柯尔莫哥洛夫的数学观与成就

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柯尔莫哥洛夫的数学观与成就


苏联数学家柯尔莫哥洛夫（Andrey N. Kolmogorov ，1903 年 4 月 25 日 - 1987 年 10 月 20 日）。图源：维基百科

导读：

最近，对于大模型研究的深度挖掘，让苏联数学家柯尔莫哥洛夫再次进入大众的视野，让人们意识到这位数学家在 20 世纪 50 年代完成的 KA 叠加定理工作的深远影响。

在以下文章中，沃尔夫奖得主、现代随机分析之父，日本数学大家伊藤清回顾了与柯尔莫哥洛夫的交往经历，以及这位大数学家的数学观和成就。

伊藤清 | 撰文

刘婷婷 | 翻译

当得知 1987 年 10 月 20 日，苏联伟大的数学家柯尔莫哥洛夫教授与世长辞的消息时，我宛若失去支柱一般，无比哀伤与寂寞。自学生时期（1937 年）读了他的名著《概率论基础》并立志研究概率论以来，我在这条道路上坚持了五十余年，对我来说，柯尔莫哥洛夫就是我研究数学的基石。

我只与柯尔莫哥洛夫教授有过三面之缘。第一次见面是在 1962 年国际数学家大会（斯德哥尔摩）上。开幕式开始前，我在大厅闲逛，耳边突然传来了亲切的声音：“Ito ? Kolmogorov .”（是伊藤吗？我是柯尔莫哥洛夫。）我虽吃了一惊，但欣喜异常。他用德语问我多大了，我回答：“Sieben und vierzig.”（47 岁。）他又问：“Dreissig ？”（30 岁？）这么问恐怕是因为日本人大多看起来年轻，我大概看起来也比实际年龄要小上十来岁吧。之后过了两三天，克莱姆教授（瑞典的大学联席主任，主要研究概率论、分析整数论）将与会者中与概率研究相关的差不多十名研究人员邀请到家里，举办了晚宴。与柯尔莫哥洛夫和杜布一同，我也受到了款待。

和柯尔莫哥洛夫再见就到了 1978 年。参加完国际数学家大会（赫尔辛基）之后，我又参加了概率统计国际学术研讨会（维尔纽斯、立陶宛、苏联），在归途中顺路去了莫斯科。当时我与瓦拉丹（Varadhan）（纽约大学）和普罗霍洛夫（Prokhorov）（苏联科学院）一起应柯尔莫哥洛夫的邀请，在克里姆林宫旁边的高级餐厅共进午餐。那段时间柯尔莫哥洛夫热心于高中的数学教育，他自己也聚集了很多优秀的学生并亲自授课。我听说这件事后，便询问了他授课内容。他回答我说主要是一些培养学生数学观察能力的内容，比如向学生展示简单的向量场（速度场）图，然后让学生用图来表示其积分曲线，或是思考具体的分支过程等。

第三次见面是在第比利斯（1983 年）召开的日苏概率统计研讨会上。那时他身体状况不佳，但还是进行了演讲，在宴会上也尽力炒热气氛，能看出年轻人对他十分敬仰。

柯尔莫哥洛夫几乎在数学的所有领域都有独特的想法，并引入了崭新的方法，虽然留下了优秀的成果，但他并没有高高在上，而是给人一种不修边幅的敦厚君子的感觉。这才是真正伟大的数学家。

我经常拜读柯尔莫哥洛夫的论文，借着起草这篇文章的机会，我再一次直接或间接地回顾了一下他所做的工作，并被他研究内容的广度和深度所震撼。受时间和篇幅的限制不能一一介绍，但我希望可以将自己体会到的感动传递给读者几分。

在这里还要向在查找资料时对我极为关照的吉泽尚明（京大）和池田信行（阪大）两位教授以及京都大学数理解析研究所图书馆的各位工作人员表达诚挚的谢意。

柯尔莫哥洛夫的经历

根据柯尔莫哥洛夫 70 岁生日时格里汶科（Clivenko）的演讲内容，柯尔莫哥洛夫于 1903 年出生于俄罗斯的坦波夫。他的父亲是一名农学家，母亲在他出生后不久便撒手人寰，他则是被他的姨母们带大的。柯尔莫哥洛夫在 1920 年（17 岁）入读莫斯科大学以前，曾在铁路上做列车员，他利用闲暇时间撰写了关于牛顿的力学法则的论文。虽然这篇论文的原稿没有被保存下来，但我们依然能够想象他在少年时期就已经多么有才了。那时，正值俄国革命（1917 年）爆发，虽然我很想了解当时的环境究竟如何，但目前并无头绪。

