“数学之王”传奇：有数字的地方就有欧拉

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“数学之王”传奇：有数字的地方就有欧拉

原创 关注全球科研的 科学方程式 2024 年 06 月 19 日 17:11 北京

“走，去柏林。”

1741 年 6 月 19 日，初夏的圣彼得堡乍暖还寒，接到柏林普鲁士腓特烈大帝亲笔邀请信的莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler），终于下定决心，携家人一道启程前往柏林。这一去，就是 25 年，欧拉将其数学生涯中最辉煌的一段时间留在了日耳曼的国度中。

回顾欧拉的一生，虽然他生于瑞士，但其学术生涯是从圣彼得堡全面开始，进而在柏林成就了一代数学大师的地位，暮年他重返圣彼得堡，并最终长眠于此。

两百年多后的今天，当我们再次审视腓特烈大帝的那次“挖人才”行为，发现他不仅为柏林科学院请来了“数学担当”，更成就了一名数学天才向科学巨匠的华丽转变。那一天，不仅对欧拉个人意义重大，也影响了整个科学界的发展。

01  巴塞尔：数学天才的成长之路

1707 年 4 月 , 瑞士巴塞尔城一个牧师家庭欣喜地迎来了一名小男孩，曾在巴塞尔大学就读的父亲为其取名为：莱昂哈德·欧拉。

9 岁的欧拉就开始阅读牛顿著名的《自然哲学的数学原理》，十岁时，欧拉自学《代数学》。13 岁时他考入名校巴塞尔大学主修哲学和法律，成为不折不扣的“少年大学生“，年轻的他还偷偷跑去听数学课。

当时主讲数学的老师是约翰·伯努利（Johann Bernoulli），发现欧拉的数学天赋后约定每周单独给他上数学课。时间一长，约翰·伯努利就问欧拉，你数学这么好，为啥不来数学系呢？受到鼓励后的欧拉立即师从约翰·伯努利学习数学。


伯努利家族是当时世界著名的数学世家

欧拉是大学里年龄最小的学生，还是升级最快的学生，1726 年就获得硕士学位，同年欧拉发表《论桅杆配置的船舶问题》引起学术界的关注，并因此获得当时世界学术中心——巴黎学院的资助。

他异于常人的智慧，令人叹服的记忆力，不仅帮助他在数学领域一飞冲天，更为后来全领域的科学探索奠定了坚实的基石。

02  圣彼得堡：辉煌数学之旅的开端

在 18 世纪，欧洲许多国家非常重视科学和人才的作用。1725 年，俄国成立皇家科学院（即圣彼得堡科学院），彼得大帝不惜重金聘请全世界优秀的科研人才加入。此时，约翰·伯努利的两个儿子都加入了圣彼得堡科学院，其中丹尼尔·伯努利也向欧拉伸出橄榄枝，邀请他到俄国皇家科学院工作。

1727 年，年仅 20 岁的欧拉带着对数学的无限热爱离开瑞士踏上了前往俄国的行程，在圣彼得堡，欧拉辉煌的数学之旅正式开启。

在圣彼得堡的 14 年间，欧拉发表的多篇数学论文都在数学界都引起了极大震动，其中对巴塞尔问题（Basel Problem）、哥尼斯堡七桥问题的研究更是让其名声大噪。

巴塞尔问题的精妙解法

意大利数学家彼得罗·门戈利于 1650 年提出巴塞尔问题，这个问题难倒了上百位数学家。1734 年，欧拉给出了巴塞尔问题的精妙解法，让他由此享誉整个欧洲。

巴塞尔问题是求自然数的平方倒数之和的精确值：



欧拉的独到见解是将 sinc(πx) 函数写成了根式解的形式，并将有限多项式的观察推广到无穷级数，由此推导出巴塞尔问题的准确值是 π^2/6 。



图论、拓扑学、欧拉乘积公式等创新

1735 年，欧拉以其惊人的才智，用时三天计算出一个曾困扰天文学家数月的难题——彗星轨道的计算。接下来一年，欧拉发表了论文《哥尼斯堡的七座桥》，从而开创了数学的一个新分支：图论和几何拓扑。那一年，欧拉年仅 29 岁。

一直到 1737 年，欧拉创新的步伐并未停歇，发表欧拉乘积公式，其对数论、复变函数以及素数分布、黎曼 ζ 函数等领域产生了深远的影响。



1735 年，欧拉为协助地理所编制当时俄国的第一张全境地图，投入了极大精力和细致专注，以至于连续多日的劳累使他高烧不退，最终导致右眼失明。

03  柏林篇章：最美公式铸就数学传奇

尽管在圣彼得堡的成就蒸蒸日上，但俄国内部的权力之争愈演愈烈，此时已结婚生子的欧拉，为避免打压和迫害，内心萌生了离开彼得堡的想法。

受普鲁士国王腓特烈大帝的邀请，1741 年 6 月 19 日，34 岁的欧拉携带家人跨越国界来到柏林科学院，开启了学术生涯的新篇章。25 年的柏林岁月里，欧拉用他近 400 篇论文奠定了其最伟大数学家之一的地位。

1748 年，欧拉出版了一生中影响最大的两本数学专著，一本是关于函数的《无穷小分析引论》。

该书给出了著名的极限公式：



当 n 趋向于无穷大时，e 就是一个非常重要的数学常数，大约等于 2.71828……

而复变函数论里的欧拉公式



更是在微积分教程中占据了重要地位。这个公式把微积分的三个极为重要的函数联系在了一起，这些函数成为后代学者们研究了几百年的课题。



另一本则是更为著名的《微分学原理》。在这本书里，欧拉用形式化方法把微积分从几何中解放出来，使其建立在算术化与代数的基础之上，对函数及微分学发展做出极为重要的贡献：

