概率论先驱：伯努利兄弟

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概率论先驱：伯努利兄弟

原创 白鹤 数学和 AI Teach 2024-04-09 23:57 北京

       比较两位伟大的微积分发明者，我们可以看出一个事实，在某种意义上，牛顿的流数法似乎随着他的去世而逐渐被人遗忘。孤独而悲观的艾萨克爵士直到生命的最后一刻也没有拥有一群聪明的学生来学习、完善和传承他的作品。相比之下，莱布尼茨的幸运之处在于，他有两位热情洋溢的学生，即瑞士的雅各布·伯努利和约翰·伯努利兄弟，他们是在欧洲传播和推广微积分的主要人物。他们的努力，或许也不亚于莱布尼茨本人的努力，使得微积分保存至今，依然具有深远的影响。



      伯努利家族是数学界的传奇，出现了多位杰出的数学家，包括雅各布、约翰和丹尼尔·伯努利。他们深入研究微积分、微分方程、概率论和流体力学等领域，彻底改变了科学的面貌。这个家族内部存在激烈的竞争，但也有相互合作，他们对科学探索充满了激情。他们的成就不仅体现在数学公式和物理定律上，更在于他们对知识的不懈追求和对卓越的追求。

       雅各布·伯努利（1654-1705）是兄弟中的哥哥，他是一位数学天才，对微积分和无穷级数的求和都有重要贡献。然而，他最杰出的成就是在新兴的概率论领域上。概率论这一数学分支在 16 世纪由卡尔达诺首先提出，17 世纪中叶则得到费马和帕斯卡的共同努力发展。1713 年出版的《猜度术》是雅各布·伯努利的巨著，为概率论的发展奠定了里程碑。这部作品不仅巩固了前人的研究成果，还推动了概率论研究的新进展。

       弟弟约翰·伯努利（1667-1748）也以自己在数学领域的声望而闻名。他毫不掩饰地热情投入，致力于在欧洲大陆推广莱布尼茨的微积分。约翰经常与他的德国老师通信，积极捍卫莱布尼茨的声誉，参与与牛顿派英国学者的争论。类似于 19 世纪中叶的托马斯·赫胥黎面对宗教界的挑战时勇敢地捍卫达尔文的理论以赢得“达尔文的斗牛犬”称号，我们也可以称约翰·伯努利为“莱布尼茨的斗牛犬”。像赫胥黎一样，约翰有时也表现出令人惊讶的执着，支持莱布尼茨，最终他也完成了自己的使命。

       约翰·伯努利的一项重要贡献是通过一位名叫洛必达（1661-1704）的侯爵实现的。这位侯爵是一位法国贵族，同时也是一位业余数学家，他渴望了解微积分这一革命性的新计算方法。因此，他付钱请约翰·伯努利为他提供与这一课题相关的各种文章和资料，同时向他提供任何值得关注的数学新发现。从某种意义上来说，这似乎表明洛必达买断了约翰·伯努利弟弟的数学研究。于 1696 年，洛必达整理了约翰·伯努利的文稿，发表了第一本微积分教程，书名叫《无穷小分析》。这本书是用法语而不是拉丁语写成的，除了书名以外，几乎所有内容都出自约翰·伯努利之手。



       历史上存在许多杰出的兄弟组合，从特洛伊战争中的阿伽门农和墨涅拉俄斯到航空先驱威尔伯·莱特和奥维尔·莱特兄弟，有许多兄弟一同努力来实现崇高目标。尽管雅各布和约翰·伯努利是数学史上最成功的兄弟组合之一，但我们也不能忽视他们之间的紧张关系和对立。在数学问题上，他们是最强大的竞争对手，据他们自己的回忆，为了击败对方，他们甚至陷入了荒谬的竞争中。伯努利兄弟与历史上其他著名的兄弟组合完全不同，他们更像是知名美国喜剧演员马克思兄弟。

       举个例子，考虑一下悬链线的问题。悬链线是指一条链条，两端固定，由于自身重量而形成的曲线。在 1690 年，著名的雅各布在一篇论文中提出了解决悬链线性质的问题，也是方程问题。实际上，这个问题已经存在了很多年，伽利略曾经猜测悬链线是一条抛物线，但一直没有得到解决。雅各布认为，通过应用奇妙的微积分新方法也许可以解决这个难题。

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