文的，有德文的，后来还有俄文的，往往很长，从二三十页到上百页都有，内容有关高维欧氏空间的子流形方面，特别是关于超曲面的变形理论。当时没有复印机，单单抄下来也得花许多时间，在这样的重压下，我感到只有硬拼。我体力差，白天工作之后到晚上就没有力气了，只好先睡觉，到半夜里再起来接着读。凭着数学的推理和反复体会，把论文读懂，也从中享受了读书的苦与乐，对数学的兴趣进一步增强了。由于学习的工作量很大，使我不得不抓紧时间加倍努力，又因为总有一些干扰来影响自己，我当时为自己制订了16字的座右铭“专心致志，刻苦钻研，持之以恒，不受干扰”，天天要看一遍。

苏先生的严格要求，使我懂得做学问的人必须具备的素质。为了对我进一步培养，1951年暑假前，苏先生与中国科学院联系，把我收为中国科学院的研究实习员，因而我多了一重身份，也有了一份收入，又和中国科学院数学研究所有了正式的联系。苏先生帮我制订每一年度的研究计划，要我每季度写季度工作报告，寄到北京。当时华罗庚先生担任数学研究所所长，他仔细审阅了我的报告。这种写季度报告的方式，帮助我有效地克服惰性，增强了我的责任感，我受益匪浅。

1952 年院系调整，我随苏先生到了复旦大学，苏先生在这里开始了重新创业的奋斗，我也开始在微分几何的研究中，获得一系列的成果。我最初研究仿射联络空间的几何学，其中第一篇论文是将苏联几何学家诺尔琴的共轭仿射联络对推广为 n 个共轭联络，这篇论文交给苏先生后，他很高兴，仔细地看了我的稿子，在进行了一些文字修改后，很快就把它推荐到《数学学报》发表，陈建功先生知道后鼓励我说“你有了第一篇，就会有第二篇、第三篇……”，文章发表后得到诺尔琴的重视和肯定，在苏联《数学评论》作了详细介绍。接着我又较快地得出仿射联络空间方面的一些成果，写成两篇论文。后来我研究高维欧氏空间与常曲率空间中超曲面的变形理论、常曲率流形的结构等问题，发表了十多篇论文，这些工作改进了著名几何学家E。Cartan ，T. Y. Thomas 和 苏联通讯院士 Yanenko 的研究成果。陈省身教授在美国的《数学评论》中介绍了我的成果。由于做出了一系列评价相当好的成果，在 1956 年我被评为中国科学院数学研究所的先进工作者，这是数学所的第一次评奖活动，华罗庚教授很重视，亲自写信给我表示祝贺和鼓励。苏步青教授的指导，陈建功、华罗庚、陈省身等老一辈大数学家的鼓励，使我很受感动，信心越来越足，决心在数学研究的道路上继续奋斗，一定要向更高的目标前进。

