为什么要把“0”作为自然数

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为什么要把“0”作为自然数

原创 学习中的李 从薄到厚学数学 2024-04-21 19:26 云南

在人教版教材中，已经明确把“0”作为一个自然数：



并且很多教师在教时又把它视为一个“规定”，就是说把“0，1，2，3，…”作为自然数，最小的自然数是“0”，显然，教材上处理的是“一个物体也没有，用 0 表示”，这样处理不是不好，但是很容易给学生留下“0”就是“没有”的映像，对学生发展不利，因此有必要说明为什么要把“0”作为自然数。推荐阅读：“0”就是“没有”吗？

为什么要把“0”作为自然数？这不得不思考什么是自然数，自然数、自然数应该是很“自然的”数，但是通过“0”就是“没有”吗？我们知道，“0”的产生一点都不“自然”，再回到从自然数的原始功能说起，自然数是人类最早用来描述周围世界“数量及其关系”的概念，自然数几乎从一开始就有以下三个基本功能：

功能一：刻画一类事物的多少，用现代数学语言来说，就是描述一个有限集合的元素的个数（基数）。

功能二：刻画一类事物的顺序，第一、第二、…… ，用现代数学语言来说，就是描述一个有限集合中元素的顺序（序数）。

功能三：当然是运算的功能，在自然数集中，任何两个数都可以做加法和乘法运算，而减法和除法在自然数集中是不行的，因为不封闭（后续讲一讲数系的扩充）。

基于此，我们可以发现把“0”作为自然数有“好处”。

好处一：我们知道，集合常常按照其元素个数是否有限被分为有限集合和无限集合两类。在有限集合中，有一个主要也是最基本的集合---空集，元素个数是 0 ，如果不把 0 作为自然数，那么空集的元素个数就无法用自然数来表示了，则自然数的功能一就没用了，如果把 0 作为一个自然数，那么自然数就可以完整地刻画有限集合元素个数的任务，这正是自然数强大的功能之一---基数。

好处二：不会影响自然数的“序数功能”。如果没有将“0”加入自然数集合。我们知道，不同的自然数有大小之分，并且这种关系还满足“传递性”，即若 a＞b , b＞c ，则 a＞c 。还有就是“三歧性”，即对任何两个自然数 a、b ，要么 a＞b ，要么 a=b ，要么 a＜b ，三者必居其一。因此，一般地，我们把具有传递性和三歧性的集合称为“线性序集”。所以在自然数的功能二中，最基本的性质就是“自然数集合的任何一个非空子集合中，一定有一个最小的数，但是并不是所有的线性序集都满足这个性质，比如集合 (0,1) ,虽然满足传递性和三歧性，但是找不出来最小元素。因此自然数集是一种特殊的线性序集，这种性质保证了数学归纳法成立的基本性质。因此我们把“0”加入到自然数集合中，拥有的上述性质仍然不变，不会引起矛盾。

好处三：就是运算功能三，把“0”加入自然数集合中，对加法和乘法来说，运算都是封闭的，即对新自然数集合 { 0，1，2，3，… } 中的任何两个元素都可以进行加法和乘法运算，同时保持加法、乘法运算的结合律和交换律，以及乘法对加法的分配律，最后运算结果仍是自然数。

既然将“0”作为自然数好处多多，为什么不欢迎“0”加入自然数大家庭呢？这也体现了“数学的自由”。



数学是讲道理的，作为数学老师，我们应该多问几个为什么。

学习中的李