圆锥曲线的切线方程——离心率、准线、切线以及它们的光学性质（三）

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圆锥曲线的切线方程——离心率、准线、切线以及它们的光学性质（三）

原创 深度一佳 深度一佳 2024-05-16 10:30 山东

我们现在把以前发的一篇短文增加一点切线方程新的算法：

圆锥曲线的光学性质和它们的切线方程其实是同一个问题。

因为一个曲面的光学性质，肯定和曲面的法线有关。

光线在曲面某一个点的反射方向，取决于曲面在这个点的法线，法线两侧的入射角和反射角是相等的；而曲面法线，又必然和曲面上这个点的切线相互垂直。就比如下面这种例子：



如图所示：如果有一束光，从椭圆焦点射出至 P 点，这束光的反射光线，一定会指向椭圆的另外一个焦点。

如果想要证明这个结论，必须先把曲面在 P 点的切线方程写出来，然后才能得到 P 点的法线方程，如果这条法线 PA ，能平分焦点三角形两条光线的夹角，那么我们上面的结论就是正确的。

所以第一步要做的就是求曲面在 P 点的切线方程。

我们可以设出点 P 的坐标，根据点斜式写出它的方程，然后把这个方程和椭圆的方程联立。因为切线和椭圆只有一个交点，那么这个联立的方程只会有一个解。



则方程可以写成：



把这个方程和椭圆方程联立：



代入法消去 y ，可以得到 x 的一元二次方程。因为这条切线和椭圆交点只可能有一个，所以让判别式等于 0 ，即可求出K的代数式，将这个 k 的代数式代入切线方程中，就可以得到椭圆在 P 点处的切线方程：



这个方程的长相和椭圆方程差不多，只不过使用点的坐标代替了其中的一个变量而已。

不只是椭圆的切线方程长这样，其它圆锥曲线的切线方程的长相也大致如此，比如设抛物线的切点：



那它的切线方程可以写成：



将它和抛物线方程联立：



我们现在将抛物线方程改造一下：



将它代入切线的方程：



这个关于 y 的方程也有一个解，所以判别式也是等于 0 ，所以：



解得：



将它代入切线方程：



我们为了得到和椭圆切线方程类似的形式，这个式子接下来的化简和整理，就要奔着同样的形式进行，也就是：



因为：



所以，把上式整理就得抛物线切线方程的统一形式：



我们注意到抛物线上的任意一个点的切线斜率都是：



根据这个结论，我们当然也可以直接写出抛物线上一个确定点的切线方程，没必要遵从圆锥曲线切线方程的统一形式。

同样的方法，也可以得到双曲线的切线方程，模样也是相同的：



上述求圆锥曲线切线方程的方法很传统，是最常用的一种，推导过程计算量很大，为了得到统一的形式，也用到了很多的技巧，需要很好的多项式的化简功夫和恒等变形的能力，但好在它的思路清晰，大多数同学们都能想到，而且细心点也能做到很完美，所以，我依旧推荐这种方法，虽然很笨，但符合常规思维，适合大多数学生。

当然，如果你愿意，也可以通过对双曲线的方程进行求导的方式，求出 y 的导函数，然后代入确定点的值，就可以得到切线斜率，这里我们以抛物线为例：



这就是 y 的导函数，然后再把确定点的坐标代入，即可得到某一点的切线斜率。

不过这种做法牵涉到隐函数求导，虽然简单有效，但并不推荐中学生使用，因为阅卷时有被扣分的风险存在。

不过，一旦推导完成一次以后，你就可以直接使用上述结论，而无需再次推导。

也就是说，你可以在考试中，直接使用上述公式对付圆锥曲线试题中，那些不需要写出解题过程的选择题和填空题，也可以在大题中首先采用上述结论得出最终的切线方程，得出这个最终结论之后，再返回头，装模作样地把假设的切线方程和圆锥曲线方程联立，省略中间的计算过程，直接写出你刚才已经得到的答案就可以。这样做一来可以提高解题效率，节省时间，二是可以避免因为过程缺乏而造成的扣分。

感谢您的阅读！文中如有错误，欢迎留言指正！

深度一佳