英雄世纪的数学（三）

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英雄世纪的数学（三）

原创 白鹤 数学和 AI Teach 2024-03-23 23:58 北京

    在数论领域，费马留下重大的影响。我们在欧几里得的《几何原本》第 7 至 9 卷中可以找到有关这个问题的论述。另一部关于数论的经典著作是丢番图（约公元 250 年？）的《算术》。在文艺复兴时期，这部著作被重新发现，并被翻译成多种文字，对后来的数学发展产生了深远的影响。费马得到了一本丢番图的著作，并深深地沉浸其中，不久便在整数性质方面做出了他自己惊人的发现。



       费马经常提出一些引人入胜的命题，有时声称自己已经找到了确凿的证明，但很少将这些证明写下来。因此，后来的数学家欧拉不得不来填补这些缺失的证明。因此，数学史学家在确定应该归功于谁时，常常感到左右为难——是该归功于费马，因为他第一个提出了这些命题，而且很有可能已经给出了证明；还是归功于欧拉，因为毕竟是他实际上写下了这些证明。

      费马根据丢番图的《算术》中的第 Ⅱ.8 命题提出了一个引人入胜的定理，即一个完全平方数可以分解为另外两个完全平方数之和，例如，5^2＝3^2+4^2 或 25^2＝7^2+24^2 。费马在这个定理旁边写下了著名的几句话，指出不可能将一个三次方数分解为两个三次方数之和，或将一个四次方数分解为两个四次方数之和。他声称已经找到了极其巧妙的证明，但页边空间有限，无法写下来。

       费马的论断表明，对于整数 a、b、c 和指数 n≥3 ，不存在任何方式使得 a^n+b^n＝c^n 成立。这意味着，除了平方数之外，任何其他次幂的整数都不能被分解为两个较小整数的同次幂之和。因此，费马认为将一个完全平方数分解为两个完全平方数之和只是一种偶然事件。



       和往常一样，费马没有给出他的论断的证明。他似乎认为，只要给他一张白纸，他就可以轻松地证明他的发现。然而，就像他的其他命题一样，费马只是将寻找证明的任务留给了后人。

       尽管欧拉在证明了 n=3 和 n=4 的情况之后，人们仍在努力寻找费马大定理的证明，但至今为止还没有数论学家取得成功。尽管费马没有给出这一命题的证明，但根据欧拉的结果和其他研究，这一命题很可能是正确的。尽管如此，目前仍然没有人能够证明这个命题，也没有人提出反例来否定它。因此，称其为费马的大“定理”可能有些不恰当。然而，人们对这个问题的兴趣依然很高，如果有人能够解决这个难题，他必将在数学史上留下重要的一笔。即使在 20 世纪末，对这个问题的探索仍然十分热烈。

       如果我们能够回到 1661 年的夏天，回顾 17 世纪的数学成就，我们将发现代数符号、对数、解析几何、概率和数论等领域已经初具规模。同时，韦达、纳皮尔、笛卡儿、帕斯卡和费马等数学家也将受到应有的尊崇，因为他们无疑是数学领域的英雄人物。然而，在 1661 年夏天，没有人会预料到一个即将开始的数学历程，这一历程很快将使所有这些伟人黯然失色。而这个历程的始发地就在美丽的剑桥大学三一学院。1661 年夏天，来自学院附近乌尔索普的一位年轻人开始了他的大学生涯。他已经展现出了他的才华，而与他一起进入三一学院的其他十几位同学，虽然同样默默无闻，却同样才华横溢。然而，这位年轻人日后将成为英雄世纪中最伟大的英雄，同时还将永远改变人类对世界的观察方法。他的名字，当然，就是艾萨克·牛顿。

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