坚强自信，力克困难

紧接着 1957 年的“反右运动”，1958 年开始的一股否定与批判基础研究的“左”倾思潮干扰了数学界，复旦数学系陈建功先生与我两人成为批判对象。什么“理论脱离实际”、“英才教育”等帽子向我们头上抛来，来势之凶猛令人难以置信。由于大家对 1957 年“反右运动”记忆犹新，十分恐惧，都吓得不敢与我讲话了，只有陈建功先生偷偷地对我说“彼此彼此”。我相信自己选定的、从事基础数学研究和教学的事业是正确的，是国家所需要的。遭批判我感到很委屈，但在压力面前我不灰心、不退缩，以更加积极、更加进取的态度来对待科研。说我理论脱离实际，我就努力去学习实际知识，学习了弹性力学、量子力学及广义相对论等方面的知识。在下工厂解决实际问题时，我得到了锻炼，做出了成绩，并且和原子能系的几位教师合作，开展了群论和核谱的研究。在这段时间里，我坚持数学基础理论的研究，我又学习齐性空间几何学和群表示论，完成了黎曼空间运动群空隙性的研究，意大利著名数学家 Fubini 在 1903 年首先发现了黎曼流形运动群的参数数目有空隙，提出空隙性问题，引起了很大的重视，成为当时几何方面的一个热门的重要课题，20 世纪 40 年代至 60 年代王宪钟、Yano（日）、Vrancenu（罗）、Teleman（罗）、Egorov（苏）、Wakakuwa（日）等人都投入了对这个问题的研究，虽有很多进展，但不理想，他们确定了第一、第二空隙，但第二空隙是在空间维数大于 248 时才能得到证明。1959 年至 1966 年间，我研究齐性空间微分几何理论，深入钻研探讨迷向群与运动群之间的关系，并通过对正交群及其子群的研究，确定了正交群的最大不可约子群的维数，经过复杂的论证和计算，得到确定所有空隙的一般方法，同时也确定了有关的黎曼度量，解决了这个持续六十多年的重要问题。苏先生十分高兴，在会上称赞说这是别开生面的工作，远远超越了前人。十多年后，改革开放，著名美籍日本几何学家 Kobayashi 来华参加国际会议，一见面就说起我的这项工作，赞扬我的这项成果。由于日本几何学家当时也在研究这个热门问题，我的这项工作给日本数学家留下深刻的印象。从 1983 年起直到 21 世纪初，我多次访日，日本数学家还继续多次提到这项成果。这一段经历使我深深感到，把困难与挫折视为机遇对待，是走向成功之路。四十年后的今天，我回忆起这段往事，仍然激动不已。在困难和挫折面前，一定要坚强自信，一定要继续艰苦奋斗，发扬拼搏精神。只有这样，才能不会被困难所压倒，才能把自己的工作推向新的高度。使我感到非常惋惜的是，当我的科研教学正处于黄金时期，“文化大革命”象暴风骤雨那样席卷而来，进一步迈向高峰的征途被堵死了。不断地受批判，不断地劳动，研究工作已经无法进行了，但我并未失去信心，我相信科学的春天终究会来临。

继续奋斗，走向世界

到了 1974 年，还在“文革”期间，杨振宁教授访问上海，建议和复旦大学的教师开展与规范场有关的数学问题的研究，成立了一个科研小组，谷超豪是组长，成员都是数学与物理方面的精干，我是研究组成员之一。

合作持续了几年，是卓有成效的，得到很有意义的成果，完成了一系列的合作论文，我也作了实质性的贡献。这时“文革”已经结束，改革开放的划时代变革开始了，这使我获得了无穷动力，快马加鞭，决心追回失去的年华。那时国际交流的环境开始形成，要用国际水平来衡量我们的工作，这又是新的挑战，当时所完成的关于规范场方面的一系列工作，有一部分是走在当时国际前列的，为国际学术界所重视，面临这样的形势，我只有努力拼搏，赶快跟上世界潮流，把失去的时间抓回来。我感到自己数学生涯中的第二个春天也将来临。

我在有质量规范场、引力场中规范场的静态解和规范场的团块现象等方面创造性的研究成果在国际交流中受到注目。例如 1979 年去美国访问时，我的关于有质量规范场的研究就很快地引起重视。我深入探讨了静态解的存在性问题，发现质量 m＝0 和 m≠0 两种情况的重大差异，因而发现了质量 m→0 时的不连续性。对这一事实，美国著名物理学家 S. Deser 在他本人发表的论文和给杨振宁的信中称“胡是第一个给出了经典场论中质量 m→0 时不连续性的显式事例”，“成果十分有意义”。接着我又进一步发展了这方面的研究，就 YangMills 场的团块现象和黑洞外 YangMills 场是否存在的问题，进行了深入的研究，得到了法国科学院院士 Lichnerowicz 和 Choquet Bruhat 的高度赞赏，多次请我到国际学术会议作特邀报告，又多次请我到法兰西学院作学术演讲。1983 年中国数学家派出了以苏步青教授为首，由王元和我组成的代表团，去参加日本数学会年会，王元和我在会上作了特邀学术报告。随后我又多次到法、德、意、瑞、日等国进行研究和讲学活动，并十多次在国际学术会议上作大会特邀报告，1990 年还作为中国数学会代表团三位成员之一到日本首次正式参加世界数学联盟代表大会，会后又参加世界数学家大会。这段时期前后我担任过中国数学会副理事长、上海数学会理事长和《中国数学学报》副主编，1991 年我被选为中国科学院院士。