1920 年，柯尔莫哥洛夫正式进入莫斯科大学学习。他最初对俄国的历史抱有兴趣，曾就 15 世纪、16 世纪的诺夫哥罗德的财产登记进行过调查。之后他又加入了斯特潘诺夫的傅里叶级数（三角级数）的研讨会，1922 年他撰写的关于傅里叶级数、分析集合的著名论文（后面会叙述）震惊了数学界，在那之后他又以行空天马之势接连发表了重要的研究成果，并于 1925 年从莫斯科大学毕业，1931 年评为莫斯科大学教授，1933 年出任莫斯科大学数学研究所所长，1937 年成为苏联科学院会员。直至 1987 年逝世，他都在数学的研究与教育领域贡献自己的力量。

柯尔莫哥洛夫的数学观

了解柯尔莫哥洛夫的数学观的最佳资料，恐怕要数《苏联大百科全书》中由他执笔的“数学”部分了。这套百科全书也出版了英译版本，我阅读的便是英文译本。与原文（俄语）相比，英译版多少简化了一些内容。柯尔莫哥洛夫在书中先叙述了数学观，接着对从古至今的数学历史进行了介绍，并结合自己的数学观对数学历史的各个阶段进行了详细解说。要说这是为数学家和科学家编著的数学史也不为过，我津津有味地一口气读完了。要想说明柯尔莫哥洛夫的数学观，不仅要看前面的内容，还要看他在书中提到的大部分的数学史，不过，无论从时间上还是篇幅上都不允许，因此，我在这里只叙述开始部分的重点内容。

柯尔莫哥洛夫认为，“数学是现实世界中数量关系和空间形式的科学”。

（i）因此，虽然数学的研究对象基于现实世界，但为了研究数学，不得不从现实的素材中抽离出来（数学的抽象性）。

（ii）然而，数学的抽象性并不意味着与现实中的素材完全分离。数学中对数量关系和空间形式的研究，应科学技术发展的要求持续增加，因而上述定义的数学的内容也日益丰富。

数学和各门科学

数学的应用方式多种多样，从原理上来说，数学方法的应用范围并无限制，也就是说，所有类型的运动都可以通过数学进行研究。但是，对每一个具体实例来说，数学方法的作用和意义又有所不同。现在还无法通过唯一的定式将现象的每个侧面都包含进来，认识具体事物（现象）的过程一般具有以下两个相互纠缠的倾向。

（i）只将研究对象（现象）的形式剥离出来，对这个形式进行逻辑分析。

（ii）弄清与已确立的形式不符的“现象”，将其转移到更灵活、能将“现象”完全包含进去的新的形式上。

在研究的各阶段中，经常需要考察现象本质的新的一面，因此，一些研究现象的难度在很大程度上依赖于上述（ii） 的相关研究（生物学、经济学、人文科学等），数学方法就退居到了后方。在这种情况下，对现象所有方面的辩证分析会因为数学公式化而变得模糊不清。

与之相对，需要更加简单、稳定的形式来支配研究对象（现象），在这个形式的范围内进行特殊的数学研究（特别是创造新的记号和计算法则），有此类困难并产生复杂问题的研究（比如物理学）才可以通过数学方法解决。

概述之后，柯尔莫哥洛夫先就行星的运动完全处于数学方法的支配范围进行详细说明。这里使用的数学形式是针对有限个质点系的牛顿常微分方程。

即使是从力学转移到物理学，数学方法的作用也几乎没有减少，但应用难度显著上升了。在物理学中，几乎没有不用到高等数学（比如偏微分方程论、函数分析）的领域。但是，研究中包含的困难，与其说会出现在数学理论的展开过程中，不如说经常出现在“为了使用数学而选择假设”和“解释通过数学手段得到的结果”这两个过程中。

