立体几何题：已知 O 为正四面体 ABCD 外接球的球心，求 ∠AOB

中国上海市

已知O为正四面体ABCD外接球的球心，求∠AOB

波斯猫猫

题：已知O为正四面体ABCD外接球的球心，求∠AOB.

思路：设正四面体ABCD外接正方体（此时，O亦为该正方体外接球的球心）

的棱长为1，显然AB=√2，OA=OB=√3/2=r(外接球的半径).

由余弦定理易得cos∠AOB=-1/3，故∠AOB=π-arccos(1/3).

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∠AOB到底是锐角还是钝角

波斯猫猫

题：已知O为正四面体ABCD外接球的球心，求∠AOB.

另一思路：设半径是1的球O的内接正方体V的内接正四面体为ABCD，

则OA=OB=1，且AB=2√2/√3.由余弦定理易得cos∠AOB=-1/3，

故∠AOB=π-arccos(1/3).

ataorj

1 做出体中心和一个底面中心，然后研究其中一些平面图形性质，得出
∠AOB=π-2arcctg(√2)
约=109.47°
经验算，和∠AOB=π-arccos(1/3)等价。
2 猫猫解法的难点也许在于如何理解外接正方体8个顶点上。
正四面体M的4个顶点分为2组，每组都连成线段，则两个线段是空间上相互垂直的，让M绕这个垂直轴旋转90°，就得到正方体其余4个顶点了。

ataorj

补充和更正
1 补充，这个没有更正。这是我的解题示意：
不知何故，手机和PC都不能上传图片
放弃。
关键是：
2 更正，总感觉我上一贴对猫猫解法的理解不太对劲，好像结果成90度了。
就画了个正方体并且对角线等等，发现当时真是错的理解。
图片无法上传，放弃。

ataorj

两个图片
         

ataorj

F为BD中点
(PC取消影子卫士的影子模式后再试图片正常了)

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这个解答近乎完美，其实这个题目是一个结构化学的题目，甲烷或四氯化碳的分子模型为正四面体，其中碳原子位于正四面体的正中心，而氢原子或氯原子则位于正四面体的四个顶点，关键的信息是其碳氢键或碳氯键的键角为109°28’，但因为是正四面体，所以这个键角其实是可以通过数学方法来计算的

波斯猫猫

由于正四面体，正方体和球的特殊关系，用正方体做桥梁，不用作辅助线，是最优选择。