I 是 ΔABC 内心，AI 延长与 ΔABC 外接圆交于 D，AB=3，AC=4，SΔIBC=SΔDBC，求 BC

kids20082008

I是△ABC的內心，AI的延长线与△ABC的外接圆相交于D。设AB=3，AC=4，△IBC的面积与△DBC的面积相等，求BC长。

liangchuxu

问一下，三角形的中心是四心中的哪个心？

kids20082008

liangchuxu 发表于 2024-9-21 14:12
问一下，三角形的中心是四心中的哪个心？

找到原题目, 是内心

王守恩

\(∠CBD=∠BCD,=>BD=CD\)

\(\frac{S_{△BCD}}{S_{△BCA}}=\frac{1}{3}=\frac{BD*BD\sin(A)}{3*4\sin(A)}=>BD=2\)

\(BC^2=3^2+4^2-2*3*4\cos(A)=2^2+2^2+2*2*2\cos(A)=>BC=\frac{7}{2}\)

王守恩

还简单些。记AD,BC交点为O,OD=x,OA=3x,OB=3y,OC=4y

1 x*3 x = 3 y*4 y,   (1+3) x*(3+4) y = 2*3 + 2*4

{{x -> 1, y -> 1/2}}

王守恩

这样也不是不可以。(看似复杂, 实质简单, 手工可以有的)

\(三角形\ ABC\ 面积=\frac{\sqrt{4*4^2BC^2-(4^2+BC^2-3^2)^2}}{4}=3*\frac{\sqrt{4*2^2BC^2-(2^2+BC^2-2^2)^2}}{4}\)

详见帖子《[欣赏]“海伦－秦九韶公式”拓展》

\(三角形\ 3\ 边为\ a,b,c,\ 三角形面积=\frac{\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}}{4}\)

kids20082008

王守恩 发表于 2024-9-22 12:15
\(∠CBD=∠BCD,=>BD=CD\)

\(\frac{S_{△BCD}}{S_{△BCA}}=\frac{1}{3}=\frac{BD*BD\sin(A)}{3*4\sin(A)} ...

为什么这两个三角形的面积比是1:3?  可以对这个多写一些吗? 谢谢!

王守恩

谢谢 kids20082008T 提醒！前面的错啦！

一开始并不能知道这两个三角形的面积比是1:3。

记AD,BC交点为O,OD=OI,  ∠CBD=∠BCD,=>BD=CD。

\(\frac{S_{△BCD}}{S_{△BCA}}=\frac{BC}{3+4+BC}=\frac{BD^2}{3*4},\frac{(3*BC/7) (4*BC/7)}{OD*(OD + 7*OD/BC)} =\frac{ BD*3 + BD*4}{
BC*(2*OD + 7*OD/BC) }= 1\)

这样也不是不可以。

\(\frac{S_{△BCD}}{S_{△BCA}}=\frac{BC}{3+4+BC}=\frac{BD^2}{3*4} =\frac{\sqrt{4*BD^2 BC^2 - (BD^2 + BC^2 - BD^2)^2}}{\sqrt{4*4^2 BC^2 - (4^2 + BC^2 - 3^2)^2}}\)

BC=(3+4)/2。根据BC=(3+4)/2, 这两个三角形的面积比还真是1:3。

BC=(3+4)/2。3,4 可以变化，可就是这两个三角形的面积比=1:3不会变化！

kids20082008

王守恩 发表于 2024-9-23 13:53
谢谢 kids20082008T 提醒！前面的错啦！

一开始并不能知道这两个三角形的面积比是1:3。

感谢你, 我再研究看看~

王守恩

kids20082008 发表于 2024-9-21 19:29
找到原题目, 是内心

找到原题目, 是内心。有解答吗？谢谢！