新的困难又向我袭来，1995 年我因患结肠癌在中山医院进行手术，著名外科专家王承培教授成功地为我做了手术，我的冷静、坚强和自信性格，使我较快地恢复健康。

过了一年多，我又投入到紧张的科研和教学工作中，在可积系统与微分几何方面取得了新的进展。从 20 世纪 80 年代开始，我把现代的孤立子理论和微分几何联系起来，发展了孤立子理论中的 Darboux 变换方法，并应用于调和映照和线汇论等方面的研究中去，给出了 Minkowski 空间伪球线汇的分类及构作等，特别是在最近五年，建立起射影空间的 Laplace 序列和 Toda 方程之间的联系，并给出求解方法及实例，又得到有关 Laplace 序列的嵌入性定理，还和同事们合作给出复射影空间的 Laplace 序列成为调和序列的充要条件，并给出第一个周期性调和映照序列的实例，等等。这方面的研究先后应邀在法国、日本的国际会议上作大会报告，受到很高评价，又在德国、中国香港地区等地讲学访问。2000 年我应邀请出席了法国科学院院士大会，Choquet 院士在会上将我介绍给全体院士，介绍了我的学术成就，赞扬我在规范场及可积系统方面做了在物理上和数学上都极有意义的工作。

2002 年，我荣幸地得到世界妇女数学组织的邀请，在四年一次的世界数学家大会（2002 ，北京）作艾米·诺特讲座（一小时），报告中包括了我当年获得的最新成果。这个讲座是为纪念世界伟大女数学家艾米·诺特的，从 1994 年起，每四年请一位女数学家作学术演讲，能在世界数学家大会上作诺特报告，是我很大的荣誉。

2003 年，我当选为第三世界科学院院士，又获得何梁何利“科学与技术进步奖”。

从成为浙大研究生起，我就已开始做一些对工农干部和大学生的教学工作，到了复旦以后，虽然我长期属于中国科学院和复旦的科研编制，但一直从事几何方面的教学工作，开大学生的基础课、专门课程和讨论班，指导毕业论文，从帮助苏先生指导高年级学生和研究生，到后来自己招收研究生，一直到现在。 20 世纪 50 年代后期起，苏先生的行政工作和社会活动一直非常繁忙，我就努力地为他分担教学任务，他对我很放心，也很放手。这样，我的教学工作就一直很繁重，贯穿到我的整个生活。我对教学工作是非常热爱的，觉得将自己学到的知识教给青年一代的工作是最为重要、最为有意义的，尤其是将难的内容教懂学生时，我感到十分快乐。我努力把教学和科研结合起来，尽可能地把自己学到的、在研究的新的重要内容和前沿的内容教给学生。我努力去了解学生的情况，全面地关心他们，并在教学上根据他们的情况和能力对他们提出不同的要求，并就如何改进学习方法进行有针对性的指导，这就使不同程度的学生都能很快进步，大家说我能做到因材施教。我还把优秀的学生推荐到国外高水平的学府去深造，有好几位已经有相当高的国际声誉。在国内的几何学界，也有我的一批好学生在努力工作，成为教学和研究的骨干。近年来我的研究生中有三位获得国家优秀博士论文奖。一面从事科研工作，一面又承担繁重的教学，当然很艰苦，运动一来，还要受委屈，但我始终忠诚于教育事业，坚持自己认为正确的方向，作不懈的努力。

回顾自己从事数学工作的历程，我深深地感到，要取得成就，就必须有长期奋斗的决心，就必须不断学习，深入思考，刻苦钻研，持之以恒。在人生的道路上也必然会遇到各种挫折和困难，这时就需要目光远大，有勇气面对困难，坚持正确的方向，化困难为机遇，并以此作为继续前进的动力。

岁月在流逝，时代在前进，我为自己能生活在祖国正在腾飞，人民生活不断地改善的时代而感到十分高兴。 我也为自己能为祖国的建设事业竭尽绵薄之力而自豪。目前我已进入高龄时期，我将努力保持自己的朝气，继续发扬自强不息的精神，为数学学科的发展，为青年优秀人才的成长再贡献一份力量。

本文选自《数学家的智慧——胡和生文集》（上海教育出版社，2017 年）。

来源：数学大院

胡和生 数学大院 2024 年 08 月 24 日 18:00 北京