数学方法具有将思考从某个水平向更高、本质更新的水平转移的过程涵盖进去的能力，这样的例子在物理理论中屡见不鲜。一个经典实例就是扩散现象。从扩散的宏观理论（抛物型偏微分方程）转移到层次更高的微观理论（将溶液中的粒子的不规则运动作为独立随机过程的统计力学），通过对后者应用大数定律，推导出可以支配前者的微分方程。柯尔莫哥洛夫对这一实例进行了更为详尽的说明。

在生物学中，数学比在物理学中处于更加从属的地位，在经济学和人文科学中更是如此。在生物学或社会科学中，数学方法的应用基本以控制论A 的形式为主。对这些学科来说，数学的重要性虽然以辅助科学——数理统计学的形式残存着几分，但在社会现象的终极分析方面，由于各历史阶段存在的质的差异占据着支配地位，所以数学方法不断向幕后退去。

数学与技术

正如古代数学史中记载的那样，算术和初等几何原理都是应日常生活的需求诞生的。在那之后出现的新的数学方法或思想，也都受天文学、力学、物理学等领域实际需要的影响。不过，数学与技术（工程学）一直以来是通过将已经存在的数学理论应用在技术上来产生联系的，但其实也存在为应对技术要求而研究的全新的数学一般理论，比如最小二乘法（测地）、算子演算（电气工程）、作为概率论新分支的信息论（通信工程）、数理逻辑的新分支（控制系）、微分方程的近似解法、数值解法等。

高水平的数学理论使计算机科学得到了飞速发展，计算机科学在解决原子能的使用和宇宙开发等问题上扮演着重要的角色。

在之后继续记述的数学史中，柯尔莫哥洛夫虽经常将目光投向数学与其他学科的关联，但同时对为了满足数学内部要求而发展起来的纯粹数学给予了高度评价。举例来说，古希腊的数学虽然在实际应用方面不及古巴比伦的数学，但在数学的理论层面，古希腊则将古巴比伦远远甩在身后。柯尔莫哥洛夫对“质数有无限多个”“等腰直角三角形的斜边不能用直角边的整数倍表示”等发现给予了最高的赞美之词。接下来，他详细叙述了注重实用性的古巴比伦数学同理想主义的古希腊数学经由中世纪的阿拉伯数学，最终发展为近代欧洲数学的历程，实在是令人兴致盎然。我从这段历史中了解到了很多史实。比如，我虽然知道变换群在 18 世纪后半叶到 19 世纪初期被拉格朗日（分析）和伽罗瓦（方程论）有效利用，但一直不了解如今在大学中学习的（抽象）群究竟是谁定义的。通过柯尔莫哥洛夫撰写的数学史，我才知道凯莱（Cayley）在 19 世纪中叶定义了群。

总而言之，柯尔莫哥洛夫数学观的形成结合了他在数学上的独创性、对数学应用的热情，以及对数学发展历史的深刻观察，无法用一句话简短概括。如果硬要总结，大概就是柯尔莫哥洛夫将数学看作一种可以无限成长的“生物”了。

柯尔莫哥洛夫的数学成就

柯尔莫哥洛夫撰写过一百多篇论文，这些论文都具有“研究范围广”“引入全新观点，具有独创性”和“明快的叙述风格”的特点。这些研究以实变函数论为开端，涉及数学基础论、拓扑空间论、函数分析、概率论、动力系统、统计力学、数理统计、情报理论等多个领域。下面我将结合研究背景，针对每个研究进行概述。

实变函数论

柯尔莫哥洛夫在莫斯科大学加入了斯特潘诺夫的傅里叶级数研讨会，开始对数学抱有兴趣。当时（1921 年），一直以来以连续函数为对象的微积分学发展为以可测函数为研究对象的实变函数论，并成为引人注目的数学新领域。柯尔莫哥洛夫在 1922 年引入 δs 集合演算并完成了包含“波莱尔不可测集的存在定理”的新定理的证明，并在同一年成功研究了“（形式上）傅里叶级数基本处处（之后记为处处）发散的 [0, 1] 上的可微函数的构成”。这些成果分别在Matematicheskii Sbornik 和 Fundamenta Mathematicae（也于 1925 年在 Doklady 上发表）上以论文的形式发表。他还写了几篇关于傅里叶级数和正交函数展开的论文。另外，他还尝试扩展勒贝格积分，研究当茹瓦积分。这些研究工作基本是他在 1930 年之前完成的。

