摆线的历史和现状

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摆线的历史和现状

原创 围城里的猫 MathSpark 2024-05-21 08:02 陕西

人们现在已经很少会发现新的形状。但把时间拉到更久以前，情况则有所不同，今天我们有机会跟大家聊聊摆线的历史和现状，好了开始我们可视化的旅程。根据百科上的描述，摆线被定义为“圆上一点沿着直线滚动而不滑动的曲线”。也许用下面图片更容易形象化：



你看到圆外侧的点沿直线滚动时所描绘的红色曲线吗？就是这样——这就是摆线。很简单，对吧？

摆线的历史

摆线有时也被称为“几何学家的海伦”，因为多年来它在数学家之间引发了许多争论。争论之一是关于谁发现了这种曲线。最早被提及的候选人是毕达哥拉斯的传记作者伊安布利库斯。其他被认为是发现者的还有一大批博学者，包括德国的尼古拉斯·库萨（1401–1464），法国的查尔斯·德·博韦尔（1475–1566），意大利的伽利略·伽利莱（1564–1642），以及法国的马林·梅森（1588–1648）。但很遗憾由于这部分史料的欠缺，现在已经很难考证到底谁应得到这个荣誉。

我猜大多数人和我一样，只听说过伽利略。事实证明，他是第一个认真研究摆线并为其命名的人。他甚至用金属片制作摆线模型，试图理解摆线曲线下的面积。顺便提一下，发明水银气压计的埃万杰利斯塔·托里拆利（1608–1647）最终正确求解了一个摆线弧下的面积。



随着时间的推移，摆线吸引了许多著名数学家，包括笛卡尔，费马，帕斯卡，牛顿，莱布尼茨，德洛皮塔尔，伯努利，欧拉以及拉格朗日。显然，他们喜欢创造与摆线相关的竞赛和问题，而这些最终导致争吵和谩骂。例如，帕斯卡曾举办过一个竞赛，并以西班牙黄金作为奖品。三位评审认为没有人获胜，这听起来并不有趣。圣保罗大教堂的著名设计师克里斯托弗·雷恩在竞赛中提交了一个确定摆线长度的证明——尽管这并不是真正的竞赛问题，但还是相当酷的。评审声称他早些年已经解决了这个问题，但从未写下来。这导致了公开的争吵。另一个数学挑战是由伯努利在 1696 年提出的，最终也以争吵收场，所以以竞赛为目的的数学显然并不是一个好的决定。

通过一些数学了解摆线

现在我们已经熟悉了摆线的历史，你可能会像我们已故的数学家朋友伽利略和雷恩一样问自己同样的几何问题：摆线下方的面积是多少？摆线的路径有多长？微积分可以帮助我们做一些了解。当圆在 x 轴和 y 轴上向前滚动时，有一些参数方程可以绘制摆线相对于时间 (t) 的路径。因为 x 和 y 位置彼此独立，所以有两个方程：

x(t) = r(t-sin(t))

y(t) = r(1-cos(t))

为了可视化这些方程，我们假设 t = π 。此时，x(π) = r(π-sin(π)) 。由于 sin(π) = 0 ，则 x(π) = πr 。这是圆滚动的一半，因为圆滚动的周长是  2πr 。高度将为 y(π) = r(1-cos(π)) 。由于 cos(π) = -1 ，则 r(1-(-1))=2 且 y(π) = 2r 。现在我们有了方程，我们可以使用微积分来求出摆线的面积和长度。



就像大多数涉及圆的事情一样，解决方案很简单。摆线下方的面积为 3πr^2 。老实说，这些都是很漂亮的答案。

物理学中的摆线

除了它们的优雅之外，摆线还有用吗？它们会出现在自然界的任何地方吗？让我们把时间来拉回到 1696 年伯努利的数学挑战。以下是他向当时顶尖数学家的宣战：

我，约翰·伯努利，向世界上最杰出的数学家致辞。对于聪明人来说，没有什么比一个诚实的、具有挑战性的问题更有吸引力的了，其可能的解决方案将带来声誉并成为一座永恒的纪念碑。效仿帕斯卡、费马等人的榜样，我希望通过向当代最优秀的数学家提出一个测试他们的方法和智力强度的问题来获得整个科学界的感激。如果有人向我传达所提出问题的解决方案，我将公开宣布他值得赞扬。

这位先生可真是敢于放话——尽管“我将公开宣称他值得赞扬”这句话相比西班牙黄金显得没那么有趣，而且带有一点性别歧视。然后，伯努利提出了他的挑战：

“在一个垂直平面上，给定两个点 A 和 B ，什么样的曲线可以使一个仅受重力作用的点从 A 出发到达 B 所需的时间最短？”

换句话说，如果一个小球从一个较高点沿着一条曲线滑向一个较低点（假设这两个点不在同一垂线上），应该选择什么路径才能使小球以最短时间完成这段旅程？这假设小球在无摩擦平面上，并且重力场是均匀的。





考虑到伯努利错误地得出了一个正确的解决方案，然后从他哥哥那里抄袭了正确的推导，他的“赞扬”奖项显得更为有趣。伯努利给了六个月的时间让人们提交解决方案，但没人做到。莱布尼兹主张将提交期限延长至一年半。在这延长期内，艾萨克·牛顿听说了这个问题。据说，牛顿在 1697 年 1 月 29 日下午 4 点回到皇家铸币厂时，在一封来自约翰·伯努利的信中看到了这个挑战。他整夜未眠，第二天匿名寄出了正确的解决方案。据说这个解决方案如此之好，而且明显是牛顿的作品，以至于伯努利认出它是“像认出狮子的爪印一样”。

牛顿在一个晚上完成的解决方案，完全碾压了伯努利用两周时间才解决的问题。然后，牛顿在信中加了点儿调侃的语气：“我不喜欢被外国人催促和纠缠于数学之事……”牛顿从来不是以和蔼著称的。这简直是霸气十足。

牛顿和伯努利找到的这个最快路径解是所谓的“最速降线曲线”，在希腊语中意为“最短时间”。有意思的是，最速降线曲线是一条摆线的一部分。这真的是太酷了。看到自然界中形状的力量总是很有趣。

另一个有趣的曲线是“等时曲线”，在希腊语中意为“相同时间”。你可以将一个小球放在这条曲线上的任何位置，它滚到最低点所需的时间都是一样的。它也是基于半个摆线。



还有一种叫做“摆线钟摆”。想象一下你将钟摆的末端放在两个倒置的摆线的交汇点。如果你摆动钟摆，绳子会在摆动路径上紧贴摆线。钟摆末端描绘的形状又是一个摆线。



在最后我们再看几张美丽的摆线图片，来结束今天这期内容。







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