1）给出了基于量的代数关系下的函数的新定义，并引进现在普遍使用的函数符号；

2）提出代数函数与超越函数的概念，定了多元函数，并对显函数和隐函数，单值函数与多值函数进行区分；

3）建立了三角函数与指数函数之间的关系；

4）首创了对数函数 logx 与 e 的现代讲法，并发现 logx 是无穷多值；

5）提出二阶偏导数的演算，给出了  成立的条件；

6）研究二元函数极值，给出了全微分的可积条件；

7）区分了函数的增量与函数的微分；

8）把导数作为微积分的基本概念。

由于理念过于超前，欧拉在柏林出版的这些书籍长期以来被作为欧洲学院数学的必学教材。

欧拉发明并在这些书中使用的符号——圆周率的符号 π 、函数符号 f(x) 、以及三角学符号 sin 、cos 、tg 等等，成为了全世界通用的数学符号。这或许连欧拉本人都没有想到。

除了出版这两本名著，欧拉在柏林最“出圈”的科学研究成果则是其于 1748 年提出的“欧拉恒等式”。

欧拉恒等式将数学中几个看似不相关的常数——自然对数底 e 、圆周率 π 、虚数单位 i 、以及整数 1 和 0 ，以一种令人难以置信的简洁方式联系起来，它以一种几乎魔法般的方式，将数学中最基本的常数编织在一起，揭示了宇宙秩序的内在和谐。这样简短的公式蕴含了深刻的意义，展示了数学结构的精妙和谐。欧拉恒等式被公布以来，人们丝毫不吝惜溢美之词，将“上帝赐予的公式”、“人类最美丽的公式”这些赞美送给了欧拉。



除了具有简洁的形式之美外，欧拉恒等式还为数论和数学分析之间搭建了桥梁，从而使微积分等工具能够应用于数论的研究领域。这让欧拉成为解析数论的重要奠基人之一。1859 年，著名数学家高斯的学生黎曼将欧拉恒等式推广到复数，并提出了黎曼 ζ 函数零点分布的猜想（黎曼猜想），至今仍是数学界未解的重大难题之一。

04  重返圣彼得堡：暮年的辉煌与遗产

岁月流转，1762 年俄国新女皇叶卡捷琳娜二世继位，她非常仰慕欧拉的学术成就。1766 年，年逾 60 的欧拉应叶卡捷琳娜二世之邀重返寒冷的圣彼得堡。尽管视力日渐衰退，他对数学以及物理等多个学科的研究反而愈发勤奋与深刻。

在重返圣彼得堡不久后，欧拉彻底失明，但他凭借超强的记忆力和心算能力，用口述的方式继续以平均每周一篇的速度发表论文。

在 1768 年到 1770 年之间，欧拉发表了他人生中最重要三本书的最后一本《积分学原理》。他把前人的发现加以总结并注入自己的见解，书中包含了欧拉对于积分数学的深度研究内容，还展示了他在常微分方程和偏微分方程理论方面的众多发现。后世数学家评论，《积分学原理》的出版标志着欧拉将牛顿和莱布尼茨发明的微积分方法，推向了新的高度。

欧拉出版《无穷分析引论》（1748）、《微分学》（1755）和《积分学》（共三卷，1768-1770）三本书，堪称微积分发展史上里程碑式的著作，在很长时间内一直被作为分析课本的典范在全世界使用。

与在柏林不断地发表原创性成果不同，欧拉第二次返回圣彼得堡后，还凭借一己之力改变了俄国落后的数学研究状况。欧拉在俄国的 31 年里，还为俄国编写了初等数学教程，帮助改革度量衡制度，设计计算税率、年金和养老保险等的公式，他为俄罗斯数学的全面崛起奠定了坚实的基础。在欧拉离世 80 年后，圣彼得堡科学院竟然还在出版他撰写的论文。

1911 年，彼得堡科学院开始整理出版欧拉的著作《欧拉全集》，这是对这位数学巨人学术遗产的全面梳理。目前已出版 80 余卷，还尚未完成此项任务。这个耗费了将近一个世纪时间的庞大的出版项目，充分证明了欧拉与生俱来的过人数学天赋。

05  欧拉已逝，精神永存：数学可以让生活更美好

1783 年 9 月 18 日，欧拉一边喝着茶，一边给小孙女讲解天王星运算轨道的数学计算。突然之间，烟斗从他手中掉了下来。他说了一句“我死了”，随即欧拉“停止了生命和计算”，人们在悲痛中与这位伟大的数学巨匠告别。

回顾欧拉光辉的一生，他不仅用自己的天赋和勤奋，将数学在理论上推向了新的高度，更用自己实际行动证明了“数学可以让生活更美好。”他用数学设计轮船，启动了波浪动力学。他用数学研究耳朵，探索声波的秘密。他用数学来测量，整合了平面测量学。他用数学算渠道断面，开启了应用流体力学。他用数学来算保险，精准货币，产生了计量经济学。他又用数学算老鹰的飞翔，建立了航空动力学。

欧拉已逝，精神永存。站在欧拉的肩膀上，欧洲又相继诞生了高斯、拉格朗日等伟大的数学巨匠，他们用手中的笔，剥开“数学王国”的重重迷雾，引导人类孜孜以求地从自然的不确定性中找寻确定性，人类迎来了数学的“黄金时代”。

有数字的地方就有欧拉。



参考资料：

https://towardsdatascience.com/on-the-beauty-of-math-f2453be9db84

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