概率论的基础

柯尔莫哥洛夫在概率论领域的一项伟大成就，便是使用测度论的语言将概率论作为现代数学的一个领域确立下来。以往，随机事件、随机量都是在没有被定义的情况下直接使用的。柯尔莫哥洛夫看破了概率和测度具有同样的性质，在概率空间 (Ω, F, P) 上将随机事件通过 Q 的 F-可测子集定义，将随机事件的概率通过这个集合的 P-测度定义，将随机量通过 Q 上的 F-可测函数定义，将其平均值通过积分来定义。由此，概率论的理论展开就变得简单明确了。比如，我们来定义抛硬币游戏。设 Xn(ω)，n = 1, 2, … 为概率空间 Ω= (Ω, F, P) 上的 F-可测函数的列，并满足



根据 Xn(ω)=1 还是 0 来看第 n 次抛出的是正面还是反面。这里引申出的数学问题是证明 Ω= (Ω, F, P）和函数列 {Xn(ω)} 存在。有几种证明方法，比如，设 Ω = (0, 1] ，F = (0, 1] 的波莱尔子集族，P = 勒贝格测度，让



就可以了。得到 0.0111… = 0.1000…，这时要将左侧展开。

以这样的方式将概率作为测度去把握，在特殊问题的解决上波莱尔（上述例子）和维纳（布朗运动）已经做出了尝试，但最终用这种方法解决所有问题的是柯尔莫哥洛夫，他提出了“概率论的基本概念”。在具体情况下，可以认为 Ω=R^A（A 是任意集合），但为了在这种情况下达成目的，柯尔莫哥洛夫也证明了构成 P 的定理，这便是著名的柯尔莫哥洛夫的扩展定理。

过去对于具体测度一般仅考虑 R^n 上的勒贝格-斯蒂尔杰斯测度和李群上的不变测度，但根据柯尔莫哥洛夫测度论基础上的概率论，新型概率测度和与此相关的全新问题通过偶然现象的数学研究不断涌现出来。

概率论

柯尔莫哥洛夫受前辈辛钦的影响，从 1925 年开始着手研究独立随机变量的级数的收敛问题及发散时的阶数。接下来他又对维纳过程进行了研究。针对这些研究，柯尔莫哥洛夫引入了很多全新的思路和方法。其中，柯尔莫哥洛夫的零一律、柯尔莫哥洛夫不等式、辛钦—柯尔莫哥洛夫的三级数定理、柯尔莫哥洛夫强大数律、柯尔莫哥洛夫检验、柯尔莫哥洛夫的湍流理论等都很有名。特别是在 1939 年，他将弱平稳过程的内插、外推问题归结为傅里叶分析的问题并将其完美解决。

另外，柯尔莫哥洛夫还将动力系统划分为决定性（古典）动力系统和概率论动力系统（马尔可夫过程），并对应支配前者轨道的常微分方程，引入了可以确定后者转移概率的抛物型偏微分方程，也就是柯尔莫哥洛夫的前向方程和后向方程。虽然在此之前应用在概率论中的分析手段以测度论和傅里叶分析为主，但他首次应用了偏微分方程论、位势论、半群论（函数分析），极大地丰富了概率论的内容。20 世纪 50 年代的马尔可夫过程显著发展的根源就在于柯尔莫哥洛夫的这项研究。我从柯尔莫哥洛夫论文序文的思想中获得灵感，引入了可以表示马尔可夫过程轨道的随机微分方程，这也为我之后的研究奠定了方向。柯尔莫哥洛夫的“基础概念”和“分析方法”对我来说是无上至宝。

数理统计

令人遗憾的是，在日本，概率论与数理统计之间的学术交流并不活跃，但以柯尔莫哥洛夫为代表的苏联概率论研究者们对二者间的关联非常重视。概率论是以概率空间为基础的，但要将其应用在现实问题上，就需要考虑一系列的概率空间，并决定哪个最适合问题的概率模式。这个决定也可以说是数理统计学的一个目的。柯尔莫哥洛夫也撰写过不少关于数理统计学的论文。柯尔莫哥洛夫- 斯米尔诺夫定理用于不依赖参数的检验法，该定理也闻名于世。

