[数学分析] 解析函数与级数展开

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[数学分析] 解析函数与级数展开

原创 O Anqiao Makiror Ouyang 2024-05-21 15:30 广东

  解析函数是可以通过无穷级数展开的函数，并且这个级数在函数定义域内收敛于该函数，因此我们也会称这个级数为收敛幂级数。其性质在后面的研究很重要。

Taylor 级数

  现在我们已经知道了，幂级数在一个所谓收敛圆内是一个解析函数，因此我们要考虑如何将函数展开为复幂级数。我们将能够被表示为幂级数形式的函数称为解析形的函数。

注：此概念在实数和复数都是适用的，但是此处为了符合主题而使用“解析”来形如一个函数，而非在基础的高等数学中我们更常用于形容实函数的“无穷可微”。



泰勒定理



Laurent 级数

  洛朗级数是一种在复平面上的某个环形区域内展开的级数，它同时包括了正幂次和负幂次的项。洛朗级数的收敛域通常是一个环状的区域，称为洛朗展开的收敛环。它在收敛环的两个边界上都可以收敛，这种同时在其收敛域的两个边界上收敛的级数，我们称之为双边幂级数。



洛朗定理



简要证明



  意义是显然的。洛朗展开是泰勒展开的推广。Taylor 级数只适用于解析函数在某个点的局部展开，我们只能就此了解到关于函数在该点附近的东西。而洛朗展开式则弥补了这一局限性，允许我们在圆环区域内对函数进行展开，适用于包含奇点的区域。

  你的 Taylor 级数比较局限，但是你的负幂次项又弥补了这一部分。如果只做泰勒展开的话，可能就会显得你展开的区域比较局限，可能就会出现一些啊漏奇点做错题的情况。

  顺带一提，感兴趣的读者可以去翻翻 Lars Ahlfors 的书对洛朗定理的证明，前半段思路大致一样而对 h(z) 的变换挺优雅的（本文的写法是大部分教教材会用的代入方法）。

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友好的《复分析导读 II》正文将在接下来的几天发布，内容有关复积分及其较为基础的定理（部分有证明）、留数理论基础，参考文献将在正文一并列出。

Ouyang Anqiao 03:12 20/05/2024

gzanqiao@hotmail.com