19 世纪的数学（三）

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19 世纪的数学（三）

原创 白鹤 数学和 AI Teach 2024-05-02 23:57 北京

       牛顿说不应将极限概念基于两个量消失之前的比，对于这一观点我们可能会赞同，但他所说的两个量消失之后的比到底是什么意思呢？牛顿考虑的似乎是当分子和分母刚好同时成为零时的瞬间比。可是在那一瞬间，分数 0/0 是无意义的。牛顿陷入了逻辑困境。作为数学定义，没有什么意义。



       莱布尼茨尝试通过对“无穷小量”的讨论来探索极限的问题，而不同于牛顿的“极比”思想。他将无穷小量描述为小于任意有限量但不是零的量，类似于数学中的不可再分的原子。然而，这种描述引发了哲学上的问题，使得莱布尼茨陷入困境，他不得不做出晦涩的解释：当我们谈论无穷小量时（即据我们所知是最小的），它可以被看做是…无限小…这就足够了…如果有人想将这些（无穷小）理解为最终的东西…那也可以…不过他们会觉得这样的东西是完全不可能的；一个足够简单的办法就是把它们当作利于计算的工具使用，就像代数保留虚根一样有极大好处。

      在这里，除了看到莱布尼茨反对复数的偏见外，还可以看到他对数学概念的含糊不清感到焦虑。显然，这种描述并没有消除极限概念中的困惑。数学家们不安，受到贝克莱大主教的攻击。他嘲笑那些批评神学基础的数学家，指出微积分的逻辑脆弱。贝克莱称数学观点是虚幻信仰，质疑他们对神学的过度神经过敏。更刻薄的是，他将微积分基础称为“消失量的幽灵”，令数学家们焦躁不安。

      数学家们面临贝克莱大主教的攻击，推动了对微积分基础的重新审视。他们开始研究极限理论，这是一个复杂而令人费解的概念。但在 1821 年，柯西给出了一个简明的定义：当变量逐渐趋近于一个固定值时，如果它与该值的差可以无限小，那么该值就是其他值的极限。

      柯西的定义避免了使用模糊不清的术语，如“无穷小”，也避免了对变量达到极限时瞬间的假设。相反，他只要求我们能够让变量的值与某一固定值的差越来越小，这样，那个固定值就是该变量的极限。柯西的定义绕开了关于达到极限时具体发生了什么的哲学难题，而专注于澄清极限的概念本身。

       柯西的定义对微积分的影响深远，为数学家们提供了证明重要定理的基础。然而，即使在柯西的陈述中，也存在需要精细推敲的地方。首先，他对变量“趋近”极限的概念有些模糊。其次，术语“无限”需要更清晰的定义。最后，柯西的定义过于文字描述，需要更简洁明了的数学符号表达。

      柯西的定义对微积分影响深远，为数学家们提供了重要定理的基础。然而，柯西的陈述中存在一些需要精细推敲的地方。首先，他对变量“趋近”极限的概念有些模糊。其次，术语“无限”需要更清晰的定义。最后，柯西的定义过于文字描述，需要更简洁明了的数学符号表达。魏尔斯特拉斯学派提出了一种更为简洁的表达方法，即“微积分的算术化”。当要表达“当 x 趋近于 a 时，函数 f(x) 以 L 为极限”时，其语言是：

      对于任意给定的 ε＞0 ，总存在一个 δ＞0，使得如果 0＜|x-a|＜δ ，那么总有 |f(x)-L|＜ε 成立。

      魏尔斯特拉斯学派的微积分方法极大地简化了极限的概念。以“当 x 趋近于 a 时，函数 f(x) 以 L 为极限”为例，它的表达方式如下：只需对于任意给定的 ε（大于 0），总存在一个 δ（大于 0），使得只要 0＜|x-a|＜δ ，就有 |f(x)-L|＜ε 成立。



      与柯西的定义相比，这种表达更加简明，利用了符号化的手段，清晰地阐述了极限概念。这一静态定义不需要涉及变量的移动，展现了魏尔斯特拉斯学派严谨的逻辑，为微积分的发展奠定了坚实的基础。

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