数学基础论

柯尔莫哥洛夫从年轻时开始，就对数学基础论，特别是布劳威尔的直觉主义抱有很大的兴趣（比如 Mathematische Zeitschrift. 35(1922),58- 65）, 还对算法进行了研究。

拓扑空间论和函数空间论

柯尔莫哥洛夫同亚历山大一起创立了同调论，这一功绩可以说是人尽皆知。另外，柯尔莫哥洛夫还是研究拥有拓扑结构和代数结构的空间理论（线性拓扑空间、拓扑环）的先驱。调查完全有界度量空间 E 的 ε 网的点的个数最小的 NE(ε) 在 ε→0 时的行动，引入作为 E 的特征量的 ε-熵和 ε-容量的概念，并将其应用在 E 为连续函数空间的子空间（与季霍米罗夫共同撰写，Uspehi(1959)）。这个思路在以前的函数分析中未曾出现过。

动力系统

柯尔莫哥洛夫拥有非常丰富的古典动力系统的知识，他自己也撰写过几篇非常重要的论文。他研究过一般动力系统（单参数保测变换群、湍流），引入了“柯尔莫哥洛夫湍流”这一重要概念。我们知道谱型（Hellinger - Hahn）可以作为湍流的特征量存在，但柯尔莫哥洛夫又引入了熵作为新的特征量。可以说，这一成果为新的遍历理论开辟了道路。

除了上文提到的内容，柯尔莫哥洛夫还做了很多工作，比如解决了希尔伯特的第十三个数学难题（参考岩波书店出版的《数学辞典》中的希尔伯特词条），研究了随机数表和情报理论的相关内容等。

柯尔莫哥洛夫的数学教育论

很多人知道柯尔莫哥洛夫在莫斯科大学培养了很多数学家，他们中有不少人已成为国际知名的学者，但柯尔莫哥洛夫其实还热衷于高中的数学教育，自己也会给学生上课，并深入思考数学教育应有的形式。我打算参考柯尔莫哥洛夫 60 岁生日（1963 年）时，亚历山大洛夫和格里汶科的演讲记录《作为教育者的柯尔莫哥洛夫》，讲述一下柯尔莫哥洛夫的数学教育论。苏联的教育制度与日本的有所不同，分为小学（7 岁 ～ 10 岁）、初中（11 岁 ～ 14 岁）、高中（15 岁 ～ 17 岁）和大学（18 岁 ～ 20 岁）几个阶段，在大学，数学专业和物理专业是合并在一起的（数学与物理专业）。苏联的高中课程相当于日本高二到大学二年级的课程，大学课程则相当于日本的本科课程加研究生课程。与日本的旧制高中和大学十分相似。大学毕业时必须提交论文才能获得学位，获得的学位相当于日本的硕士。博士学位只授予此后能发表很多原创论文的优秀学生。

柯尔莫哥洛夫认为，有一些父母或教师会从 10 ～ 12 岁的学生中寻找具有数学才华的人，这种做法可能会毁掉学生的前途。但到了 14 ～ 16 岁这个年龄段，事情就大不相同了，学生会明确表现出对数学和物理的兴趣。根据柯尔莫哥洛夫在高中教数学和物理的经验，差不多有半数学生认为数学和物理对自身没什么实际应用价值。他认为针对这样的学生，课程的内容可以设置得简单一些。这样一来，另外一半学生（虽然这部分学生未来不可能都去读数学和物理专业）的数学教育也会有更好的效果。

在高中阶段，最好还是将数学、物理专业，工程学专业，生物、农业、医学专业，社会、经济学专业分开。只要稍稍增加一些每个专业主要学科的教学时间即可（比如数学多一小时，物理多一小时等）。这种做法也能收到显著效果。针对各专业的班级进行的教育可以让学生具有目的意识，但这并不会对范围更广的一般教育构成威胁。在革命初期兴盛起来的“统一劳动学校”这个口号意在废除带有阶级意识的学校，打破横亘在贫苦人面前的屏障，而非对个人能力的开发或特殊训练予以否定。

学习数学需要特殊才华这种说法在多数情况下是带有夸张成分的。人们觉得数学是一门非常难的科目，有时也是一些糟糕或是极端的教学方法所造成的。只要有优秀的教师和优秀的教科书，以普通人的能力完全可以应付高中数学，也能理解初级的微积分。

高中生在决定选择数学作为大学专业时，自然想要检验自己与数学这门学科的适配度。实际上，每个人理解（数学）推论、解决问题、进一步产生新发现的速度、困难程度和成功率都不相同。为了数学专业的教育，应以选择在数学上更容易取得成功的青年为目标。

与数学专业的适配度又是什么呢？柯尔莫哥洛夫认为是以下三点。

● 运算能力。可以将复杂的式子变形，或是能巧妙解出用一般方法无法解开的方程（背下很多定理或公式也无法具备的能力）。

● 有几何学上的直觉。就算是抽象事物，也能像亲眼看到的一样在头脑中描绘出来。

● 一步一步进行逻辑推理的能力。比如可以正确使用数学归纳法。

就算具备这些能力，如果没有对研究课题的热忱和每日不间断的研究也没有任何意义。

在大学的数学教育中，什么样的教师才算优秀呢？

（i）授课能力强，能引用其他学科的例子，吸引学生的注意力。

（ii）能通过有条理的说明和丰富的数学知识吸引学生。

（iii）可以成为优秀的辅导老师。能够充分认识到每个学生的能力，在学生的能力范围内为学生分派任务，使学生获得自信。

以上三点虽然都是评价标准，但理想的教师应该是最后一种类型的。

关于数学和物理学专业的学生接受的数学教育，除接受正规课程外，柯尔莫哥洛夫还特别强调了下面两点。

● 要让学生将函数分析掌握到可以像日常工具般自由使用。

● 重视实践。

第二点的意思我起初也不是很理解，最近问了一位以前在莫斯科大学跟柯尔莫哥洛夫学习过的学生，才知道实践是指给学生一些微分方程的系数或边界条件的具体数值，让学生调查其解的性质。

在学生开始进行研究时，首先要让他们拥有“我一定可以做些什么”的自信。因此，在给研究题目的时候，需要思考这个题目的重要性，还必须思考“这个研究能否帮助学生前进”“这个课题是不是在学生的能力范围之内，并且需要学生尽最大的努力才能研究出来”等问题。

以上就是柯尔莫哥洛夫的数学教育论的大致内容。柯尔莫哥洛夫不仅是一位伟大的数学家，还是一位伟大的教育家，更是一位伟大的思想家。

（写于 1988 年 10 月）

本文摘自《世界是概率的》，[日] 伊藤清 著，刘婷婷 译，人民邮电出版社 2023 年 3 月出版。《赛先生》获出版社授权发布。

作者简介：

伊藤清（Kiyoshi Ito，1915—2008），日本数学家，日本学士院院士，日本京都大学教授。随机分析的创始人之一，日本概率论研究的奠基者。曾任京都大学数理分析研究所所长，日本数学会理事长。他因在概率论方面的奠基性工作而获 1987 年的沃尔夫奖，并于 1998 年获得京都奖，2006 年获得首届高斯奖。伊藤清的工作集中于概率论，特别是随机分析领域，他被誉为“现代随机分析之父”，因他命名的理论有伊藤引理、伊藤积分、伊藤过程等。他的研究不仅推动了现代数学的发展，还对物理学、经济学、统计学等学科产生了深远影响。著有《概率论》《随机过程》等。

BOOK TIME



《世界是概率的》

[日]伊藤清 著

刘婷婷 译

人民邮电出版社

2023年3月 出版

本书为日本数学家、沃尔夫奖、高斯奖、京都奖得主伊藤清的数学思想文集。书中梳理了他学习数学、走上数学研究道路的经历，收录了他关于“数学与科学”“直观与逻辑”“纯粹数学与应用数学”“数学的科学性与艺术性”等方面的思考，同时也完整记录了他创立著名的“伊藤引理”的过程与感悟。本书是了解伊藤清数学思想的珍贵资料，也可作为了解概率论相关概念与发展的读本。

赛先生 2024-06-04 17:30 广东